Einführung in die Mengenlehre:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2021]
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis I Einleitung §1 §2 §3 §4 II V VI 47 Relationen ..........................................................................................47 Funktionen und Familien .................................................................55 Natürliche Zahlen und Zahlbereiche §1 §2 §3 §4 65 Natürliche Zahlen und Peano-Strukturen....................................... 65 Rekursionen über ω .......................................................................... 72 Endliche Mengen................................................................................ 77 Zahlbereiche .......................................................................................82 Fundierte Strukturen und Ordinalzahlen §1 §2 §3 25 Extensionalität und Aussonderung.................................................25 Axiome der Mengenvereinigung....................................................... 31 Das Potenzmengenaxiom. Eine methodologische Betrachtung . 34 Das Unendlichkeitsaxiom .................................................................38 Ersetzung.............................................................................................41 Das Fundierungsaxiom.......................................................................42 Das Auswahlaxiom............................................................................. 44 Relationen und Funktionen §1 §2 15 Die mengentheoretische Sprache....................................................... 16 Prädikate, Operationen und Klassen..............................................19 Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem §1
§2 §3 §4 §5 §6 §7 IV Der naive Mengenbegriff................................................................ 1 Die Bedeutung der Mengenlehre für die Mathematik.............. 4 Ein geschichtlicher Rückblick....................................................... 7 Zur Tragweite mengentheoretischer Axiomensysteme..................13 Der Rahmen der Darstellung §1 §2 III 1 85 Fundierte Strukturen und Wohlordnungen.................................... 85 Ordinalzahlen.......................................................................................89 Es gibt viele Ordinalzahlen............................................................. 96 vii
Inhaltsverzeichnis viii VII Rekursionen und Fundiertheit 99 §1 Das lokale Rekursionstheorem.......................................................... 99 §2 Das globale Rekursionstheorem..................................................... 103 §3 Die von Neumannsche Hierarchie und das Fundierungsaxiom . 107 VIII Das Auswahlaxiom 113 §1 Das Axiom........................................................................................ 113 §2 Der Wohlordnungssatz..................................................................... 117 §3 Das Zornsche Lemma ..................................................................... 119 IX Mächtigkeiten 123 §1 Der Vergleich von Mächtigkeiten.................................................. 123 §2 Kardinalzahlen..................................................................................130 §3 Kofinalität und Exponentiation..................................................... 136 §4 Die Kontinuumshypothese...............................................................142 X Das Universum als kumulative Hierarchie 153 §1 Relativierungen und Absolutheit..................................................154 §2 Das Reflektionsprinzip.....................................................................160 §3 Das Scottsche Axiomensystem der Mengenlehre.........................166 XI Metamathematische Fragestellungen 175 §1 Widerspruchsfreiheit und relative Widerspruchsfreiheit .... 177 §2 Die konstruktible Hierarchie - Ein Exkurs.................................. 182 §3
Unvollständigkeit.............................................................................. 194 §4 Erkenntnistheoretische Anmerkungen............................................198 XII Anhang: Zum Verhältnis von ZF und NBG 205 §1 Das Axiomensystem NBG ........................................................... 205 §2 Die Gleichwertigkeit von ZF und NBG..................................... 211 XIII Hinweise zur Lösung der Aufgaben 217 Liste der Axiome und Axiomensysteme 247 Literaturverzeichnis 249 Symbolverzeichnis 253 Namen- und Sachverzeichnis 257
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Inhaltsverzeichnis I Einleitung §1 §2 §3 §4 II V VI 47 Relationen .47 Funktionen und Familien .55 Natürliche Zahlen und Zahlbereiche §1 §2 §3 §4 65 Natürliche Zahlen und Peano-Strukturen. 65 Rekursionen über ω . 72 Endliche Mengen. 77 Zahlbereiche .82 Fundierte Strukturen und Ordinalzahlen §1 §2 §3 25 Extensionalität und Aussonderung.25 Axiome der Mengenvereinigung. 31 Das Potenzmengenaxiom. Eine methodologische Betrachtung . 34 Das Unendlichkeitsaxiom .38 Ersetzung.41 Das Fundierungsaxiom.42 Das Auswahlaxiom. 44 Relationen und Funktionen §1 §2 15 Die mengentheoretische Sprache. 16 Prädikate, Operationen und Klassen.19 Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem §1
§2 §3 §4 §5 §6 §7 IV Der naive Mengenbegriff. 1 Die Bedeutung der Mengenlehre für die Mathematik. 4 Ein geschichtlicher Rückblick. 7 Zur Tragweite mengentheoretischer Axiomensysteme.13 Der Rahmen der Darstellung §1 §2 III 1 85 Fundierte Strukturen und Wohlordnungen. 85 Ordinalzahlen.89 Es gibt viele Ordinalzahlen. 96 vii
Inhaltsverzeichnis viii VII Rekursionen und Fundiertheit 99 §1 Das lokale Rekursionstheorem. 99 §2 Das globale Rekursionstheorem. 103 §3 Die von Neumannsche Hierarchie und das Fundierungsaxiom . 107 VIII Das Auswahlaxiom 113 §1 Das Axiom. 113 §2 Der Wohlordnungssatz. 117 §3 Das Zornsche Lemma . 119 IX Mächtigkeiten 123 §1 Der Vergleich von Mächtigkeiten. 123 §2 Kardinalzahlen.130 §3 Kofinalität und Exponentiation. 136 §4 Die Kontinuumshypothese.142 X Das Universum als kumulative Hierarchie 153 §1 Relativierungen und Absolutheit.154 §2 Das Reflektionsprinzip.160 §3 Das Scottsche Axiomensystem der Mengenlehre.166 XI Metamathematische Fragestellungen 175 §1 Widerspruchsfreiheit und relative Widerspruchsfreiheit . 177 §2 Die konstruktible Hierarchie - Ein Exkurs. 182 §3
Unvollständigkeit. 194 §4 Erkenntnistheoretische Anmerkungen.198 XII Anhang: Zum Verhältnis von ZF und NBG 205 §1 Das Axiomensystem NBG . 205 §2 Die Gleichwertigkeit von ZF und NBG. 211 XIII Hinweise zur Lösung der Aufgaben 217 Liste der Axiome und Axiomensysteme 247 Literaturverzeichnis 249 Symbolverzeichnis 253 Namen- und Sachverzeichnis 257 |
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