Holdings: Diskrete Mathematik mit Grundlagen

Diskrete Mathematik mit Grundlagen: Lehrbuch für Studierende von MINT-Fächern

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Bibliographic Details
Main Authors:	Iwanowski, Sebastian 1962- (Author), Lang, Rainer (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Wiesbaden Springer Vieweg [2021]
Edition:	2., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage
Series:	Lehrbuch
Subjects:	Diskrete Mathematik Elementare Einführung in die diskrete Mathematik Diskrete Mathematik für Informatiker Graphentheorie Zahlentheorie Kombinatorik Diskrete Mathematik für MINT-Studierende Grundlagen der Mathematik Algebraische Strukturen Beweisverfahren Einführung
Online Access:	Inhaltstext http://www.springer.com/ Inhaltsverzeichnis
Physical Description:	xii, 333 Seiten Illustrationen, Diagramme
ISBN:	9783658327590

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS 1 LOGIK 1 1.1 EINORDNUNG DER BEGRIFFE UND DEREN BEDEUTUNG .................................... 1 1.2 AUSSAGENLOGIK ....................................................................................... 4 1.2.1 AUSSAGEN UND WAHRHEITSWERTE ............................................. 4 1.2.2 AUSSAGENVERKNUEPFUNGEN .......................................................... 5 1.2.3 LOGISCHE AEQUIVALENZREGELN ....................................................... 9 1.2.4 LOGISCHE SCHLUSSREGELN ............................................................. 11 1.3 PRAEDIKATENLOGIK ..................................................................................... 14 1.3.1 AUSSAGEFORMEN, VARIABLE UND PRAEDIKATE .............................. 14 1.3.2 QUANTOREN UND IHRE RECHENREGELN .......................................... 15 1.4 LOGISCHE FORMELN ALS BESCHREIBUNGSSPRACHE FUER BELIEBIGE AUSSAGEN 22 1.4.1 ALLGEMEINE REGELN ZUM UEBERSETZEN VON UMGANGSSPRACHLI CHEN AUSSAGEN IN PRAEDIKATENLOGISCHE FORMELN ......... 24 1.4.2 ANWENDUNG DER ALLGEMEINEN REGELN AUF KOMPLEXE SACHVER HALTE ............................................................................... 32 1.5 UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................. 42 2 MENGENLEHRE 47 2.1 GRUNDLAGEN ........................................................................................... 47 2.1.1 DEFINITION .................................................................................. 47 2.1.2 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN VON MENGEN ................................. 48 2.1.3 DARSTELLUNG VON MENGEN .......................................................... 49 2.1.4 VERKNUEPFUNGEN VON MENGEN ................................................... 52 2.2 RELATIONEN .............................................................................................. 60 2.2.1 BESONDERE EIGENSCHAFTEN VON RELATIONEN .............................. 61 2.2.2 AEQUIVALENZRELATIONEN ............................................................... 62 2.2.3 ORDNUNGSRELATIONEN ................................................................ 67 2.2.4 GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON RELATIONEN AUF ENDLICHEN MEN GEN M ........................................................................... 72 2.2.5 VERALLGEMEINERUNG DES RELATIONSBEGRIFFS FUER VERSCHIEDENE MEN GEN ................................................................................. 