Infinitesimalrechnung: Analysis mit hyperreellen Zahlen
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Berlin, Germany
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INHALTSVERZEICHNIS
1 E INLEITU N
G.
1
LITERATUR.
4
2 HYPERREELLE ZAHLEN
.
5
2.1 AXIOMATISCHE EINFUEHRUNG DER HYPERREELLEN ZAHLEN
.
6
2.2 UMGANG MIT HYPERREELLEN Z AH LE N
. 7
2.2.1 HYPERREELLE ZAHLEN ALS W ERKZEUG
.
7
2.2.2 TYPEN HYPERREELLER ZAHLEN
.
8
2.2.3 GRUNDRECHENREGELN FUER HYPERREELLE ZAHLENTYPEN
.
9
2.2.4 VERANSCHAULICHUNG MITTELS MASSSTABSAENDERUNGEN
.
10
2.2.5 UNENDLICHKEITSBRILLE
. 11
2.2.6 VERGROESSERUNG VON FUNKTIONSGRAPHEN
. 12
2.2.7 HYPERREELLE ZAHLEN ALS
DEZIMALZAHLEN. 15
2.3 RECHNEN MIT HYPERREELLEN Z AH LEN
. 19
2.3.1 ADDITION UND
SUBTRAKTION. 19
2.3.2 MULTIPLIKATION UND D IV ISIO N
.
21
2.3.3 INFINITESIMALE NACHBARSCHAFT
.
23
2.3.4 REELLER TEIL FINITER HYPERREELLER Z
AHLEN. 25
2.3.5 ANALYSE HYPERREELLER TERME
.
27
2.4 HYPERREELLE ZAHLEN UND FOLGEN REELLER Z AH LEN
. 28
2.4.1 ZUM BEGRIFF DER ZAHLENFOLGE
.
29
2.4.2 FOLGEN RATIONALER ZAHLEN ALS SCHREIBWEISE FUER REELLE
Z A H LE N . 30
2.4.3 FOLGEN REELLER ZAHLEN ALS SCHREIBWEISE FUER HYPERREELLE
Z A H LE N
.
31
2.4.4 FOLGENTYPEN UND ZAHLTYPEN
.
38
2.5 ERWEITERUNGEN VON FUNKTIONEN UND M EN G E N
. 41
2.5.1 ABSOLUTBETRAG EINER HYPERREELLEN Z A H L .
42
2.5.2 HYPERREELLE ERWEITERUNG REELLER FUNKTIONEN
.
43
2.5.3 HYPERREELLE ERWEITERUNG DER DEZIMALZAHLEN
.
45
2.5.4 HYPERFINITE MENGEN
. 47
2.6 Z
AHLBEREICHE.
50
2.6.1 ZAHLBEREICHSERWEITERUNGEN ALLGEMEIN
.
50
2.6.2 ERWEITERUNG ZU DEN REELLEN Z A H LE N
.
50
2.6.3 ERWEITERUNG ZU DEN HYPERREELLEN ZAHLEN
. 52
LITERATUR.
59
3 D IFFERENTIALRECHNUNG
.
61
3.1 DIFFERENZIEREN VON FUNKTIONEN NACH L
EIBNIZ
.
62
3.1.1 TANGENTE UND
FUNKTIONSGRAPH. 62
3.1.2 QUOTIENT INFINITESIMALER DIFFERENZEN
.
64
3.1.3 TANGENTENDEFINITION
.
66
3.1.4 TANGENTENSTEIGUNG AN BELIEBIGER S
TELLE. 68
3.1.5 ABLEITUNG EINER FUNKTION
. 68
3.1.6 STETIGKEIT EINER FUNKTION
.
71
3.1.7 LIMESSCHREIBWEISE
. 72
3.1.8 DIFFERENTIALE UND DIFFERENTIALQUOTIENT
.
72
3.2
DIFFERENTIATIONSREGELN.
77
3.2.1 REGELN FUER RATIONALE F UNKTIONEN
.
77
3.2.2 REGELN FUER NICHT RATIONALE FUNKTIONEN
.
84
3.3 STETIGE UND DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN
.
92
3.3.1 EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN
.
92
3.3.2 EIGENSCHAFTEN DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN
.
96
3.4 ZUR BESTIMMUNG DER KRUEMMUNG VON FUNKTIONSGRAPHEN
.
100
3.5 ABLEITEN VON FUNKTIONEN NACH N
EWTON
.
104
3.5.1 IDEE DER FLUXIONEN
. 104
3.5.2 BEGRUENDUNG DER FLUXIONSREGEL
.
108
3.5.3 WEITERE DIFFERENTIATIONSREGELN
.
109
LITERATUR.
113
4 IN TE G RALREC H N U N G
.
