Mathematik für das erste Semester: Analysis und Lineare Algebra für Studierende der Ingenieurwissenschaften
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg
Springer Spektrum
2020
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| Ausgabe: | 2. Auflage |
| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | xx, 388 Seiten Illustrationen, Diagramme |
| ISBN: | 9783662619919 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis Einige Worte vorab v Analysis 1 1 Worum geht es in der Analysis? 3 2 Ein wenig Vorbereitung 5 2.1 Motivation....................................................................................... 5 2.2 Ein Vorrat an Buchstaben........................................................... 5 2.3 Vom richtigen Umgang mit derAussagenlogik.......................... 7 2.4 Vollständige Induktion................................................................. 10 2.5 Mengen............................................................................................. 11 2.5.1 Ein kleiner Zoo wichtiger Mengen.................................. 13 2.5.2 Wie aus bekannten Mengen neueentstehen.................... 14 2.6 Aufgaben.......................................................................................... 17 2.7 Lösungen.......................................................................................... 18 3 Reelle und komplexe Zahlen 23 3.1 Motivation........................................................................................ 23 3.2 Reelle Zahlen 23
Inhaltsverzeichnis xii 3.2.1 Rechnen mit Ungleichungen............................................. 24 Summen und Produkte............................................................... 26 3.3.1 Fakultät und Binomialkoeffizient.................................... 27 Komplexe Zahlen....................................................................... 29 3.4.1 Polarkoordinaten............................................................... 32 3.5 Aufgaben........................................................ 33 3.6 Lösungen...................................................................................... 35 3.3 3.4 4 Abbildungen und Funktionen 41 4.1 Motivation und Definitionen...................................................... 41 4.2 Einige Eigenschaften von Abbildungen .................................... 42 4.3 Komposition von Abbildungen................................................... 47 4.4 Darstellung von Funktionen ...................................................... 49 4.5 Aufgaben...................................................................................... 50 4.6 Lösungen...................................................................................... 51 5 Wichtige Funktionen im Überblick 55 5.1 Motivation.................................................................................... 55 5.2 Polynome und rationale Funktionen.......................................... 55 5.2.1 Polynome........................................................................... 55 5.2.2 Rationale
Funktionen...................................................... 56 Sinus, Kosinus und Tangens...................................................... 60 5.3.1 Einige Additionstheoreme................................................ 63 Exponentialfunktion und Logarithmus....................................... 63 5.4.1 Potenz- und Logarithmusgesetze.................................... 65 5.5 Weitere wichtige Funktionen...................................................... 66 5.6 Aufgaben...................................................................................... 68 5.3 5.4
xiii Inhaltsverzeichnis 5.7 Lösungen........................................................................................... 6 Folgen 69 75 6.1 Motivation....................................................................................... 75 6.2 Grundlagen....................................................................................... 75 6.3 Konvergenz und Divergenz........................................................... 76 6.4 Rechenregeln für Folgen................................................................. 80 6.5 Das Monotoniekriterium.............................................................. 81 6.6 Was noch über Folgen bekannt sein sollte.................................. 82 6.7 Das Häufungspunktprinzip und mehr........................................ 83 6.8 Aufgaben.......................................................................................... 84 6.9 Lösungen.......................................................................................... 85 7 Reihen 91 7.1 Motivation....................................................................................... 91 7.2 Grundlegendes zu Reihen.............................................................. 92 7.3 Eigenschaften von Reihen.............................................................. 94 7.4 Konvergenzkriterien....................................................................... 95 7.4.1 ........................................................ 96 7.4.2 Wurzelkriterium................................................................. 97 7.4.3