76 2.3 FUNKTIONEN ........................................................................................... 77 2.3.1 KOMPOSITION VON RELATIONEN UND FUNKTIONEN ..................... 79 2.3.2 INVERSE RELATIONEN UND FUNKTIONEN ....................................... 81 2.3.3 MAECHTIGKEIT VON MENGEN ......................................................... 84 X INHALTSVERZEICHNIS 2.4 BOOLESCHE ALGEBREN ............................................................................... 88 2.4.1 MOTIVATION AUS AUSSAGENLOGIK UND MENGENLEHRE ................... 88 2.4.2 FORMALE DEFINITION VON BOOLESCHEN ALGEBREN ....................... 91 2.4.3 BEISPIELE FUER BOOLESCHE ALGEBREN: SCHALT FUNKT IONEN-ALGEBRA UND TEILER-ALGEBRA ................................................................... 93 2.5 UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................. 96 3 BEWEISVERFAHREN 107 3.1 GRUNDBEGRIFFE DER MATHEMATIK ............................................................. 107 3.1.1 DEFINITION ..................................................................................... 107 3.1.2 AUSSAGEN: SATZ, LEMMA, KOROLLAR .............................................. 108 3.1.3 BEWEIS ........................................................................................... 109 3.1.4 AXIOM ........................................................................................... 110 3.1.5 DAS AXIOMENSYSTEM VON PEANO FUER DIE NATUERLICHEN ZAHLEN . 112 3.2 VOLLSTAENDIGE INDUKTION ............................................................................ 115 3.2.1 GRUNDPRINZIP ............................................................................... 115 3.2.2 VERALLGEMEINERTES GRUNDPRINZIP ................................................. 118 3.2.3 ANWENDUNG AUF INDUKTIVE DEFINITIONEN .................................... 120 3.2.4 ANWENDUNG AUF ALLGEMEINE REKURSIVE DEFINITIONEN .................. 122 3.3 ALLGEMEINE BEWEISSTRATEGIEN ................................................................... 126 3.3.1 DIREKTER BEWEIS ............................................................................ 126 3.3.2 BEWEIS DURCH KONTRAPOSITION ................................................... 127 3.3.3 INDIREKTER BEWEIS ......................................................................... 128 3.3.4 BEWEISE VON AEQUIVALENZAUSSAGEN ............................................. 129 3.3.5 BEWEISE DURCH FALLUNTERSCHEIDUNG .............................................. 130 3.3.6 ABZAEHLBEWEISE ............................................................................ 131 3.4 UEBUNGSAUFGABEN ..................................................................................... 133 4 ZAHLENTHEORIE 139 4.1 TEILBARKEIT ................................................................................................. 139 4.1.1 DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN ................................. 139 4.1.2 GROESSENBESCHRAENKUNGEN FUER TEILER UND VIELFACHE ....................... 141 4.1.3 ZAHLENDARSTELLUNGEN MIT HILFE VON ZAHLENBASEN UND DAVON ABHAENGIGE TEILBARKEITSREGELN ....................................................... 142 4.1.4 GROESSTER GEMEINSAMER TEILER UND KLEINSTES GEMEINSAMES VIEL FACHES .............................................................................. 