Die schönste Gleichung aller Zeiten: von mathematischen Grundkenntnissen zur eulerschen Identität
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| Published: |
Wiesbaden
Springer Spektrum
[2020]
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|---|---|
| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
1
DIE
KREISZAHL
X
......................................................................................................
1
1.1
DEFINITION
VON
X
..............................................................................................
2
1.1.1
EIGENSCHAFTEN
DES
KREISES
.................................................................
2
1.1.2
GEOMETRISCHE
DEFINITIONEN
VON
X
....................................................
8
1.1.3
HISTORISCHES
ZUM
WERT
VON
X
............................................................
16
1.2
APPROXIMATION
VON
X
MIT
REGELMAESSIGEN
VIELECKEN
......................................
22
1.2.1
HISTORISCHE
MITTELWERTBILDUNG
..........................................................
22
1.2.2
APPROXIMATION
UEBER
DEN
UMFANG
NACH
ARCHIMEDES
.......................
27
1.2.3
ISOPERIMETRISCHE
APPROXIMATION
NACH
REN6
DESCARTES
...................
34
1.2.4
APPROXIMATION
UEBER
DIE
FLAECHE
NACH
FRANCISCUS
VIETA
...................
37
1.3
QUADRATUR
DES
KREISES
...................................................................................
41
1.3.1
REKTIFIZIERUNG
DES
KREISES
MIT
DER
QUADRATRIX
DES
HIPPIAS
.............
46
1.3.2
REKTIFIZIERUNG
DES
KREISES
MIT
DER
ARCHIMEDISCHEN
SPIRALE
............
50
1.4
X
IN
DER
TRIGONOMETRIE
...................................................................................
52
1.4.1
WINKELBEGRIFF
UND
WINKELMASS
...........................................................
53
1.4.2
SINUS
UND
KOSINUS
AM
RECHTWINKLIGEN
DREIECK
...............................
56
1.4.3
SINUS
UND
KOSINUS
FUER
BELIEBIGE
WINKEL
..........................................
59
1.4.4
TRIGONOMETRISCHE
FUNKTIONEN
..........................................................
61
2
DIE
IMAGINAERE
EINHEIT
I
.........................................................................................
71
2.1
ZAHLBEREICHSERWEITERUNGEN
...........................................................................
71
2.2
EINFUEHRUNG
DER
KOMPLEXEN
ZAHLEN
..............................................................
77
2.3
GAUSSSCHE
ZAHLENEBENE
.................................................................................
83
2.4
POTENZIEREN
UND
WURZELZIEHEN
.......................................................................
88
2.5
FUNDAMENTALSATZ
DER
ALGEBRA
.........................................................................
96
3
DIE
BASIS
E
..............................................................................................................
103
3.1
ERWEITERUNG
DES
POTENZBEGRIFFS
....................................................................
104
3.2
EXPONENTIELLES
WACHSTUM
.............................................................................
110
XIII
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
3.2.1
CHARAKTERISIERUNG
DURCH
DAS
ADDITIONSTHEOREM
...............................
111
3.2.2
CHARAKTERISIERUNG
DURCH
EINE
DIFFERENTIALGLEICHUNG
.......................
117
3.3
^-FUNKTION
......................................................................................................
123
3.3.1
APPROXIMATION
DES
FUNKTIONSGRAPHEN
..............................................
124
3.3.2
VON
POLYNOMEN
ZUR
POTENZREIHE
......................................................
126
3.3.3
NATUERLICHER
LOGARITHMUS
...................................................................
130
3.4
RUECKBLICK
UND
AUSBLICK
..................................................................................
132
4
DAS
FINALE
......................................................................................................................
135
4.1
EULERSCHE
FORMEL
.............................................................................................
136
4.2
NOCHMAL
POTENZEN
........................................................
143
4.2.1
KOMPLEXE
^-FUNKTION
.........................................................................
145
4.2.2
ERWEITERUNG
DES
POTENZBEGRIFFS
.........................................................
148
4.3
FASZINIERENDE
IR-FORMELN
.......................................
153
4.4
N
UND
KETTENBRUECHE
........................................................
161
4.5
E
UND
TT
IN
DER
WELT
DER
REELLEN
ZAHLEN
...........................................................
167
4.5.1
RATIONALE
UND
IRRATIONALE
ZAHLEN
......................................................
167
4.5.2
ALGEBRAISCHE
UND
TRANSZENDENTE
ZAHLEN
............................................
170
4.5.3
STUFEN
DER
UNENDLICHKEIT
...................................................................
173
5
ANHANG:
GRUNDLAGEN
AUS
DER
ELEMENTARMATHEMATIK
.......................................
179
5.1
ELEMENTARES
AUS
DER
GEOMETRIE
.....................................................................
179
5.1.1
WINKELSAETZE
........................................................................................
179
5.1.2
KONGRUENZ
..........................................................................................
181
5.1.3
STRAHLENSAETZE
UND
AEHNLICHKEIT
...........................................................
183
5.1.4
SATZGRUPPE
DES
PYTHAGORAS
.................................................................
186
5.2
ELEMENTARES
AUS
ARITHMETIK
UND
ALGEBRA
....................................................
188
5.2.1
RECHENREGELN
.....................................
188
5.2.2
BINOMISCHE
FORMELN
.........................................................................
189
5.2.3
POLYNOMDIVISION
.................................................................................
189
5.3
ELEMENTARES
AUS
DER
ANALYSIS
......................................................