115
4.1 ZWEI ARCHIMEDISCHE E RGEBNISSE
.
116
4.1.1 UMFORMULIERUNGEN DER ARCHIMEDISCHEN
BEWEISSTRATEGIE.
116
4.1.2 FLAECHENINHALT EINES PARABELSEGMENTS
.
117
4.1.3 VOLUMEN EINER K UGEL
.
122
4.2 DAS
RIEMANN-INTEGRAL.
123
4.2.1 BEDINGUNGEN FUER INTEGRIERBARKEIT
.
125
4.2.2 DEFINITION VON
FLAECHENINHALT. 128
4.2.3 INTEGRAL EINER QUADRATISCHEN FUNKTION. 135
4.3
INTEGRALFUNKTIONEN.
138
4.3.1 HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
.
139
4.3.2 UNBESTIMMTES INTEGRAL
.
143
4.3.3 INTEGRALM
ITTELWERT.
156
4.4 INTEGRALE IN WEITEREN KONTEXTEN
. 159
4.4.1 RAUMINHALTE VON K
OERPERN. 161
4.4.2 BOGENLAENGE VON K U RV E N
. 170
4.4.3 OBERFLAECHENINHALTE VON KOERPERN
.
175
4.4.4 INTEGRATION IN PHYSIKALISCHEM K
ONTEXT. 179
4.5 NUMERISCHE INTEGRATION
.
180
4.6 GESCHICHTLICHES ZUR INTEGRALRECHNUNG
.
186
4.6.1 A
RCHIMEDES
(CA. 287 BIS 212 VOR C HRISTUS)
.
186
4.6.2 L
EIBNIZ
(1646 BIS
1716). 200
LITERATUR.
206
5 TRANSZENDENTE FU N K TIO N E N
.
207
5.1 LOGARITHMUSFUNKTIONEN
.
207
5.1.1 DER NATUERLICHE LOGARITHMUS
.
207
5.1.2 EIGENSCHAFTEN DES NATUERLICHEN LOGARITHM US
.
208
5.1.3 ZUM GRAPHEN DES NATUERLICHEN LOGARITHM US
.
211
5.1.4 ZUM LANGSAMEN WACHSTUM DER
LOGARITHMUSFUNKTIONEN.
214
5.1.5 LOGARITHMISCHES DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN
.
217
5.2 EXPONENTIALFUNKTIONEN
.
220
5.2.1 DIE UMKEHRFUNKTION ZUM NATUERLICHEN LOGARITHMUS
.
220
5.2.2 EXPONENTIALFUNKTIONEN ZU ANDEREN B ASEN
.
224
5.2.3 STETIGE FORTSETZUNG EINER EXPONENTIALFUNKTION
VON Q NACH R
.
225
5.3 HYPERBELFUNKTIONEN
.
229
5.4
KREISFUNKTIONEN.
232
5.4.1 ZUM K RE IS
.
232
5.4.2 SINUS, KOSINUS UND T ANGENS
.
233
5.4.3 DIE ABLEITUNG VON S IN U
S. 236
5.4.4 DIE ABLEITUNG VON K
OSINUS. 238
5.4.5 NOCHMALS DIE ABLEITUNG VON SINUS UND KOSINUS
.
239
5.4.6 INTEGRATION VON SINUS UND K OSINUS
.
240
5.4.7 ABLEITUNG UND INTEGRAL DER TANGENSFUNKTION
.
242
5.5 DIE UMKEHRFUNKTIONEN DER KREISFUNKTIONEN
. 242
5.5.1 DIE
ARKUSKOSINUSFUNKTION.
242
5.5.2 DIE
ARKUSSINUSFUNKTION.
244
5.5.3 DIE
ARKUSTANGENSFUNKTION.
245
LITERATUR.
247
6 UNENDLICHE R E IH E N
.
249
6.1 EXPONENTIALFUNKTIONEN NACH E
ULER
.
249
6.1.1 VON DER DARSTELLUNG DER EXPONENTIALGROESSEN
DURCH R EIH EN
.
250
6.1.2 BERECHNUNG VON E NACH E
ULER
.
251
6.1.3 EIGENSCHAFTEN DER E-FUNKTION
.
255
6.2 UNENDLICHE REIHEN ALLGEM EIN
.
258
6.2.1 KONVERGENZ VON FOLGEN UND R EIH EN
.
258
6.2.2 GEOMETRISCHE REIHEN - ACHILLES UND DIE SCHILDKROETE
.
259
6.2.3 WEITERE
KONVERGENZKRITERIEN.
262
6.2.4 VOM NUTZEN DIVERGENTER R EIH EN
.
266
6.2.5 ENTWICKLUNG VON FUNKTIONEN DURCH POTENZREIHEN
.
267
LITERATUR.
269
SACHVERZEICHNIS.
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