147 4.2 DIVISION MIT REST ..................................................................................... 151 4.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE ............................................................. 151 4.2.2 EUKLIDISCHER ALGORITHMUS .......................................................... 154 4.3 PRIMZAHLEN .............................................................................................. 158 4.3.1 BEDEUTUNG UND BESTIMMUNG VON PRIMZAHLEN ........................ 158 4.3.2 HAUPTSATZ DER ELEMENTAREN ZAHLENTHEORIE UND ANWENDUNGEN 162 INHALTSVERZEICHNIS XI 4.4 MODULARE ARITHMETIK .............................................................................. 166 4.4.1 MODULARE KONGRUENZ .................................................................. 166 4.4.2 RECHNEN MIT RESTKLASSEN ......................................................... 169 4.5 UEBUNGSAUFGABEN ..................................................................................... 174 5 ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 179 5.1 GRUPPEN .................................................................................................... 179 5.1.1 BEISPIELE FUER UNENDLICHE GRUPPEN ....................................... 180 5.1.2 BEISPIELE FUER ENDLICHE GRUPPEN ................................................ 183 5.1.3 GRUPPENISOMORPHIE UND IHRE INVARIANTEN ........................... 190 5.2 KOERPER ...................................................................................................... 198 5.2.1 BEISPIELE FUER UNENDLICHE KOERPER UND RINGE ........................ 201 5.2.2 ENDLICHE KOERPER ........................................................................ 203 5.2.3 POLYNOME UEBER ENDLICHEN KOERPERN .......................................... 207 5.2.4 ANLEITUNG FUER DIE KONSTRUKTION ALLER ENDLICHEN KOERPER ... 218 5.3 ANWENDUNG ENDLICHER KOERPER IN CODIERUNG UND KRYPTOGRAPHIE . . 222 5.4 UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................... 223 6 KOMBINATORIK 231 6.1 ZAEHLFORMELN FUER ENDLICHE MENGEN ......................................................... 231 6.1.1 DISJUNKTE VEREINIGUNGEN UND MENGENPRODUKTE ............... 231 6.1.2 PERMUTATIONEN ..................................................................... 233 6.1.3 INKLUSION UND EXKLUSION BEI BELIEBIGEN VEREINIGUNGEN . . . 235 6.1.4 ANZAHL VON TEILMENGEN ...................................................... 237 6.1.5 RECHNEN MIT BINOMIALKOEFFIZIENTEN .................................... 240 6.2 EIGENSCHAFTEN VON PERMUTATIONEN ......................................................... 242 6.2.1 DIE VERSCHIEDENEN DARSTELLUNGSARTEN VON PERMUTATIONEN . . 242 6.2.2 KOMPOSITION VON PERMUTATIONEN ............................................. 245 6.2.3 TRANSPOSITIONEN ........................................................................... 247 6.2.4 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KOMBINATORIK, GEOMETRIE UND GRUP PENTHEORIE ........................................................................ 250 6.3 UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................... 253 7 GRAPHENTHEORIE 257 7.1 TERMINOLOGIE UND REPRAESENTATION VON GRAPHEN ................................. 