Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Band 1 Grundlagen und eindimensionale Analysis
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Springer Spektrum
[2019]
|
| Edition: | 3. Auflage |
| Series: | Springer-Lehrbuch
Springer-Lehrbuch |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XV, 584 Seiten Illustrationen, Diagramme (farbig) |
| ISBN: | 9783662581483 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis I Vorkennt nisse undGrundlagen 1 0 Zum Einstieg 0.1 Vorkenntnisse............................................................................ 0.2 Bezeichnungsweisen im Text................................................. 3 3 4 1 Grundlagen logischen Schließens 1.1 Motivation ............................................................................... 1.2 Aussagenlogik............................................................................ 1.2.1 Der Aussagebegriff...................................................... 1.2.2 Aussageverbindungen ................................................ 1.2.3 Zeichensetzung............................................................ 1.2.4 Logisch äquivalente Aussagen.................................... 1.2.5 Rechenregeln............................................................... 1.2.6 Mehr zur Implikation ................................................ 1.2.7 Allgemeingültige Aussagen ....................................... 1.2.8 Logisches Folgern und Schlussregeln........................ 1.3 Prädikate.................................................................................. 1.3.1 Was sind Prädikate?................................................... 1.3.2 Existenzaussagen und Generalisierungen.................. 1.3.3 Zum Geltungsbereich quantifizierter Aussagen ... 1.3.4 Verbundene Prädikate................................................ 1.3.5 Bildungs- und Rechenregeln....................................... 1.3.6 Allgemeingültige Aussagen ....................................... 1.4 Kleine
Ergänzungen................................................................ 1.4.1 Es geht auch weniger formal....................................... 1.4.2 Folgerungsketten......................................................... 1.5 Aufgaben.................................................................................. 5 5 5 5 6 10 11 12 14 18 22 23 23 24 24 26 26 30 31 31 32 33
VIII INHALTSVERZEICHNIS 2 Mengen und Mengenoperationen 35 Begriffe.................................................................................... 2.1.1 Beschreibung von Mengen.......................................... 2.1.2 Visualisierung............................................................... 2.1.3 Inklusionen, Gleichheit................................................ 2.2 Operationen mit Mengen ...................................................... 2.2.1 Beziehungen zur Logik................................................ 2.2.2 Rechenregeln und ihre Anwendungen........................ 2.3 Das kartesische Produkt von Mengen.................................... 2.4 Aufgaben................................................................................. 35 36 41 42 46 48 48 50 55 3 Zahlensysteme, Ungleichungen, Potenzen 3.1 Zahlensysteme ........................................................................ 57 2.1 3.1.1 N..................................................................................... 3.1.2 Z..................................................................................... 3.1.3 Q..................................................................................... 3.1.4 К..................................................................................... 3.1.5 R , Koordinatensysteme, Visualisierung................... 3.1.6 Etwas Neues: Die Menge C........................................ 3.1.7 Nützliche Ergänzungen .............................................. 3.1.8
Aufgaben...................................................................... 3.2 Ungleichungen und Beträge................................................... 3.2.1 Ungleichungen............................................................. 3.2.2 Der Absolutbetrag....................................................... 3.2.3 Aufgaben...................................................................... 3.3 Potenzen und Potenzgesetze................................................... 3.3.1 Vorbemerkung ............................................................. 3.3.2 Ausgangspunkt............................................................. 3.3.3 “Mehr Exponenten” .................................................... 3.3.4 Der Exponent Null....................................................... 3.3.5 Positive rationale Exponenten..................................... 3.3.6 Negative Exponenten ................................................. 3.3.7 Beliebige reelle Exponenten........................................ 3.3.8 Zur Gültigkeit der Potenzgesetze............................... 3.3.9 Das Rechnen mit Potenzen........................................ 3.3.10 Logarithmen................................................................ 3.3.11 Aufgaben...................................................................... 3.4 Polynome................................................................................. 3.4.1 Vorbemerkung............................................................. 3.4.2 Das Rechnen mit Polynomen..................................... 3.4.3 Nullstellen