191
5.3.1
FOLGEN
UND
KONVERGENZ
.....................................................................
191
5.3.2
FUNKTIONEN
..........................................................................................
194
5.3.3
STETIGKEIT
..............................................................................................
196
5.3.4
DIFFERENZIERBARKEIT
.............................................................................
198
LITERATUR
..............................................................................................................................
203
STICHWORTVERZEICHNIS
....................................................................................
205
|
| adam_txt |
INHALTSVERZEICHNIS
1
DIE
KREISZAHL
X
.
1
1.1
DEFINITION
VON
X
.
2
1.1.1
EIGENSCHAFTEN
DES
KREISES
.
2
1.1.2
GEOMETRISCHE
DEFINITIONEN
VON
X
.
8
1.1.3
HISTORISCHES
ZUM
WERT
VON
X
.
16
1.2
APPROXIMATION
VON
X
MIT
REGELMAESSIGEN
VIELECKEN
.
22
1.2.1
HISTORISCHE
MITTELWERTBILDUNG
.
22
1.2.2
APPROXIMATION
UEBER
DEN
UMFANG
NACH
ARCHIMEDES
.
27
1.2.3
ISOPERIMETRISCHE
APPROXIMATION
NACH
REN6
DESCARTES
.
34
1.2.4
APPROXIMATION
UEBER
DIE
FLAECHE
NACH
FRANCISCUS
VIETA
.
37
1.3
QUADRATUR
DES
KREISES
.
41
1.3.1
REKTIFIZIERUNG
DES
KREISES
MIT
DER
QUADRATRIX
DES
HIPPIAS
.
46
1.3.2
REKTIFIZIERUNG
DES
KREISES
MIT
DER
ARCHIMEDISCHEN
SPIRALE
.
50
1.4
X
IN
DER
TRIGONOMETRIE
.
52
1.4.1
WINKELBEGRIFF
UND
WINKELMASS
.
53
1.4.2
SINUS
UND
KOSINUS
AM
RECHTWINKLIGEN
DREIECK
.
56
1.4.3
SINUS
UND
KOSINUS
FUER
BELIEBIGE
WINKEL
.
59
1.4.4
TRIGONOMETRISCHE
FUNKTIONEN
.
61
2
DIE
IMAGINAERE
EINHEIT
I
.
71
2.1
ZAHLBEREICHSERWEITERUNGEN
.
71
2.2
EINFUEHRUNG
DER
KOMPLEXEN
ZAHLEN
.
77
2.3
GAUSSSCHE
ZAHLENEBENE
.
83
2.4
POTENZIEREN
UND
WURZELZIEHEN
.
88
2.5
FUNDAMENTALSATZ
DER
ALGEBRA
.
96
3
DIE
BASIS
E
.
103
3.1
ERWEITERUNG
DES
POTENZBEGRIFFS
.
104
3.2
EXPONENTIELLES
WACHSTUM
.
110
XIII
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
3.2.1
CHARAKTERISIERUNG
DURCH
DAS
ADDITIONSTHEOREM
.
111
3.2.2
CHARAKTERISIERUNG
DURCH
EINE
DIFFERENTIALGLEICHUNG
.
117
3.3
^-FUNKTION
.
123
3.3.1
APPROXIMATION
DES
FUNKTIONSGRAPHEN
.
124
3.3.2
VON
POLYNOMEN
ZUR
POTENZREIHE
.
126
3.3.3
NATUERLICHER
LOGARITHMUS
.
130
3.4
RUECKBLICK
UND
AUSBLICK
.
132
4
DAS
FINALE
.
135
4.1
EULERSCHE
FORMEL
.
136
4.2
NOCHMAL
POTENZEN
.
143
4.2.1
KOMPLEXE
^-FUNKTION
.
145
4.2.2
ERWEITERUNG
DES
POTENZBEGRIFFS
.
148
4.3
FASZINIERENDE
IR-FORMELN
.
153
4.4
N
UND
KETTENBRUECHE
.
161
4.5
E
UND
TT
IN
DER
WELT
DER
REELLEN
ZAHLEN
.
167
4.5.1
RATIONALE
UND
IRRATIONALE
ZAHLEN
.
167
4.5.2
ALGEBRAISCHE
UND
TRANSZENDENTE
ZAHLEN
.
170
4.5.3
STUFEN
DER
UNENDLICHKEIT
.
173
5
ANHANG:
GRUNDLAGEN
AUS
DER
ELEMENTARMATHEMATIK
.
179
5.1
ELEMENTARES
AUS
DER
GEOMETRIE
.
179
5.1.1
WINKELSAETZE
.
179
5.1.2
KONGRUENZ
.
181
5.1.3
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UND
AEHNLICHKEIT
.
183
5.1.4
SATZGRUPPE
DES
PYTHAGORAS
.
186
5.2
ELEMENTARES
AUS
ARITHMETIK
UND
ALGEBRA
.
188
5.2.1
RECHENREGELN
.
188
5.2.2
BINOMISCHE
FORMELN
.
189
5.2.3
POLYNOMDIVISION
.
189
5.3
ELEMENTARES
AUS
DER
ANALYSIS
.
191
5.3.1
FOLGEN
UND
KONVERGENZ
.
191
5.3.2
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.
194
5.3.3
STETIGKEIT
.
196
5.3.4
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.
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LITERATUR
.
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STICHWORTVERZEICHNIS
.
205 |
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