Holdings: Höhere Mathematik sehen und verstehen

Höhere Mathematik sehen und verstehen:

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Main Authors:	Haftendorn, Dörte (Author), Riebesehl, Dieter 1953- (Author), Dammer, Hubert 19XX- (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Berlin Springer Spektrum [2021]
Series:	Lehrbuch
Subjects:	Mathematik Interaktive Beispiele Lineare Algebra Mathematik für Ingenieure Differenzialrechnung mehrerer Veränderlichen Lehrbuch Angewandte Mathematik
Online Access:	Inhaltstext http://www.springer.com/ Inhaltsverzeichnis
Physical Description:	xi, 439 Seiten Illustrationen, Diagramme
ISBN:	9783662625767

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS 1 ANALYSIS 2D . 1 1.1 ZAHLEN BITTE . 1 1.1.1 AUFBAU DES ZAHLSYSTEMS . 1 1.2 KOMPLEXE ZAHLEN C, GRUNDLAGEN . 6 1.2.1 KOMPLEXE ZAHLEN UND IHRE DARSTELLUNG . 6 1.3 FOLGEN UND GRENZWERTE . 11 1.3.1 EXPLIZIT GEGEBENE FOLGEN . 11 1.3.2 REKURSIV DEFINIERTE FOLGEN . 13 1.3.3 FOLGEN VON 2D-PUNKTEN UND BILDERN . 15 1.4 REIHEN . 18 1.4.1 GEOMETRISCHE REIHE . 19 1.4.2 HARMONISCHE REIHE . 20 1.4.3 BERUEHMTE REIHEN . 22 1.4.4 KONVERGENZ UND UMORDNUNG VON REIHEN . 24 1.5 DARSTELLUNGSVIELFALT UND FUNKTIONSTYPEN . 25 1.5.1 DARSTELLUNGSVIELFALT . 25 1.5.2 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN . 28 1.5.3 FUNKTIONSTYPEN . 30 1.5.4 FUNKTIONEN-BAUHOF . 39 1.5.5 KOMPLEXE FUNKTIONEN VERBIEGEN GITTER . 45 1.6 DIFFERENTIALRECHNUNG . 51 1.6.1 STEIGUNG UND ABLEITUNG, EXPLIZIT KARTESISCH . 51 1.6.2 IMPLIZITE KARTESISCHE ABLEITUNG . 56 1.6.3 STEIGUNG UND ABLEITUNG BEI PARAMETER- UND POLARKURVEN . 58 1.7 FUNKTIONEN UNTERSUCHEN . 60 1.7.1 LOKALE EXTREMSTELLEN . 61 1.7.2 OSZILLIERENDE FUNKTIONEN, SINUS-WUNDERDINGE . 62 1.7.3 KRUEMMUNGEN . 65 1.7.4 WENDEPUNKTE . 69 1.8 INTEGRALRECHNUNG . 69 1.8.1 DEFINITION VON RIEMANN UND GRUNDLAGEN . 70 1.8.2 HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG . 71 1.8.3 WICHTIGE EIGENSCHAFTEN DES BESTIMMTEN INTEGRALS . 74 1.8.4 PARTIELLE INTEGRATION UND SUBSTITUTIONSREGEL . 77 1.8.5 FLAECHENFRAGEN IN DER GANZEN DARSTELLUNGSVIELFALT . 79 1.8.6 FLAECHE BEI KURVEN IN PARAMETERDARSTELLUNG . 80 1.8.7 FLAECHEN BEI POLAR KURVEN . 81 1.8.8 BOGENLAENGE BEI FUNKTIONEN UND PARAMETERKURVEN . 