und Polynomzerlegung............................ 3.4.4 Ausblick: Polynome und komplexe Zahlen................ 57 57 57 57 58 60 60 61 65 65 65 74 79 80 80 81 83 84 86 87 88 89 91 94 98 99 99 100 109 115
INHALTSVERZEICHNIS 3.4.5 Aufgaben...................................................................... IX 118 119 4 Relationen 4.1 Motivation ............................................................................... 4.2 Der Relationsbegriff................................................................ 4.2.1 Definitionen.................................................................... 4.2.2 Definitionsbereich und Bild........................................ 4.2.3 Assoziierte Schnitte .................................................... 4.2.4 Weitere Beispiele für Relationen ............................... 4.2.5 Erweiterung und Einschränkung von Relationen . . 4.3 Abbildungen ............................................................................ 4.3.1 Definition....................................................................... 4.3.2 Beispiele.......................................................................... 4.3.3 Abbildungen - wie weiter ?........................................ 4.4 Korrespondenzen...................................................................... 4.5 Vergleichsrelationen ................................................................ 4.5.1 Ordnungsrelationen .................................................... 4.5.2 Präferenzen.................................................................. 4.5.3 Äquivalenzrelationen................................................... 4.6 Umkehrrelationen...................................................................... 4.7 Komposition von
Relationen.................................................... 4.8 Aufgaben.................................................................................. 119 119 119 121 122 123 124 125 125 126 127 127 128 129 133 136 138 140 141 5 Mehr über Abbildungen 5.1 Zum mathematischen Sprachgebrauch................................ 5.1.1 Übersicht....................................................................... 143 5.1.2 Definitionsbereich und Bild........................................ 5.1.3 Einschränkung von Abbildungen............................... 5.1.4 Fortsetzung vs. Erweiterung........................................ 5.1.5 Komposition von Abbildungen................................... 5.2 Bilder und Urbilder beliebiger Mengen................................. 5.3 Eineindeutigkeit und Umkehrabbildung ............................. 5.4 Aufgaben................................................................................ II Analysis im R1 6 Grundwissen über die Menge der reellen Zahlen 6.1 Intervalle, Schranken und Grenzen in R1.............................. 6.1.1 6.1.2 6.1.3 Intervalle..................................................................... Schranken..................................................................... Minimum und Maximum .......................................... 143 143 143 143 145 145 146 148 152 153 155 155 155 156 158
x INHALTSVERZEICHNIS 6.2 6.3 6.1.4 Grenzen........................................................................ Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen..................... 6.2.1 Abstandsbegriffe......................................................... 6.2.2 Umgebungen................................................................ 6.2.3 Innere, äußere und Randpunkte................................. 6.2.4 Häufungspunkte ......................................................... 6.2.5 Kompakte Mengen...................................................... Aufgaben................................................................................. 7 Folgen, Reihen, Konvergenz Folgen....................................................................................... 7.1.1 Motivation und Definition........................................... 7.1.2 Beschreibung von Folgen.............................................. 7.1.3 Nullfolgen...................................................................... 7.1.4 Beliebige konvergente Folgen..................................... 7.1.5 Beschränkte Folgen....................................................... 7.1.6 Monotone Folgen.......................................................... 7.1.7 Konvergenzuntersuchungen........................................ 7.1.8 Bestimmt divergente Folgen........................................ 7.1.9 Das Sandwich-Theorem .............................................. 7.1.10 Ausblick......................................................................... 7.2