257 7.1.1 ISOMORPHIE VON GRAPHEN ............................................................ 259 7.1.2 WEITERE ELEMENTARE BEGRIFFE DER GRAPHENTHEORIE ..................... 262 7.1.3 DARSTELLUNG VON GRAPHEN IM COMPUTER ................................. 267 7.2 WEGE IN GRAPHEN .................................................................................... 271 7.2.1 EULERWEGE UND HAMILTONWEGE ................................................... 272 7.2.2 KUERZESTE WEGE IN BEWERTETEN GRAPHEN .................................... 278 7.3 BAEUME UND WAELDER ................................................................................. 286 7.3.1 AUFSPANNENDE BAEUME ODER GERUESTE .......................................... 287 XII INHALTSVERZEICHNIS 7.3.2 WURZELBAEUME ......................................................................... 294 7.4 PLANARE GRAPHEN ............................................................................... 296 7.4.1 EBENE DARSTELLUNGEN EINES PLANAREN GRAPHEN UND IHRE GEBIETE296 7.4.2 KOMBINATORISCHE CHARAKTERISIERUNG VON PLANAREN GRAPHEN . 300 7.5 FAERBUNGEN VON GRAPHEN ................................................................... 305 7.5.1 DAS VIERFARBENPROBLEM ALS MOTIVATION .............................. 305 7.5.2 ECKENFAERBUNGEN ..................................................................... 306 7.5.3 ANDERE FAERBUNGEN ............................................................... 310 7.6 UEBUNGSAUFGABEN ............................................................................... 316 LITERATURVERZEICHNIS 321 SYMBOLVERZEICHNIS 323 INDEX 327
adam_txt	INHALTSVERZEICHNIS 1 LOGIK 1 1.1 EINORDNUNG DER BEGRIFFE UND DEREN BEDEUTUNG . 1 1.2 AUSSAGENLOGIK . 4 1.2.1 AUSSAGEN UND WAHRHEITSWERTE . 4 1.2.2 AUSSAGENVERKNUEPFUNGEN . 5 1.2.3 LOGISCHE AEQUIVALENZREGELN . 9 1.2.4 LOGISCHE SCHLUSSREGELN . 11 1.3 PRAEDIKATENLOGIK . 14 1.3.1 AUSSAGEFORMEN, VARIABLE UND PRAEDIKATE . 14 1.3.2 QUANTOREN UND IHRE RECHENREGELN . 15 1.4 LOGISCHE FORMELN ALS BESCHREIBUNGSSPRACHE FUER BELIEBIGE AUSSAGEN 22 1.4.1 ALLGEMEINE REGELN ZUM UEBERSETZEN VON UMGANGSSPRACHLI CHEN AUSSAGEN IN PRAEDIKATENLOGISCHE FORMELN . 24 1.4.2 ANWENDUNG DER ALLGEMEINEN REGELN AUF KOMPLEXE SACHVER HALTE . 32 1.5 UEBUNGSAUFGABEN . 42 2 MENGENLEHRE 47 2.1 GRUNDLAGEN . 47 2.1.1 DEFINITION . 47 2.1.2 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN VON MENGEN . 48 2.1.3 DARSTELLUNG VON MENGEN . 49 2.1.4 VERKNUEPFUNGEN VON MENGEN . 52 2.2 RELATIONEN . 60 2.2.1 BESONDERE EIGENSCHAFTEN VON RELATIONEN . 61 2.2.2 AEQUIVALENZRELATIONEN . 62 2.2.3 ORDNUNGSRELATIONEN . 67 2.2.4 GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON RELATIONEN AUF ENDLICHEN MEN GEN M . 72 2.2.5 VERALLGEMEINERUNG DES RELATIONSBEGRIFFS FUER VERSCHIEDENE MEN GEN . 76 2.3 FUNKTIONEN . 77 2.3.1 KOMPOSITION VON RELATIONEN UND FUNKTIONEN . 79 2.3.2 INVERSE RELATIONEN UND FUNKTIONEN . 81 2.3.3 MAECHTIGKEIT VON MENGEN . 84 X INHALTSVERZEICHNIS 2.4 BOOLESCHE ALGEBREN . 88 2.4.1 MOTIVATION AUS AUSSAGENLOGIK UND MENGENLEHRE . 88 2.4.2 FORMALE DEFINITION VON BOOLESCHEN ALGEBREN . 91 2.4.3 BEISPIELE FUER BOOLESCHE ALGEBREN: SCHALT FUNKT IONEN-ALGEBRA UND TEILER-ALGEBRA . 93 2.5 UEBUNGSAUFGABEN . 96 3 BEWEISVERFAHREN 107 3.1 GRUNDBEGRIFFE DER MATHEMATIK . 107 3.1.1 DEFINITION . 107 3.1.2 AUSSAGEN: SATZ, LEMMA, KOROLLAR . 108 3.1.3 BEWEIS . 109 3.1.4 AXIOM . 