Quotientenkriterium........................................................... 98 7.4.4 Leibniz-Kriterium.............................................................. 99 7.5 Aufgaben.......................................................................................... 100 7.6 Lösungen.......................................................................................... 100 Majorantenkriterium 8 Stetigkeit 105 8.1 Motivation....................................................................................... 105 8.2 Grundlagen zur Stetigkeit.............................................................. 106
Inhaltsverzeichnis XIV 8.3 Zusammensetzung stetiger Funktionen ..................................... 109 8.4 Der Zwischenwertsatz.................................................................... 110 8.5 Supremum, Infimum, Maximum und Minimum......................... 112 8.6 Maximum und Minimum für stetige Funktionen...................... 113 8.7 Aufgaben.......................................................................................... 114 8.8 Lösungen.......................................................................................... 114 9 Differenziation 119 9.1 Motivation....................................................................................... 119 9.2 Grundlagen zur Differenziation..................................................... 120 9.3 Rechenregeln für Ableitungen 122 9.4 Der Mittelwertsatz und Folgerungen daraus ............................ 125 9.5 Höhere Ableitungen....................................................................... 127 9.6 Ausflug: Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion ................... 128 Schwingung eines Pendels................................................. 129 9.6.2 Eigenschaften von Sinus und Kosinus............................ 130 9.6.3 Exponentialfunktion........................................................... 131 9.7 Die Regel von l’Hospital .............................................................. 132 9.8 Aufgaben.......................................................................................... 134 9.9
Lösungen.......................................................................................... 134 9.6.1 ..................................................... 10 Potenzreihen 10.1 139 Motivation....................................................................................... 139 10.2 Grundlegendes zu Potenzreihen .................................................. 139 10.3 Aufgaben.......................................................................................... 143 10.4 Lösungen.......................................................................................... 144 11 Taylorpolynome, Taylorreihen und Extremwerte 149
Inhaltsverzeichnis XV 11.1 Motivation................................................................................... 149 11.2 Taylorpolynom und Taylorreihe................................................ 150 11.2.1 Das Taylorpolynom......................................................... 150 11.2.2 Die Taylorreihe................................................................. 153 11.2.3 Fehlerabschätzung........................................................... 156 11.3 Lokale Extrema differenzierbarer Funktionen........................... 159 11.3.1 Zur Berechnung lokaler Extrema.................................... 159 11.4 Aufgaben...................................................................................... 161 11.5 Lösungen...................................................................................... 162 12 Integration 167 12.1 Motivation....................................................... 167 12.2 Grundlagen zur Integration........................................................ 168 12.3 Der Hauptsatz............................................................................. 171 12.4 Wichtige Regeln zur Integration................................................ 174 12.4.1 Substitutionsregel............................................................ 174 12.4.2 Partielle Integration......................................................... 175 12.4.3 Integration rationaler Funktionen ................................. 177 12.5 Das uneigentliche Integral ........................................................ 179 12.5.1 Integration
unbeschränkter Funktionen........................ 181 12.5.2 Unbeschränkte Integrationsgrenzen .............................. 182 12.6 Aufgaben...................................................................................... 186 12.7 Lösungen...................................................................................... 187 13 Ausblick: Fourierreihen 13.1 Motivation................................................................................... 13.2 Grundlagen zu Fourierreihen 195 195 196
