Aufstieg zu den Einsteingleichungen: Einführung in die quantitative Allgemeine Relativitätstheorie
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Berlin
Pro Business
[2014]
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INHALTSVERZEICHNIS
I. DAS WELTBILD DER GRAVITATION VOR EINSTEIN 21
1. DIE KEPLERSCHEN GESETZE 25
2. FALLGESETZE 33
2.1. BEWEGUNG IN EINER DIMENSION 33
2.1.1. GESCHWINDIGKEIT 34
2.1.2. BESCHLEUNIGUNG 42
2.1.3. DER FREIE FALL 45
2.2. BEWEGUNG IN ZWEI UND DREI DIMENSIONEN 46
2.2.1. TRAJEKTORIE, GESCHWINDIGKEITS- UND BESCHLEUNIGUNGS
VEKTOR 51
2.2.2. WURFBEWEGUNGEN 55
2.2.3. KREISBEWEGUNG 58
2.3. VERALLGEMEINERUNG AUF DREI DIMENSIONEN 62
3. NEWTONSCHE GESETZE 63
3.1. IMPULSERHALTUNG 64
3.2. DIE GRAVITATIONSKRAFT IM ERDUMFELD 66
4. ARBEIT UND ENERGIE 71
4.1. ARBEIT IN EINER DIMENSION BEI KONSTANTER KRAFT 71
4.2. ARBEIT BEI VERAENDERLICHER KRAFT 73
4.3. ARBEIT UND ENERGIE IN DREI DIMENSIONEN 77
4.4. POTENTIELLE ENERGIE 87
5. DREHBEWEGUNGEN, ROTATIONEN 97
5.1. WINKELGESCHWINDIGKEIT UND WINKELBESCHLEUNIGUNG . 97
5.2. DREHMOMENT UND TRAEGHEITSMOMENT 99
5.3. DREHIMPULS 101
5.4. DER ALLGEMEINE FALL DER DREHBEWEGUNGEN 102
15
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INHAL TSVERZEICHNIS
5.5. GEGENUEBERSTELLUNG DER PHYSIKALISCHEN GROESSEN BEI TRANSLA
TIONEN UND ROTATIONEN 108
6. DAS NEWTONSCHE GRAVITATIONSGESETZ 109
6.1. DIE POTENTIELLE ENERGIE DER NEWTONSCHEN GRAVITATIONSKRAFT 112
6.2. ABLEITUNG DER KEPLER GESETZE AUS NEWTONS GRAVITATIONS
GESETZ 118
6.2.1. BAHNKURVE EINES TEILCHENS IN POLARKOORDINATEN . . 121
6.2.2. BESTIMMUNG DER PLANETENBAHNEN 122
6.3. DAS GRAVITATIONSFELD AUSGEDEHNTER KOERPER 144
6.4. DIE POISSON GLEICHUNG 150
6.5. SCHWERE UND TRAEGE MASSE, AEQUIVALENZPRINZIP 152
7. LITERATURHINWEISE UND WEITERFUEHRENDES 155
II.
VEKTOR- UND
TENSORRECHNUNG IN
DER
EUKLIDISCHEN
EBENE 159
8. VEKTORRECHNUNG IN DER EUKLIDISCHEN EBENE 163
8.1. BASISWECHSEL 168
8.1.1. GEDREHTE UND VERSCHOBENE KOORDINATENSYSTEME . 169
8.1.2. ALLGEMEINE (KRUMMLINIGE) KOORDINATENSYSTEME . . 181
8.2. VEKTORANALYSIS IN ALLGEMEINEN KOORDINATENSYSTEMEN . . . 198
8.2.1. ABLEITUNG DER BASISVEKTOREN 199
8.2.2. ABLEITUNG ALLGEMEINER VEKTOREN 203
9. TENSORRECHNUNG IN DER EUKLIDISCHEN EBENE 211
9.1. EINSFORMEN, ZEILENVEKTOREN 212
9.2. EINSTEINSCHE SUMMENKONVENTION 219
9.3. (0,2) - TENSOREN 223
9.3.1. ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN VON (0.2) - TENSOREN . . 223
9.3.2. DER METRISCHE TENSOR 226
9.3.3. DIE KOVARIANTE ABLEITUNG EINES (0, 2) - TENSORS . . 230
9.4. (M, A
T
) - TENSOREN 233
9.4.1. (0, N) - TENSOREN 233
9.4.2. (M, 0) - TENSOREN 234
9.4.3. (M.