110 3.1.5 DAS AXIOMENSYSTEM VON PEANO FUER DIE NATUERLICHEN ZAHLEN . 112 3.2 VOLLSTAENDIGE INDUKTION . 115 3.2.1 GRUNDPRINZIP . 115 3.2.2 VERALLGEMEINERTES GRUNDPRINZIP . 118 3.2.3 ANWENDUNG AUF INDUKTIVE DEFINITIONEN . 120 3.2.4 ANWENDUNG AUF ALLGEMEINE REKURSIVE DEFINITIONEN . 122 3.3 ALLGEMEINE BEWEISSTRATEGIEN . 126 3.3.1 DIREKTER BEWEIS . 126 3.3.2 BEWEIS DURCH KONTRAPOSITION . 127 3.3.3 INDIREKTER BEWEIS . 128 3.3.4 BEWEISE VON AEQUIVALENZAUSSAGEN . 129 3.3.5 BEWEISE DURCH FALLUNTERSCHEIDUNG . 130 3.3.6 ABZAEHLBEWEISE . 131 3.4 UEBUNGSAUFGABEN . 133 4 ZAHLENTHEORIE 139 4.1 TEILBARKEIT . 139 4.1.1 DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN . 139 4.1.2 GROESSENBESCHRAENKUNGEN FUER TEILER UND VIELFACHE . 141 4.1.3 ZAHLENDARSTELLUNGEN MIT HILFE VON ZAHLENBASEN UND DAVON ABHAENGIGE TEILBARKEITSREGELN . 142 4.1.4 GROESSTER GEMEINSAMER TEILER UND KLEINSTES GEMEINSAMES VIEL FACHES . 147 4.2 DIVISION MIT REST . 151 4.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE . 151 4.2.2 EUKLIDISCHER ALGORITHMUS . 154 4.3 PRIMZAHLEN . 158 4.3.1 BEDEUTUNG UND BESTIMMUNG VON PRIMZAHLEN . 158 4.3.2 HAUPTSATZ DER ELEMENTAREN ZAHLENTHEORIE UND ANWENDUNGEN 162 INHALTSVERZEICHNIS XI 4.4 MODULARE ARITHMETIK . 166 4.4.1 MODULARE KONGRUENZ . 166 4.4.2 RECHNEN MIT RESTKLASSEN . 169 4.5 UEBUNGSAUFGABEN . 174 5 ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 179 5.1 GRUPPEN . 179 5.1.1 BEISPIELE FUER UNENDLICHE GRUPPEN . 180 5.1.2 BEISPIELE FUER ENDLICHE GRUPPEN . 183 5.1.3 GRUPPENISOMORPHIE UND IHRE INVARIANTEN . 190 5.2 KOERPER . 198 5.2.1 BEISPIELE FUER UNENDLICHE KOERPER UND RINGE . 201 5.2.2 ENDLICHE KOERPER . 203 5.2.3 POLYNOME UEBER ENDLICHEN KOERPERN . 207 5.2.4 ANLEITUNG FUER DIE KONSTRUKTION ALLER ENDLICHEN KOERPER . 218 5.3 ANWENDUNG ENDLICHER KOERPER IN CODIERUNG UND KRYPTOGRAPHIE . . 222 5.4 UEBUNGSAUFGABEN . 223 6 KOMBINATORIK 231 6.1 ZAEHLFORMELN FUER ENDLICHE MENGEN . 231 6.1.1 DISJUNKTE VEREINIGUNGEN UND MENGENPRODUKTE . 231 6.1.2 PERMUTATIONEN . 233 6.1.3 INKLUSION UND EXKLUSION BEI BELIEBIGEN VEREINIGUNGEN . . . 235 6.1.4 ANZAHL VON TEILMENGEN . 237 6.1.5 RECHNEN MIT BINOMIALKOEFFIZIENTEN . 240 6.2 EIGENSCHAFTEN VON PERMUTATIONEN . 242 6.2.1 DIE VERSCHIEDENEN DARSTELLUNGSARTEN VON PERMUTATIONEN . . 242 6.2.2 KOMPOSITION VON PERMUTATIONEN . 245 6.2.3 TRANSPOSITIONEN . 247 6.2.4 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KOMBINATORIK, GEOMETRIE UND GRUP PENTHEORIE . 250 6.3 UEBUNGSAUFGABEN . 253 7 GRAPHENTHEORIE 257 7.1 TERMINOLOGIE UND REPRAESENTATION VON GRAPHEN . 257 7.1.1 ISOMORPHIE VON GRAPHEN . 259 7.1.2 WEITERE ELEMENTARE BEGRIFFE DER GRAPHENTHEORIE . 262 7.1.3 DARSTELLUNG VON GRAPHEN IM COMPUTER . 267 7.2 WEGE IN GRAPHEN . 271 7.2.1 EULERWEGE UND HAMILTONWEGE . 272 7.2.2 KUERZESTE WEGE IN BEWERTETEN GRAPHEN . 278 7.3 BAEUME UND WAELDER . 286 7.3.1 AUFSPANNENDE BAEUME ODER GERUESTE . 287 XII INHALTSVERZEICHNIS 7.3.2 WURZELBAEUME . 294 7.4 PLANARE GRAPHEN . 296 7.4.1 EBENE DARSTELLUNGEN EINES PLANAREN GRAPHEN UND IHRE GEBIETE296 7.4.2 KOMBINATORISCHE CHARAKTERISIERUNG VON PLANAREN GRAPHEN . 300 7.5 FAERBUNGEN VON GRAPHEN . 305 7.5.1 DAS VIERFARBENPROBLEM ALS MOTIVATION . 305 7.5.2 ECKENFAERBUNGEN . 306 7.5.3 ANDERE FAERBUNGEN . 310 7.6 UEBUNGSAUFGABEN . 316 LITERATURVERZEICHNIS 321 SYMBOLVERZEICHNIS 323 INDEX 327
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