82 1.8.9 BOGENLAENGE BEI POLAR KURVEN . 83 1.8.10 VOLUMEN VON ROTATIONSKOERPERN . 84 VIII INHALTSVERZEICHNIS 1.8.11 UNEIGENTLICHE INTEGRALE . 86 1.9 ANWENDUNGEN DER INFINITESIMALRECHNUNG . 88 1.9.1 HARMONIE DER ROTIERTEN QUADRIKEN . 88 1.9.2 TAYLORREIHEN UND LANDAU-SYMBOLIK . 91 1.9.3 KRITERIEN FUER LOKALE EXTREMSTELLEN UND WENDEPUNKTE . 97 1.9.4 REGEL VON L * HOSPITAL . 102 1.9.5 FOURIERREIHEN . 107 1.9.6 FOURIER-TRANSFORMATION . 120 1.9.7 LAPLACE-TRANSFORMATION . 123 2 LINEARE ALGEBRA . 127 2.1 ALGEBRA UND GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA . 127 2.1.1 ALGEBRA . 127 2.1.2 VEKTORRAEUME . 131 2.1.3 WICHTIGE VEKTORRAEUME: VEKTORPFEILE UND N-TUPEL . 133 2.1.4 VEKTORRAEUME VON FUNKTIONEN, FUNKTIONENRAEUME . 137 2.1.5 SKALARPRODUKT, NORM UND EUKLIDISCHE VEKTORRAEUME . 139 2.1.6 NUETZLICHE BEGRIFFE IN EUKLIDISCHEN VEKTORRAEUMEN . 142 2.1.7 LINEARE UNABHAENGIGKEIT, BASIS, DIMENSION . 145 2.2 ANALYTISCHE GEOMETRIE . 148 2.2.1 DER PUNKT RAUM R M . 149 2.2.2 DER NORMALENVEKTOR UND SEINE ROLLE . 150 2.2.3 GERADEN IM R 2 . 154 2.2.4 EBENEN IM R 3 . 155 2.2.5 KOERPER IN DER GEOMETRIE . 157 2.3 MATRIZEN UND DETERMINANTEN: GRUNDVERSTAENDNIS . 161 2.3.1 GRUNDLEGENDES ZU MATRIZEN . 161 2.3.2 MULTIPLIKATION VON MATRIZEN . 163 2.3.3 QUADRATISCHE MATRIZEN . 165 2.3.4 DETERMINANTEN UND INVERSE MATRIZEN: GRUNDVERSTAENDNIS . 167 2.4 LGS, DETERMINANTEN, MATRIZEN: WEITERFUEHRUNG . 169 2.4.1 SCHNITT VON EBENEN, GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DER RECHNUNG . 170 2.4.2 SCHNITT VON GERADEN, GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DER RECHNUNG . 173 2.4.3 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS) IM UEBERBLICK . 173 2.4.4 HOMOGENE UND INHOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME . 176 2.4.5 DETERMINANTEN FUER NXN-MATRIZEN UND IHRE BERECHNUNG . 177 2.4.6 CRAMER * SCHE REGEL FUER LGS, INVERSE MATRIX BERECHNEN . 180 2.4.7 GEOMETRISCHE EIGENSCHAFTEN MIT HILFE DER LINEAREN ALGEBRA . 181 2.4.8 KREUZPRODUKT UND SPATPRODUKT . 183 2.4.9 RECHNEN: VON HAND ODER MIT DEM COMPUTER? . 186 2.5 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN . 186 2.5.1 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN LINEAREN ABBILDUNGEN UND MATRIZEN . 187 2.5.2 LINEARE ABBILDUNGEN IN DER EBENE VERFORMEN GITTER . 