N) - TENSOREN 235
9.4.4. INDIZES HINAUF UND HINUNTER ZIEHEN 236
9.4.5. DIE KOVARIANTE ABLEITUNG ALS TENSOR 237
16
INH
A 11 S VERZEI
CHNIS
9.4.6. BERECHNUNG DER CHRISTOFFEL SYMBOLE DURCH DIE METRIK240
9.4.7. TENSORGLEICHUNGEN IN DER EUKLIDISCHEN EBENE . . . 244
10. LITERATURHINWEISE UND WEITERFUEHRENDES 245
III. DIE SPEZIELLE RELATIVITAETSTHEORIE 247
11. RELATIVITAETSPRINZIP 251
11.1. DAS GALILEISCHE- / NEWTONSCHE RELATIVITAETSPRINZIP . 251
11.2. LICHT UND AETHER 255
11.3. DAS EINSTEINSCHE RELATIVITAETSPRINZIP 257
11.3.1. DIE RELATIVITAET DER GLEICHZEITIGKEIT 258
11.3.2. ZEITDEHNUNG 260
11.3.3. LAENGENKONTRAKTION 262
11.3.4. DOPPLER EFFEKT 266
11.4. UHRENDESYNCHRONISATION 271
11.5. ADDITION VON GESCHWINDIGKEITEN 277
11.6. IMPULS. MASSE, ENERGIE 279
11.7. RAUMZEIT-INTERVALLE 289
12.DIE GEOMETRIE DER RAUMZEIT 297
12.1. LORENTZ TRANSFORMATION 297
12.2. NATUERLICHE EINHEITEN 304
12.3. RAUMZEIT-DIAGRAMME (RZD) 309
13.VEKTORRECHNUNG IN DER SPEZIELLEN RELATIVITAETSTHEORIE 321
13.1. DEFINITION VON RAUMZEIT VEKTOREN 321
13.2. VEKTORALGEBRA 326,
13.3. DIE VIERERGESCHWINDIGKEIT, DER VIERERIMPULS 331
13.3.1. WELTLINIEN IN DER RAUMZEIT 332
13.3.2. VIERERIMPULS 338
13.4. RELATIVISTISCHE DYNAMIK 339
14.TENSORRECHNUNG IN DER SPEZIELLEN RELATIVITAETSTHEORIE 345
14.1. (0, ./V) - TENSOREN 345
14.2. EINSFORNIEN 347
14.3. (0, 2) - TENSOREN 352
14.4. KORRESPONDENZ VON VEKTOREN UND EINSFORNIEN 354
14.5. (N,
M) - TENSOREN 356
14.6. (KOVARIANTE) ABLEITUNGEN VON TENSOREN 358
17
INHALTSVERZEICHNIS
15.ENERGIE-IMPULS-TENSOREN IN DER
SPEZIELLEN
RELATIVITAETSTHEO
RIE 361
15.1. INKOHORAENTE MATERIE 361
15.2. IDEALE FLUIDE 373
16.