Reihen....................................................................................... 7.2.1 Begriffe und Beispiele................................................. 7.2.2 Zur Berechnung endlicher Summen............................ 7.2.3 Die geometrische Reihe .............................................. 7.2.4 Weitere konvergente Reihen........................................ 7.2.5 Bestimmt divergente Reihen........................................ 7.3 Aufgaben.................................................................................. 7.1 8 Reelle Funktionen einer Veränderlichen — Grundlagen 8.1 Vorgehensweise und Konventionen........................................ 8.1.1 Mathematische Vorgehensweise................................. 8.1.2 Was sind “ökonomische Funktionen”?........................ 8.1.3 Konventionen und Bezeichnungsweisen..................... 8.2 Der Katalog von Grundfunktionen........................................ 8.2.1 Affine und lineare Funktionen.................................... 8.2.2 Potenzfunktionen......................................................... 8.2.3 Exponentialfunktionen................................................ 8.2.4 Logarithmusfunktionen ............................................. 8.2.5 Die Winkelfunktionen Sinus undCosinus ................. 8.3 Weitere nützliche Funktionen................................................. 8.4 Mittelbare Funktionen............................................................. 158 160 160 162 162 164 165 166 167 167 167 168 169 174 175 176 177 181 182 182 183 183 184 186 188 190
191 193 193 193 194 196 201 201 203 205 206 207 208 212
INHALTSVERZEICHNIS Umkehrfunktionen................................................................. Manipulationen des Graphen............................................... 8.6.1 Vertikale Verschiebungen (Shifts).............................. 8.6.2 Horizontale Verschiebungen ....................................... 8.6.3 Vertikale Stauchung/Streckung................................. 8.6.4 Horizontale Stauchung/Streckung.............................. 8.6.5 Ökonomische Interpretation....................................... 8.6.6 Berücksichtigung von Definitions- und Wertebereich 8.6.7 Spiegelungen............................................................... 8.7 Einfache Operationen mit reellen Funktionen.................... 8.8 Aufgaben................................................................................ 8.5 8.6 9 Beschränkte Funktionen 9.1 9.2 9.3 Motivation und Begriffe........................................................ Beispiele................................................................................... Aufgaben................................................................................ 10 Stetige Funktionen 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 Motivation und Begriffe........................................................ Das Reservoir stetiger Funktionen ...................................... Einige Anwendungen.............................................................. Ergänzungen: Grenzwerte und Asymptoten....................... Aufgaben................................................................................ 11 Differenzierbare Funktionen
11.1 Der Ableitungsbegriff.............................................................. 11.1.1 Motivation.................................................................. 11.1.2 Begriffe und Sprechweisen.......................................... 11.1.3 Eine alternative Charakterisierung der Ableitung . . 11.2 Technik der Ableitung........................................................... 11.2.1 Vorbemerkung............................................................ 11.2.2 Grundableitungen...................................................... 11.2.3 Erhaltungseigenschaften und Ableitungsregeln . . . 11.3 Höhere Ableitungen .............................................................. 11.4 Einige nützliche Aussagen..................................................... 11.5 Satz von Taylor und die Taylorformel................................... 11.5.1 Zur Approximationsgenauigkeit................................ 11.5.2 Die Taylorreihe........................................................... 11.6 Elastizitäten.............................................................................. 11.6.1 Motivation................................................................. 11.6.2 Definition.................................................................... 11.6.3 Beispiele, Interpretationen,Sprechweisen.................. XI 214 217 217 217 218 218 219 221 222 225 229 231 231 232 234 237 237 240 242 244 246 249 249 249 249 256 261 261 262 264 274 276 286 288 290 291 291 292 293