192 INHALTSVERZEICHNIS IX 2.5.3 EIGENWERTE UND -VEKTOREN DER MATRIZEN LINEARER ABBILDUNGEN . 193 2.6 ORTHOGONALITAET . 196 2.6.1 ORTHOGONALPROJEKTIONEN . 196 2.6.2 ORTHOGONALISIERUNGS VERFAHREN . 200 2.7 QUADRIKEN UND HAUPTACHSENTRANSFORMATION . 203 2.7.1 2D-QUADRIKEN (KEGELSCHNITTE) UND 3D-QUADRIKEN . 204 2.7.2 DIAGONALISIERUNG VON MATRIZEN . 206 2.7.3 HAUPTACHSENTRANSFORMATION FUER KEGELSCHNITTE . 209 2.7.4 HAUPTACHSENTRANSFORMATION FUER 3D-QUADRIKEN . 215 2.7.5 3D-QUADRIKGLEICHUNGEN IN HAUPTLAGE . 218 2.7.6 REGELFLAECHEN . 220 3 ANALYSIS 3D . 223 3.1 FUNKTIONEN . 223 3.1.1 3D-FUNKTIONSTYPEN UND DARSTELLUNGSARTEN . 224 3.2 DIFFERENTIALRECHNUNG 3D . 225 3.2.1 TANGENTIALEBENEN . 227 3.2.2 RICHTUNGSABLEITUNG, GRADIENT UND JACOBI-MATRIX . 232 3.2.3 KETTENREGEL FUER MEHRERE VERAENDERLICHE . 237 3.2.4 MEHRFACHE PARTIELLE ABLEITUNGEN . 241 3.2.5 DIVERGENZ UND ROTATION IN VEKTORFELDERN . 243 3.3 OPTIMIERUNG EINER FUNKTION ZWEIER VERAENDERLICHER . 250 3.3.1 TAYLORPOLYNOME EINER FUNKTION ZWEIER VERAENDERLICHER . 251 3.3.2 NOTWENDIGE UND HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER EXTREMA . 252 3.3.3 MEHR ALS ZWEI VERAENDERLICHE . 254 3.3.4 OPTIMIERUNG MIT NEBENBEDINGUNGEN NACH LAGRANGE . 255 3.4 INTEGRALE 3D . 260 3.4.1 MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE BEGREIFEN UND BERECHNEN . 260 3.4.2 INTEGRATION MIT KOORDINATENTRANSFORMATION . 266 3.4.3 GAUSS * SCHER SATZ UEBER QUELLEN UND FLUESSE . 270 3.4.4 SATZ VON STOKES . 278 4 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DGLN . 283 4.1 EINFUEHRUNG IN DGLN . 283 4.2 EIN WEITER BLICK UEBER DIE DGLN . 285 4.3 GEWOEHNLICHE DGLN, GRUNDLAGEN . 287 4.3.1 TYPEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (DGLN) . 287 4.3.2 RICHTUNGSFELDER . 288 4.3.3 ISOKLINEN . 293 4.3.4 PHASENRAUMDIAGRAMME . 294 4.4 ANFANGSWERT-PROBLEME UND EINDEUTIGKEIT VON LOESUNGEN . 301 4.4.1 ANFANGSWERTPROBLEME . 301 4.4.2 LOESUNGSRAUM VON LINEAREN DGLN . 304 4.5 LAPLACE-TRANSFORMATIONEN . 305 X INHALTSVERZEICHNIS 4.5.1 LOESUNGEN SUCHEN IN EINER ANDEREN WELT . 305 4.5.2 LINEARE DGLN MIT KONST. KOEFF. UND LAPLACE-TRANSFORMATION . 307 4.5.3 HOMOGENE LINEARE DGL UND LAPLACE-TRANSFORMATION . 309 4.5.4 PARTIALBRUCHZERLEGUNG BEI DER LAPLACE-TRANSFORMATION . 