Differentialgleichungen für Einsteiger: Grundlagen und Anwendungen mit vielen Übungen, Lösungen und Videos
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Berlin
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Inhaltsverzeichnis
0 Wiederholung: Differential- und Integralrechnung 5
1 Einführung und Grundbegriffe 11
2 Differentialgleichungen erster Ordnung 17
2 1 Einfuhrendes Beispiel: Raketenstart 20
2 2 Lineare DGLs erster Ordnung 23
221 Radioaktiver Zerfall 23
222 Lösungstheorie 26
223 Variation der Konstanten 34
2 3 Allgemeine DGLs erster Ordnung 37
231 DGLs mit getrennten Variablen 37
232 Euler-homogene DGL 39
233 Bernoulli'sehe DGL 41
2 4 Anwendungen 44
241 Selbstinduktion 44
242 Kondensatoraufladung und -entladung 47
243 Wechselstrom und Induktivität 51
244 Wachstumsprozesse 54
245 Raketengleichung 68
246 Atmosphärenphysik 69
v
vj Inhaltsverzeichnis
247 Champagnerlaune 70
248 Chemische Reaktionen 73
249 Enzymkinetik 79
2 4 10 Wiedereintritt von Raumfahrzeugen in die Atmosphäre 82
2 4 11 Eintauchen einer Kugel 84
2 5 Aufgaben 89
2 6 Ergänzende und weiterfuhrende Literatur 95
3 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 97
3 1 Lineare DGLs zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 97
311 Homogene DGLs zweiter Ordnung 97
312 Inhomogene DGLs zweiter Ordnung 106
3 2 Laplace-Transformation *14
321 Definition der Laplace-Transformation 115
322 Eigenschaften der Laplace-Transformation 118
323 Lösung von Differentialgleichungen mithilfe der
Laplace-Transformation 122
324 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen 124
3 3 Variation der Konstanten 126
3 4 Randwertprobleme 128
3 5 Reduktion der Ordnung 129
3 6 Anwendungen 132
361 Das ungedämpfte Federpendel 132
362 Das gedämpfte Federpendel 135
363 Die Macht der Analogie: Elektromagnetischer Schwingkreis 143
364 Erzwungene Schwingung - Resonanz 1 145
365 Erzwungene Schwingung - Resonanz 2 158
366 Das mathematische Pendel 160
367 Schrödinger-Gleichung in einer Dimension 164
368 Stemenlstehung 168
3 7 Aufgaben 172
Inhaltsverzeichnis
vii
3 8 Ergänzende und weiterführende Literatur 175
4 Differentialgleichungssysteme 177
4 1 Einführung 177
4 2 Homogene lineare Differentialgleichungssysleme mit konstanten
Koeffizienten 179
4 3 Inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten
Koeffizienten 181
4 4 Eliminationsmethode 183
4 5 Laplace-Transformation 185
4 6 Anwendungen 187
461 Radioaktive Zerfallsreihen 187
462 Kompartmentanalyse 191
463 Wechselstromnetzwerke 195
464 Schwingungstilger bei Brücken und Wolkenkratzern 200
465 Gekoppelte mechanische Schwingung 202
4 7 Aufgaben 205
4 8 Ergänzende und weiterführende Literatur 208
5 Partielle Differentialgleichungen 209
5 1 Einführung - Partielle Ableitungen 209
511 Funktionen im R 209
512 Partielle Differenzierbarkeit 214
5 2 Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen 218
521 Einführendes Beispiel: Transversalwellen 218
522 PDGLs erster Ordnung: Methode der Charakteristiken 221
5 3 PDGLs zweiter Ordnung 228
531 Die Wellengleichung - die schwingende Saite (Separation
der Variablen) 228
532 Wellengleichung - Anfangswertproblem 231
533 Wärmeleitungsgleichung - Separation der Variablen 236
534 Die Schrödinger-Gleichung im Zweidimensionalen 239
vjjj Inhaltsverzeichnis
5 4 Aufgaben 242
5 5 Ergänzende und weiterführende Literatur 245
6 Numerische Lösung von DifferentiaJgleichungen 247
6 1 Anfangswertprobleme 249
611 Euler-Verfahren 250
612 Mittelpunktsregel 257
613 Runge-Kutta-Verfahren 260
614 Verallgemeinerung der Verfahren auf
Anfangswertprobleme von DGL-Systemen 263
6 2 Randwertprobleme 265
621 Schießverfahren 266
622 Differenzenmethode 269
623 Die MATLAB-Funktion bvp4c 273
6 3 Partielle Differentialgleichungen 275
6 4 Anwendungen 280
641 Räuber-Beute-Modelle 280
642 Wettbewerbsmodelle 286
6 5 Aufgaben 290
6 6 Ergänzende und weiterführende Literatur 298
7 Mathematische Modellierung 299
7 1 Motivation 299
7 2 Biologischer Prozess: Xanthanproduktion 301
7 3 Mathematische Modellbildung 303
7 4 Simulation 305
7 5 Ausblick 310
7 6 Aufgaben 311
7 7 Ergänzende und weiterführende Literatur 315
8 Mathematische Softwaretools 317
8 1 MATLAB 317
Inhaltsverzeichnis ix
811 Konstanten 320
812 Variablen 320
813 Mathematische Funktionen 322
814 Programmierung mit MATLAB 323
815 Grafische Darstellung 326
8 2 Mathematica 327
821 Grundfunktionen 328
822 3D-Darstellung mit Mathematica 331
823 Programmierung mit Mathematica 333
8 3 Aufgaben 336
8 4 Ergänzende und weiterführende Literatur 340
A Lösungen 341
A l Lösungen zu Kapitel 2 341
A 2 Lösungen zu Kapitel 3 358
A 3 Lösungen zu Kapitel 4 368
A 4 Lösungen zu Kapitel 5 374
A 5 Lösungen zu Kapitel 6 378
A 6 Lösungen zu Kapitel 7 397
A 7 Lösungen zu Kapitel 8 410
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