XII INHALTSVERZEICHNIS 11.7 Aufgaben................................................................................. 12 Monotone Funktionen 12.1 Motivation und Übersicht..................................................... 12.2 Begriffe................................................................................... 12.3 Erste Anwendungen und Ergänzungen................................ 12.3.1 Monotonieprüfung mittels Definition........................ 12.3.2 Alternative Charakterisierungen der Monotonie . . . 12.3.3 Monotonieabschluss................................................... 12.4 Monotonieeigenschaften der Grundfunktionen.................... 12.4.1 Vorbemerkung............................................................ 12.4.2 Affine Funktionen ...................................................... 12.4.3 Potenzfunktionen......................................................... 12.4.4 Exponentialfunktionen................................................ 12.4.5 Die (natürliche) Logarithmusfunktion..................... 12.4.6 Die Winkelfunktionen................................................ 12.5 Erhaltungseigenschaften monotoner Funktionen................. 12.5.1 Das Wesentliche ......................................................... 12.5.2 Summen und Vielfache monotoner Funktionen . . . 12.5.3 Monotonie mittelbarer Funktionen........................... 12.5.4 Weitere Beispiele......................................................... 12.5.5 Beliebte Fehler............................................................ 12.6 Monotonie und
Ableitung..................................................... 12.7 Aufgaben................................................................................ 13 Konvexe Funktionen 13.1 Motivation und Übersicht..................................................... 13.2 Begriffe................................................................................... 13.2.1 Definitionen.................................................................. 13.2.2 Alternative Charakterisierungen der Konvexität . . . 13.3 Erste Anwendungen und Ergänzungen................................ 13.3.1 Konvexitätsprüfung mittels Definition..................... 13.3.2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit.............................. 13.3.3 Konvexitätsabschluss................................................... 13.4 Konvexität und Ableitungen.................................................. 13.4.1 Bedingung erster Ordnung.......................................... 13.4.2 Bedingung zweiter Ordnung....................................... 13.4.3 Beispiele........................................................................ 13.5 Krümmungseigenschaften der Grundfunktionen................. 13.5.1 Affine Funktionen ...................................................... 13.5.2 Potenzfunktionen......................................................... 13.5.3 Exponentialfunktionen................................................ 299 301 301 302 303 303 304 305 306 306 306 306 307 307 307 308 308 308 310 312 313 314. 319 323 323 324 324 325 327 327 329 329 330 330 331 332 334 334 334 336
INHALTSVERZEICHNIS 13.5.4 Logarithmusfunktionen ............................................. 13.5.5 Winkelfunktionen......................................................... 13.6 Erhaltungseigenschaften konvexer Funktionen.................... 13.6.1 Das Wesentliche ......................................................... 13.6.2 Summen und Vielfache konvexer Funktionen .... 13.6.3 Mittelbare Funktionen................................................ 13.6.4 Beliebte Fehler............................................................ 13.7 Aufgaben................................................................................ 14 Extremwertprobleme 14.1 Ökonomische Motivation........................................................ 14.2 Begriffe................................................................................... 14.2.1 Globale Extrema......................................................... 14.2.2 Lokale Extrema............................................................ 14.3 Existenzaussagen.................................................................... 14.4 Methodik der Extremwertbestimmung imR1 ..................... 14.4.1 Ein beliebtes Missverständnis.................................... 14.4.2 Ausgangspunkt............................................................ 14.4.3 Weitere Vorgehensweise............................................. 14.4.4 Extrempunktkandidaten im glattenFall.................... 14.4.5 Extrempunktkandidaten im allgemeinen Fall .... 14.5 Lokale Bewertung im glatten Fall......................................... 14.5.1 Stationäre
Punkte...................................................... 14.5.2 Randpunkte.................................................................. 14.6 Globale Bewertung von Extrempunktkandidaten .............. 14.6.1 Kandidatenvergleich................................................... 14.6.2 Globale Bewertung durch Monotonieargumente . . . 14.6.3 Globale Bewertung bei Konvexität........................... 14.6.4 Einfachstmethoden...................................................... 14.7 Aufgaben................................................................................ 15 Integralrechnung 15.1 Motivation ............................................................................. 15.2 Das bestimmte Integral ........................................................ 15.3 Unbestimmte Integration ..................................................... 15.3.1 Übersicht..................................................................... 15.3.2 Grundintegrale............................................................ 15.3.3 Einfachste Rechenregeln............................................. 15.3.4 Partielle Integration................................................... 15.3.5 Die Substitutionsregel................................................ 15.4 Aufgaben................................................................................ XIII 336 336 337 337 337 340 346 348 351 351 352 353 357 358 360 360 361 362 363 366 368 368 372 372 372 377 381 384 386 389 389 390 403 403 403 404 406 411 417