310 4.5.5 DIE LAPLACE-RUECKTRANSFORMATION C~ X . 312 4.5.6 STRUKTUR DER LOESUNGEN VON HOMOGENEN LINEAREN DGLN . 313 4.5.7 INHOMOGENE LINEARE DGL . 315 4.5.8 LAPLACE-TRANSFORMATION FUER PERIODISCHE FUNKTIONEN . 316 4.5.9 WERKZEUGUNTERSTUETZUNG . 320 4.5.10 EDELSTEIN: EULER * SCHE FORMEL . 321 4.5.11 LOESUNGEN AUSGEWAEHLTER DGLN . 323 4.6 SYSTEME VON DGLN . 325 4.6.1 DGL-SYSTEM BEIM GEKOPPELTEN PENDEL . 326 4.6.2 ALLGEMEINE SYSTEME VON DGLN . 328 4.6.3 AUTONOME, LINEARE SYSTEME . 330 4.6.4 2-DIMENSIONALE LINEARE SYSTEME . 333 4.6.5 INHOMOGENE SYSTEME VON DGLN . 338 4.6.6 NICHTLINEARE SYSTEME VON DGLN . 339 4.7 PARTIELLE DGLN . 343 4.7.1 SCHWINGENDE SAITE . 343 4.7.2 ERSTE LOESUNG DER SCHWINGUNGSGLEICHUNG . 344 4.7.3 RANDBEDINGUNGEN . 345 4.7.4 ZWEITE LOESUNG DER SCHWINGUNGSGLEICHUNG . 347 5 NUMERIK . 349 5.1 NUMERISCHE FEHLER . 349 5.1.1 FEHLER ARTEN UND URSACHEN . 350 5.2 NULLSTELLENSUCHE . 353 5.2.1 BISEKTION UND INTERVALLSCHACHTELUNG . 353 5.2.2 SEKANTEN VERFAHREN . 353 5.2.3 NEWTONVERFAHREN . 354 5.2.4 ITERATION, FIXPUNKT UND KONVERGENZ . 355 5.2.5 HERONVERFAHREN . 358 5.3 INTERPOLATION UND KURVEN GESTALTEN . 360 5.3.1 INTERPOLATION MIT POLYNOMEN . 360 5.3.2 INTERPOLATION MIT KUBISCHEN SPLINES . 364 5.3.3 KURVENGESTALTUNG MIT BEZIERSPLINES . 369 5.3.4 RAUMFLAECHENGESTALTUNG MIT BEZIERFLAECHEN ., . 373 5.4 B-SPLINES UND NURBS . 374 5.4.1 BEZIERSPLINES AUF EINEM GROESSEREN PARAMETERINTERVALL . 374 5.4.2 B-SPLINES . 375 5.4.3 GESTALTUNG MIT NURBS . 378 5.5 NUMERISCHE INTEGRATION . 381 INHALTSVERZEICHNIS XI 5.5.1 KEPLER * SCHE REGEL . 382 5.5.2 SIMPSON * SCHE REGEL . 386 5.5.3 WEITERE VERFAHREN . 389 5.5.4 NUMERISCHE RAUMINTEGRALE . 395 5.6 DGLN NUMERISCH LOESEN . 398 5.6.1 EULER VERFAHREN . 401 5.6.2 HEUNVERFAHREN . 404 5.6.3 NUMERISCHE INTEGRATION LIEFERT VERFAHREN FUER DGLN . 409 5.6.4 RUNGE-KUTTA-VERFAHR EN . 410 5.6.5 SKURRILES ZUR EXAKTEN LOESUNG VON Y' = Y 2 * X . 412 5.6.6 WEITERE METHODEN UND ASPEKTE . 413 6 GEOMETRIE UND WERKZEUGE . 419 6.1 GEOMETRIE . 419 6.1.1 BESONDERE PUNKTE IM DREIECK . 419 6.1.2 KREISWINKELSAETZE . 420 6.1.3 TRIGONOMETRISCHE BEZIEHUNGEN IM RECHTWINKLIGEN DREIECK . 421 6.1.4 SATZGRUPPE DES PYTHAGORAS . 422 6.1.5 COSINUSSATZ . 423 6.1.6 KONSTRUKTION WAHRER LAENGEN UND WINKEL FUER KOERPER . 423 6.2 GEOMETRISCHE ASPEKTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN . 424 6.2.1 KREISSPIEGELUNG, INVERSION AM KREIS . 424 6.2.2 RIEMANN * SCHE ZAHLENKUGEL . 425 6.3 WERKZEUGE . 426 6.3.1 GEOGEBRA . 426 6.3.2 WEITERE HILFREICHE TIPPS . 428 LITERATURVERZEICHNIS . 429 SACHVERZEICHNIS . 431