LITERATURHINWEISE UND WEITERFUEHRENDES
381
IV. DIE ALLGEMEINE RELATIVITAETSTHEORIE 383
17.GRAVITATION UND RAUMZEIT MODELL 389
17.1. AEQUIVALENZPRINZIP 389
17.2. GRAVITATIVE ROTVERSCHIEBUNG 390
17.3. LICHTABLENKUNG AN DER SONNE IM NEWTONSCHEN GRAVITATI
ONSFELD 392
17.4. GRAVITATION UND KRUEMMUNG 394
17.5. ALLGEMEINE KOORDINATENSYSTEME 400
* 17.5.1. BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME IN DER SRT 400
17.5.2. ERWEITERTES AQUIVALENZPRINZIP 405
18.DIE MATHEMATISCHEN GRUNDLAGEN DER GEKRUEMMTEN RAUMZEIT409
18.1. MANNIGFALTIGKEITEN 409
18.2. TANGENTIALRAUM, TANGENTIALVEKTOREN, TENSOREN 419
18.3. RIEMANNSCHE RAEUME 424
18.3.1. TENSORANALYSIS IM RIEMANNSCHEN RAUM 426
18.3.2. KOVARIANTE ABLEITUNG VON TENSOREN IM RIEMANN
SCHEN RAUM 430
18.3.3. CHRISTOFFELSYMBOLE DURCH METRIK 434
19.BEWEGUNG IM GRAVITATIONSFELD, GEODAETENGLEICHUNG 437
19.1. GEODAETEN IN DER EUKLIDISCHEN EBENE 445
19.2. GEODAETEN AUF DER KUGELOBERFLAECHE 450
20.KRUEMMUNG IM RIEMANNSCHEN RAUM 457
20.1. PARALLELVERSCHIEBUNG 458
20.2. RIEMANNSCHER KRUEMMUNGSTENSOR 464
' 20.3. SYMMETRIEN DES RIEMANN TENSORS 470
20.4. RICCI TENSOR UND KRIIMMUNGSSKALAR 474
18
INHALTSVERZEICHNIS
21-PHYSIKALISCHE GESETZE IM RIEMANNSCHEN RAUM, EINSTEINGLEI
CHUNGEN 479
21.1. KOVARIANZPRINZIP 479
21.2. NEWTONSCHER GRENZFALL 483
21.3. EINSTEINSCHE FELDGLEICHUNGEN 485
21.4. INTERPRETATION DER EINSTEINGLEICHUNGEN 491
21.4.1. AUS EINSTEIN FOLGT NEWTON 491
21.4.2. KOSMOLOGISCHE KONSTANTE 493
21.4.3. ENERGIEERHALTUNG ALS KONSEQUENZ DER RAUMZEIT GEO
METRIE 495
21.4.4. GEODAETEN ALS FOLGE DER EINSTEINGLEICHUNGEN . 495
22.STATISCHE, SPHAERISCHE GRAVITATIONSFELDER 499
22.1. KOORDINATENSYSTEME FUER STATISCHE SPHAERISCHE RAUMZEITEN 499
22.2. SCHWARZSCHILDMETRIK 503
22.3. PHYSIKALISCHE INTERPRETATION DER SCHWARZSCHILDLOESUNG . . 512
22.3.1. DIE RADIALE KOORDINATE 512
22.3.2. DIE ZEITKOORDINATE 514
22.3.3. DER SCHWARZSCHILDRADIUS 515
22.4. GRAVITATIVE ROTVERSCHIEBUNG IN DER SCHWARZSCHILD RAUMZEIT518
22.5. BEWEGUNGEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUMZEIT 524
22.6. PERIHELDREHUNG DES MERKUR 530
22.7. LICHTABLENKUNG IN DER SCHWARZSCHILD RAUMZEIT 535
23.SCHWARZE LOECHER 541
23.1. MASSENDICHTE VON SCHWARZEN LOECHERN 541
23.2. ROTVERSCHIEBUNG AM SCHWARZSCHILDRADIUS 542
23.3. RADIALER FALL IN DER SCHWARZSCHILD RAUMZEIT ' 544
23.4. EDDINGTON-FINKELSTEIN KOORDINATEN 550
23.5. KRUSKAL KOORDINATEN 559
24.LITERATURHINWEISE UND WEITERFUEHRENDES 567
25.ANHANG FORMELN 571
25.1. MATHEMATISCHE FORMELN 571
25.1.1. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 571
25.1.1.1. DEFINITIONEN 571
25.1.1.2. EIGENSCHAFTEN UND ADDITIONSTHEOREME DER
TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 572
25.1.1.3. DIE UMKEHRFUNKTIONEN DER TRIGONOMETRI
SCHEN FUNKTIONEN, ARCUSFUNKTIONEN . . . 573
19
INHALTS VERZEI CHNIS
25.1.2. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS - FUNKTIONEN . . . 573
2-5.1.3. GEOMETRISCHE FORMELN -574
25.1.4. ALGEBRAISCHE FORMELN 574
25.2. PHYSIKALISCHE GESETZE 574
26.ANHANG EINHEITEN UND KONSTANTEN 577
26.1. EINHEITEN 577
26.1.1. SI - EINHEITEN 577
26.1.2. NATUERLICHE EINHEITEN 578
26.2. PHYSIKALISCHE KONSTANTEN UND ASTRONOMISCHE GROESSEN IN SI
- EINHEITEN 578
26.3. MATHEMATISCHE KONSTANTEN 579
26.4. GRIECHISCHES ALPHABET 579
LITERATURVERZEICHNIS 581
INDEX 589
20 |
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