Inhaltsverzeichnis XVI 13.3 Komplexe Darstellung der Fourierreihe.................................... 200 Lineare Algebra 203 14 Worum geht es in der Linearen Algebra? 205 15 Vektorräume, lineare Unabhängigkeit 209 15.1 Motivation................................................................................... 209 15.2 Vektorräume................................................................................. 210 15.3 Der Vektorraum der reellen Zahlen .......................................... 212 15.4 Der Vektorraum reellwertiger Funktionen auf R..................... 214 15.5 Linearkombinationen.................................................................. 215 15.6 Aufgaben...................................................................................... 220 15.7 Lösungen...................................................................................... 221 16 Lineare Abbildungen und Matrizen 227 16.1 Motivation.................................................................................... 227 16.2 Grundlagen zu linearen Abbildungen....................................... 227 16.3 Kern und Bild.............................................................................. 229 16.4 Grundlegendes zu Matrizen......................................................... 231 16.5 Rechnen mit Matrizen.................................................................. 234 16.5.1 Multiplikation von Matrizen .......................................... 234 16.5.2 Vektorraumstruktur für Matrizen ................................. 236 16.6 Besondere
Matrizen..................................................................... 237 16.7 Aufgaben....................................................................................... 240 16.8 Lösungen...................................................................................... 242 17 Lineare Gleichungssysteme 247
Inhaltsverzeichnis 17.1 XVll Motivation und elementare Anwendungen.................................. 247 17.2 Grundlagen....................................................................................... 249 17.3 Gauß-Algorithmus.......................................................................... 250 17.3.1 Abweichungen vom Idealfall ........................................... 252 17.4 Die Struktur der Lösungsmenge.................................................. 253 17.5 Zum Invertieren von Matrizen..................................................... 256 17.6 Aufgaben.......................................................................................... 257 17.7 Lösungen.......................................................................................... 258 18 Determinanten 18.1 263 Motivation....................................................................................... 263 18.2 Definition und Berechnung........................................................... 264 18.2.1 Berechnung für (2 x 2)-Matrizen..................................... 266 18.2.2 Berechnung für (3 x 3)-Matrizen..................................... 266 18.2.3 Dreiecksmatrizen................................................................. 267 18.3 Geometrische Interpretation........................................................ 267 18.3.1 Determinante als Volumenform........................................ 267 18.3.2 Determinante und Orientierung ..................................... 268 18.3.3 Determinante und lineare Unabhängigkeit...................... 269 18.4
Rechenregeln für die Determinante ........................................... 271 18.5 Das Kreuzprodukt.......................................................................... 272 18.6 Aufgaben.......................................................................................... 273 18.7 Lösungen.......................................................................................... 274 19 Norm und Skalarprodukt 279 19.1 Motivation....................................................................................... 279 19.2 Die Norm.......................................................................................... 279
хѵш Inhaltsverzeichnis 19.3 Das Skalarprodukt........................................................................... 282 19.4 Orthonormalisierung nach Schmidt ............................................ 285 19.4.1 Das Verfahren.................................................................... 287 19.5 Orthogonale Matrizen.................................................................... 289 19.6 Aufgaben.......................................................................................... 290 19.7 Lösungen.......................................................................................... 292 20 Basiswechsel und darstellende Matrizen 20.1 297 Motivation....................................................................................... 297 20.2 Koordinatenabbildungen und Koordinatenvektoren................ 298 20.2.1 Das Geschehen im Diagramm............................................ 299 20.3 Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen................... 301 20.4 Matrixtransformation bei einem Basiswechsel............................ 302 20.5 Aufgaben.......................................................................................... 305 20.6 Lösungen.......................................................................................... 306 21 Eigenwerte und Eigenvektoren 21.1 311 Motivation....................................................................................... 311 21.2 Grundlagen....................................................................................... 311 21.3 Berechnung der