adam_txt	INHALTSVERZEICHNIS 1 ANALYSIS 2D . 1 1.1 ZAHLEN BITTE . 1 1.1.1 AUFBAU DES ZAHLSYSTEMS . 1 1.2 KOMPLEXE ZAHLEN C, GRUNDLAGEN . 6 1.2.1 KOMPLEXE ZAHLEN UND IHRE DARSTELLUNG . 6 1.3 FOLGEN UND GRENZWERTE . 11 1.3.1 EXPLIZIT GEGEBENE FOLGEN . 11 1.3.2 REKURSIV DEFINIERTE FOLGEN . 13 1.3.3 FOLGEN VON 2D-PUNKTEN UND BILDERN . 15 1.4 REIHEN . 18 1.4.1 GEOMETRISCHE REIHE . 19 1.4.2 HARMONISCHE REIHE . 20 1.4.3 BERUEHMTE REIHEN . 22 1.4.4 KONVERGENZ UND UMORDNUNG VON REIHEN . 24 1.5 DARSTELLUNGSVIELFALT UND FUNKTIONSTYPEN . 25 1.5.1 DARSTELLUNGSVIELFALT . 25 1.5.2 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN . 28 1.5.3 FUNKTIONSTYPEN . 30 1.5.4 FUNKTIONEN-BAUHOF . 39 1.5.5 KOMPLEXE FUNKTIONEN VERBIEGEN GITTER . 45 1.6 DIFFERENTIALRECHNUNG . 51 1.6.1 STEIGUNG UND ABLEITUNG, EXPLIZIT KARTESISCH . 51 1.6.2 IMPLIZITE KARTESISCHE ABLEITUNG . 56 1.6.3 STEIGUNG UND ABLEITUNG BEI PARAMETER- UND POLARKURVEN . 58 1.7 FUNKTIONEN UNTERSUCHEN . 60 1.7.1 LOKALE EXTREMSTELLEN . 61 1.7.2 OSZILLIERENDE FUNKTIONEN, SINUS-WUNDERDINGE . 62 1.7.3 KRUEMMUNGEN . 65 1.7.4 WENDEPUNKTE . 69 1.8 INTEGRALRECHNUNG . 69 1.8.1 DEFINITION VON RIEMANN UND GRUNDLAGEN . 70 1.8.2 HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG . 71 1.8.3 WICHTIGE EIGENSCHAFTEN DES BESTIMMTEN INTEGRALS . 74 1.8.4 PARTIELLE INTEGRATION UND SUBSTITUTIONSREGEL . 77 1.8.5 FLAECHENFRAGEN IN DER GANZEN DARSTELLUNGSVIELFALT . 79 1.8.6 FLAECHE BEI KURVEN IN PARAMETERDARSTELLUNG . 80 1.8.7 FLAECHEN BEI POLAR KURVEN . 81 1.8.8 BOGENLAENGE BEI FUNKTIONEN UND PARAMETERKURVEN . 82 1.8.9 BOGENLAENGE BEI POLAR KURVEN . 83 1.8.10 VOLUMEN VON ROTATIONSKOERPERN . 84 VIII INHALTSVERZEICHNIS 1.8.11 UNEIGENTLICHE INTEGRALE . 86 1.9 ANWENDUNGEN DER INFINITESIMALRECHNUNG . 88 1.9.1 HARMONIE DER ROTIERTEN QUADRIKEN . 88 1.9.2 TAYLORREIHEN UND LANDAU-SYMBOLIK . 91 1.9.3 KRITERIEN FUER LOKALE EXTREMSTELLEN UND WENDEPUNKTE . 97 1.9.4 REGEL VON L * HOSPITAL . 102 1.9.5 FOURIERREIHEN . 107 1.9.6 FOURIER-TRANSFORMATION . 120 1.9.7 LAPLACE-TRANSFORMATION . 123 2 LINEARE ALGEBRA . 127 2.1 ALGEBRA UND GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA . 127 2.1.1 ALGEBRA . 127 2.1.2 VEKTORRAEUME . 131 2.1.3 WICHTIGE VEKTORRAEUME: VEKTORPFEILE UND N-TUPEL . 133 2.1.4 VEKTORRAEUME VON FUNKTIONEN, FUNKTIONENRAEUME . 137 2.1.5 SKALARPRODUKT, NORM UND EUKLIDISCHE VEKTORRAEUME . 139 2.1.6 NUETZLICHE BEGRIFFE IN EUKLIDISCHEN VEKTORRAEUMEN . 142 2.1.7 LINEARE UNABHAENGIGKEIT, BASIS, DIMENSION . 145 2.2 ANALYTISCHE GEOMETRIE . 148 2.2.1 DER PUNKT RAUM R M . 149 2.2.2 DER NORMALENVEKTOR UND SEINE ROLLE . 150 2.2.3 GERADEN IM R 2 . 154 2.2.4 EBENEN IM R 3 . 155 2.2.5 KOERPER IN DER GEOMETRIE . 157 2.3 MATRIZEN UND DETERMINANTEN: GRUNDVERSTAENDNIS . 161 2.3.1 GRUNDLEGENDES ZU MATRIZEN . 161 2.3.2 MULTIPLIKATION VON MATRIZEN . 163 2.3.3 QUADRATISCHE MATRIZEN . 165 2.3.4 DETERMINANTEN UND INVERSE MATRIZEN: GRUNDVERSTAENDNIS . 167 2.4 LGS, DETERMINANTEN, MATRIZEN: WEITERFUEHRUNG . 169 2.4.1 SCHNITT VON EBENEN, GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DER RECHNUNG . 170 2.4.2 SCHNITT VON GERADEN, GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DER RECHNUNG . 173 2.4.3 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS) IM UEBERBLICK . 173 2.4.4 HOMOGENE UND INHOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME . 176 2.4.5 DETERMINANTEN FUER NXN-MATRIZEN UND IHRE BERECHNUNG . 177 2.4.6 CRAMER * SCHE REGEL FUER LGS, INVERSE MATRIX BERECHNEN . 180 2.4.7 GEOMETRISCHE EIGENSCHAFTEN MIT HILFE DER LINEAREN ALGEBRA . 181 2.4.8 KREUZPRODUKT UND SPATPRODUKT . 183 2.4.9 RECHNEN: VON HAND ODER MIT DEM COMPUTER? . 186 2.5 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN . 186 2.5.1 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN LINEAREN ABBILDUNGEN UND MATRIZEN . 187 2.5.2 LINEARE ABBILDUNGEN IN DER EBENE VERFORMEN GITTER . 192 INHALTSVERZEICHNIS IX 2.5.3 EIGENWERTE UND -VEKTOREN DER MATRIZEN LINEARER ABBILDUNGEN . 193 2.6 ORTHOGONALITAET . 196 2.6.1 ORTHOGONALPROJEKTIONEN . 196 2.6.2 ORTHOGONALISIERUNGS VERFAHREN . 200 2.7 QUADRIKEN UND HAUPTACHSENTRANSFORMATION . 203 2.7.1 2D-QUADRIKEN (KEGELSCHNITTE) UND 3D-QUADRIKEN . 204 2.7.2 DIAGONALISIERUNG VON MATRIZEN . 