Eigenwerte........................................................... 314 21.4 Berechnung der Eigenvektoren..................................................... 315 21.5 Vielfachheiten................................................................................. 316 21.6 Hauptvektoren................................................................................. 318 21.7 Diagonalisierbarkeit....................................................................... 320 21.7.1 Diagonalisierung am Beispiel........................................... 323 21.8 Aufgaben.......................................................................................... 324 21.9 Lösungen..................................... 325
xix Inhaltsverzeichnis 22 Differenzialgleichungen 22.1 331 Motivation....................................................................................... 331 22.2 Grundlagen....................................................................................... 332 22.3 Umschreiben in ein System am Beispiel..................................... 334 22.4 Einige Fragestellungen underste Antworten ............................. 335 22.5 Lösen durch Integration................................................................. 337 22.6 Standardlösungsansatz I .............................................................. 337 22.7 Standardlösungsansatz II.............................................................. 339 22.8 Finden einer partikulären Lösung.............................................. 341 22.9 Anfangswertprobleme.................................................................... 342 22.10 Wroński-Test.................................................................................... 344 22.11 Beispiel für nicht-lineare Differenzialgleichungen...................... 346 22.12 Aufgaben.......................................................................................... 347 22.13 Lösungen.......................................................................................... 348 Klausuraufgaben 353 23 Analysis 355 23.1 Aufgaben.......................................................................................... 355 23.2 Lösungen.......................................................................................... 358 24 Lineare Algebra 24.1
Aufgaben.......................................................................................... 24.2 Lösungen 367 367 370
XX Inhaltsverzeichnis Vom Umgang mit Prüfungen 377 Literatur und Schlussbemerkungen 383 Index 385
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Inhaltsverzeichnis Einige Worte vorab v Analysis 1 1 Worum geht es in der Analysis? 3 2 Ein wenig Vorbereitung 5 2.1 Motivation. 5 2.2 Ein Vorrat an Buchstaben. 5 2.3 Vom richtigen Umgang mit derAussagenlogik. 7 2.4 Vollständige Induktion. 10 2.5 Mengen. 11 2.5.1 Ein kleiner Zoo wichtiger Mengen. 13 2.5.2 Wie aus bekannten Mengen neueentstehen. 14 2.6 Aufgaben. 17 2.7 Lösungen. 18 3 Reelle und komplexe Zahlen 23 3.1 Motivation. 23 3.2 Reelle Zahlen 23
Inhaltsverzeichnis xii 3.2.1 Rechnen mit Ungleichungen. 24 Summen und Produkte. 26 3.3.1 Fakultät und Binomialkoeffizient. 27 Komplexe Zahlen. 29 3.4.1 Polarkoordinaten. 32 3.5 Aufgaben. 33 3.6 Lösungen. 35 3.3 3.4 4 Abbildungen und Funktionen 41 4.1 Motivation und Definitionen. 41 4.2 Einige Eigenschaften von Abbildungen . 42 4.3 Komposition von Abbildungen. 47 4.4 Darstellung von Funktionen . 49 4.5 Aufgaben. 50 4.6 Lösungen. 51 5 Wichtige Funktionen im Überblick 55 5.1 Motivation. 55 5.2 Polynome und rationale Funktionen. 55 5.2.1 Polynome. 55 5.2.2 Rationale
Funktionen. 56 Sinus, Kosinus und Tangens. 60 5.3.1 Einige Additionstheoreme. 63 Exponentialfunktion und Logarithmus. 63 5.4.1 Potenz- und Logarithmusgesetze. 65 5.5 Weitere wichtige Funktionen. 66 5.6 Aufgaben. 68 5.3 5.4
xiii Inhaltsverzeichnis 5.7 Lösungen. 6 Folgen 69 75 6.1 Motivation. 75 6.2 Grundlagen. 75 6.3 Konvergenz und Divergenz. 76 6.4 Rechenregeln für Folgen. 80 6.5 Das Monotoniekriterium. 81 6.6 Was noch über Folgen bekannt sein sollte. 82 6.7 Das Häufungspunktprinzip und mehr. 83 6.8 Aufgaben. 84 6.9 Lösungen. 85 7 Reihen 91 7.1 Motivation. 91 7.2 Grundlegendes zu Reihen. 92 7.3 Eigenschaften von Reihen. 94 7.4 Konvergenzkriterien. 95 7.4.1 . 96 7.4.2 Wurzelkriterium. 97 7.4.3