206 2.7.3 HAUPTACHSENTRANSFORMATION FUER KEGELSCHNITTE . 209 2.7.4 HAUPTACHSENTRANSFORMATION FUER 3D-QUADRIKEN . 215 2.7.5 3D-QUADRIKGLEICHUNGEN IN HAUPTLAGE . 218 2.7.6 REGELFLAECHEN . 220 3 ANALYSIS 3D . 223 3.1 FUNKTIONEN . 223 3.1.1 3D-FUNKTIONSTYPEN UND DARSTELLUNGSARTEN . 224 3.2 DIFFERENTIALRECHNUNG 3D . 225 3.2.1 TANGENTIALEBENEN . 227 3.2.2 RICHTUNGSABLEITUNG, GRADIENT UND JACOBI-MATRIX . 232 3.2.3 KETTENREGEL FUER MEHRERE VERAENDERLICHE . 237 3.2.4 MEHRFACHE PARTIELLE ABLEITUNGEN . 241 3.2.5 DIVERGENZ UND ROTATION IN VEKTORFELDERN . 243 3.3 OPTIMIERUNG EINER FUNKTION ZWEIER VERAENDERLICHER . 250 3.3.1 TAYLORPOLYNOME EINER FUNKTION ZWEIER VERAENDERLICHER . 251 3.3.2 NOTWENDIGE UND HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER EXTREMA . 252 3.3.3 MEHR ALS ZWEI VERAENDERLICHE . 254 3.3.4 OPTIMIERUNG MIT NEBENBEDINGUNGEN NACH LAGRANGE . 255 3.4 INTEGRALE 3D . 260 3.4.1 MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE BEGREIFEN UND BERECHNEN . 260 3.4.2 INTEGRATION MIT KOORDINATENTRANSFORMATION . 266 3.4.3 GAUSS * SCHER SATZ UEBER QUELLEN UND FLUESSE . 270 3.4.4 SATZ VON STOKES . 278 4 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DGLN . 283 4.1 EINFUEHRUNG IN DGLN . 283 4.2 EIN WEITER BLICK UEBER DIE DGLN . 285 4.3 GEWOEHNLICHE DGLN, GRUNDLAGEN . 287 4.3.1 TYPEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (DGLN) . 287 4.3.2 RICHTUNGSFELDER . 288 4.3.3 ISOKLINEN . 293 4.3.4 PHASENRAUMDIAGRAMME . 294 4.4 ANFANGSWERT-PROBLEME UND EINDEUTIGKEIT VON LOESUNGEN . 301 4.4.1 ANFANGSWERTPROBLEME . 301 4.4.2 LOESUNGSRAUM VON LINEAREN DGLN . 304 4.5 LAPLACE-TRANSFORMATIONEN . 305 X INHALTSVERZEICHNIS 4.5.1 LOESUNGEN SUCHEN IN EINER ANDEREN WELT . 305 4.5.2 LINEARE DGLN MIT KONST. KOEFF. UND LAPLACE-TRANSFORMATION . 307 4.5.3 HOMOGENE LINEARE DGL UND LAPLACE-TRANSFORMATION . 309 4.5.4 PARTIALBRUCHZERLEGUNG BEI DER LAPLACE-TRANSFORMATION . 310 4.5.5 DIE LAPLACE-RUECKTRANSFORMATION C~ X . 312 4.5.6 STRUKTUR DER LOESUNGEN VON HOMOGENEN LINEAREN DGLN . 313 4.5.7 INHOMOGENE LINEARE DGL . 315 4.5.8 LAPLACE-TRANSFORMATION FUER PERIODISCHE FUNKTIONEN . 316 4.5.9 WERKZEUGUNTERSTUETZUNG . 320 4.5.10 EDELSTEIN: EULER * SCHE FORMEL . 321 4.5.11 LOESUNGEN AUSGEWAEHLTER DGLN . 323 4.6 SYSTEME VON DGLN . 325 4.6.1 DGL-SYSTEM BEIM GEKOPPELTEN PENDEL . 326 4.6.2 ALLGEMEINE SYSTEME VON DGLN . 328 4.6.3 AUTONOME, LINEARE SYSTEME . 330 4.6.4 2-DIMENSIONALE LINEARE SYSTEME . 333 4.6.5 INHOMOGENE SYSTEME VON DGLN . 338 4.6.6 NICHTLINEARE SYSTEME VON DGLN . 339 4.7 PARTIELLE DGLN . 343 4.7.1 SCHWINGENDE SAITE . 343 4.7.2 ERSTE LOESUNG DER SCHWINGUNGSGLEICHUNG . 344 4.7.3 RANDBEDINGUNGEN . 345 4.7.4 ZWEITE LOESUNG DER SCHWINGUNGSGLEICHUNG . 347 5 NUMERIK . 349 5.1 NUMERISCHE FEHLER . 349 5.1.1 FEHLER ARTEN UND URSACHEN . 350 5.2 NULLSTELLENSUCHE . 353 5.2.1 BISEKTION UND INTERVALLSCHACHTELUNG . 353 5.2.2 SEKANTEN VERFAHREN . 353 5.2.3 NEWTONVERFAHREN . 354 5.2.4 ITERATION, FIXPUNKT UND KONVERGENZ . 355 5.2.5 HERONVERFAHREN . 358 5.3 INTERPOLATION UND KURVEN GESTALTEN . 360 5.3.1 INTERPOLATION MIT POLYNOMEN . 360 5.3.2 INTERPOLATION MIT KUBISCHEN SPLINES . 364 5.3.3 KURVENGESTALTUNG MIT BEZIERSPLINES . 369 5.3.4 RAUMFLAECHENGESTALTUNG MIT BEZIERFLAECHEN ., . 373 5.4 B-SPLINES UND NURBS . 374 5.4.1 BEZIERSPLINES AUF EINEM GROESSEREN PARAMETERINTERVALL . 374 5.4.2 B-SPLINES . 375 5.4.3 GESTALTUNG MIT NURBS . 378 5.5 NUMERISCHE INTEGRATION . 381 INHALTSVERZEICHNIS XI 5.5.1 KEPLER * SCHE REGEL . 382 5.5.2 SIMPSON * SCHE REGEL . 386 5.5.3 WEITERE VERFAHREN . 389 5.5.4 NUMERISCHE RAUMINTEGRALE . 395 5.6 DGLN NUMERISCH LOESEN . 398 5.6.1 EULER VERFAHREN . 401 5.6.2 HEUNVERFAHREN . 404 5.6.3 NUMERISCHE INTEGRATION LIEFERT VERFAHREN FUER DGLN . 409 5.6.4 RUNGE-KUTTA-VERFAHR EN . 410 5.6.5 SKURRILES ZUR EXAKTEN LOESUNG VON Y' = Y 2 * X . 412 5.6.6 WEITERE METHODEN UND ASPEKTE . 413 6 GEOMETRIE UND WERKZEUGE . 419 6.1 GEOMETRIE . 419 6.1.1 BESONDERE PUNKTE IM DREIECK . 419 6.1.2 KREISWINKELSAETZE . 420 6.1.3 TRIGONOMETRISCHE BEZIEHUNGEN IM RECHTWINKLIGEN DREIECK . 421 6.1.4 SATZGRUPPE DES PYTHAGORAS . 422 6.1.5 COSINUSSATZ . 423 6.1.6 KONSTRUKTION WAHRER LAENGEN UND WINKEL FUER KOERPER . 423 6.2 GEOMETRISCHE ASPEKTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN . 424 6.2.1 KREISSPIEGELUNG, INVERSION AM KREIS . 424 6.2.2 RIEMANN * SCHE ZAHLENKUGEL . 425 6.3 WERKZEUGE . 426 6.3.1 GEOGEBRA . 426 6.3.2 WEITERE HILFREICHE TIPPS . 428 LITERATURVERZEICHNIS . 429 SACHVERZEICHNIS . 431
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