Quotientenkriterium. 98 7.4.4 Leibniz-Kriterium. 99 7.5 Aufgaben. 100 7.6 Lösungen. 100 Majorantenkriterium 8 Stetigkeit 105 8.1 Motivation. 105 8.2 Grundlagen zur Stetigkeit. 106
Inhaltsverzeichnis XIV 8.3 Zusammensetzung stetiger Funktionen . 109 8.4 Der Zwischenwertsatz. 110 8.5 Supremum, Infimum, Maximum und Minimum. 112 8.6 Maximum und Minimum für stetige Funktionen. 113 8.7 Aufgaben. 114 8.8 Lösungen. 114 9 Differenziation 119 9.1 Motivation. 119 9.2 Grundlagen zur Differenziation. 120 9.3 Rechenregeln für Ableitungen 122 9.4 Der Mittelwertsatz und Folgerungen daraus . 125 9.5 Höhere Ableitungen. 127 9.6 Ausflug: Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion . 128 Schwingung eines Pendels. 129 9.6.2 Eigenschaften von Sinus und Kosinus. 130 9.6.3 Exponentialfunktion. 131 9.7 Die Regel von l’Hospital . 132 9.8 Aufgaben. 134 9.9
Lösungen. 134 9.6.1 . 10 Potenzreihen 10.1 139 Motivation. 139 10.2 Grundlegendes zu Potenzreihen . 139 10.3 Aufgaben. 143 10.4 Lösungen. 144 11 Taylorpolynome, Taylorreihen und Extremwerte 149
Inhaltsverzeichnis XV 11.1 Motivation. 149 11.2 Taylorpolynom und Taylorreihe. 150 11.2.1 Das Taylorpolynom. 150 11.2.2 Die Taylorreihe. 153 11.2.3 Fehlerabschätzung. 156 11.3 Lokale Extrema differenzierbarer Funktionen. 159 11.3.1 Zur Berechnung lokaler Extrema. 159 11.4 Aufgaben. 161 11.5 Lösungen. 162 12 Integration 167 12.1 Motivation. 167 12.2 Grundlagen zur Integration. 168 12.3 Der Hauptsatz. 171 12.4 Wichtige Regeln zur Integration. 174 12.4.1 Substitutionsregel. 174 12.4.2 Partielle Integration. 175 12.4.3 Integration rationaler Funktionen . 177 12.5 Das uneigentliche Integral . 179 12.5.1 Integration
unbeschränkter Funktionen. 181 12.5.2 Unbeschränkte Integrationsgrenzen . 182 12.6 Aufgaben. 186 12.7 Lösungen. 187 13 Ausblick: Fourierreihen 13.1 Motivation. 13.2 Grundlagen zu Fourierreihen 195 195 196
Inhaltsverzeichnis XVI 13.3 Komplexe Darstellung der Fourierreihe. 200 Lineare Algebra 203 14 Worum geht es in der Linearen Algebra? 205 15 Vektorräume, lineare Unabhängigkeit 209 15.1 Motivation. 209 15.2 Vektorräume. 210 15.3 Der Vektorraum der reellen Zahlen . 212 15.4 Der Vektorraum reellwertiger Funktionen auf R. 214 15.5 Linearkombinationen. 215 15.6 Aufgaben. 220 15.7 Lösungen. 221 16 Lineare Abbildungen und Matrizen 227 16.1 Motivation. 227 16.2 Grundlagen zu linearen Abbildungen. 227 16.3 Kern und Bild. 229 16.4 Grundlegendes zu Matrizen. 231 16.5 Rechnen mit Matrizen. 234 16.5.1 Multiplikation von Matrizen . 234 16.5.2 Vektorraumstruktur für Matrizen . 236 16.6 Besondere
Matrizen. 237 16.7 Aufgaben. 240 16.8 Lösungen. 242 17 Lineare Gleichungssysteme 247
Inhaltsverzeichnis 17.1 XVll Motivation und elementare Anwendungen. 247 17.2 Grundlagen. 249 17.3 Gauß-Algorithmus. 250 17.3.1 Abweichungen vom Idealfall . 252 17.4 Die Struktur der Lösungsmenge. 253 17.5 Zum Invertieren von Matrizen. 256 17.6 Aufgaben. 257 17.7 Lösungen. 258 18 Determinanten 18.1 263 Motivation. 263 18.2 Definition und Berechnung. 264 18.2.1 Berechnung für (2 x 2)-Matrizen. 266 18.2.2 Berechnung für (3 x 3)-Matrizen. 266 18.2.3 Dreiecksmatrizen. 267 18.3 Geometrische Interpretation. 267 18.3.1 Determinante als Volumenform. 267 18.3.2 Determinante und Orientierung . 268 18.3.3 Determinante und lineare Unabhängigkeit. 269 18.4
Rechenregeln für die Determinante . 271 18.5 Das Kreuzprodukt. 272 18.6 Aufgaben. 273 18.7 Lösungen. 274 19 Norm und Skalarprodukt 279 19.1 Motivation. 279 19.2 Die Norm. 279
хѵш Inhaltsverzeichnis 19.3 Das Skalarprodukt. 282 19.4 Orthonormalisierung nach Schmidt . 285 19.4.1 Das Verfahren. 287 19.5 Orthogonale Matrizen. 289 19.6 Aufgaben. 290 19.7 Lösungen. 292 20 Basiswechsel und darstellende Matrizen 20.1 297 Motivation. 297 20.2 Koordinatenabbildungen und Koordinatenvektoren. 298 20.2.1 Das Geschehen im Diagramm. 299 20.3 Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen. 301 20.4 Matrixtransformation bei einem Basiswechsel. 302 20.5 Aufgaben. 305 20.6 Lösungen. 306 21 Eigenwerte und Eigenvektoren 21.1 311 Motivation. 311 21.2 Grundlagen. 311 21.3 Berechnung der
Eigenwerte. 314 21.4 Berechnung der Eigenvektoren. 315 21.5 Vielfachheiten. 316 21.6 Hauptvektoren. 318 21.7 Diagonalisierbarkeit. 320 21.7.1 Diagonalisierung am Beispiel. 323 21.8 Aufgaben. 324 21.9 Lösungen. 325
xix Inhaltsverzeichnis 22 Differenzialgleichungen 22.1 331 Motivation. 331 22.2 Grundlagen. 332 22.3 Umschreiben in ein System am Beispiel. 334 22.4 Einige Fragestellungen underste Antworten . 335 22.5 Lösen durch Integration. 337 22.6 Standardlösungsansatz I . 337 22.7 Standardlösungsansatz II. 339 22.8 Finden einer partikulären Lösung. 341 22.9 Anfangswertprobleme. 342 22.10 Wroński-Test. 344 22.11 Beispiel für nicht-lineare Differenzialgleichungen. 346 22.12 Aufgaben. 347 22.13 Lösungen. 348 Klausuraufgaben 353 23 Analysis 355 23.1 Aufgaben. 355 23.2 Lösungen. 358 24 Lineare Algebra 24.1
Aufgaben. 24.2 Lösungen 367 367 370
XX Inhaltsverzeichnis Vom Umgang mit Prüfungen 377 Literatur und Schlussbemerkungen 383 Index 385 |
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