XIV INHALTSVERZEICHNIS 16 Reelle Funktionen in der Ökonomie 16.1 Wünschenswerte Eigenschaften ökonomischer Funktionen . 16.1.1 Vorbemerkung............................................................ 16.1.2 Produktionsfunktionen ............................................. 16.1.3 Kostenfunktionen...................................................... 16.1.4 Nachfragefunktionen ................................................ 16.1.5 Angebotsfunktionen................................................... 16.1.6 Nutzenfunktionen...................................................... 16.1.7 Spar- und Konsumfunktionen ................................. 16.1.8 Isoquanten.................................................................. 16.1.9 Transformationskurven............................................. 16.1.10 Übersicht..................................................................... 16.1.11 Beispiele für “Eignungsprüfungen”........................... 16.1.12 Aufgaben..................................................................... 16.2 “Mehr” über Kostenfunktionen ............................................. 16.2.1 “Stückkosten” beim Output 0.................................... 16.2.2 Das Betriebsoptimum................................................ 16.2.3 Das Betriebsminimum................................................ 16.2.4 Aufgaben...................................................................... 16.3 Fahrstrahlanalyse von Kostenfunktionen .............................. 16.3.1 Vorbemerkung............................................................ 16.3.2
Der Fahrstrahl und seine Interpretation................. 16.3.3 Ein Analysebeispiel: Ertragsgesetzliche Kosten . . . 16.3.4 Neoklassische Kostenfunktionen.............................. 16.3.5 Mathematische Erweiterungen................................. 16.3.6 Praktische Bestimmung von Betriebskenngrößen . 16.3.7 Aufgaben..................................................................... 16.4 Kosten, Erlös, Gewinn und Angebot.................................... 16.4.1 Die allgemeine Situation.......................................... 16.4.2 Monopolistische Märkte .......................................... 16.4.3 Polypolistische Märkte............................................. 16.4.4 Berechnungsbeispiele................................................ 16.4.5 Aufgaben..................................................................... 16.5 Preisvariation und Angebot auf einem Polypolmarkt .... 16.5.1 Vorbemerkung............................................................ 16.5.2 Preisvariation bei ertragsgesetzlichen Kosten .... 16.5.3 Preisvariation bei neoklassischen Kosten .............. 16.5.4 Einige Erweiterungen................................................ 16.5.5 Praktische Bestimmung des Angebotes.................. 16.5.6 Aufgaben..................................................................... 16.6 Markt gleichgewichte............................................................... 419 419 419 420 421 423 426 428 429 431 432 434 434 438 439 439 442 444 446 447 447 447 449 455 457 460 462 463 463 468 469 470 476 479 479 479 487 489 493 494 495
XV INHALTSVERZEICHNIS 16.6.1 Aufgaben..................................................................... 16.7 Konsumenten- und Produzentenrente.................................... 16.7.1 Aufgaben.............................................................. 503 16.8 Einige Funktionenklassen mit “ökonomischer Eignung” . . . 16.8.1 Problemstellung ......................................................... 16.8.2 Affine Funktionen ...................................................... 16.8.3 Potenzen ..................................................................... 16.8.4 Polynome 2. und 3. Grades alsKostenfunktionen . . 16.8.5 Erhaltungseigenschaften..................................... 507 16.8.6 Aufgaben............................................................. 507 III Methodisches 17 Mathematik “lesen” 17.1 Motivation .............................................................................. 17.2 Besonderheiten mathematischer Texte................................. 17.2.1 Ein “Vorlesungs”beispiel............................................. 17.2.2 Funktionelle Bausteine mathematischer Texte .... 17.2.3 Die mathematische Symbolik.................................... 17.3 Der rote Faden........................................................................ 17.4 Eine Strategie des mathematischen Lesens........................... 17.5 Ein Lesebeispiel........................................................................ 17.6 Eine Bilanz.............................................................................. 17.7
Anwendungen........................................................................... 499 499 504 504 504 505 505 509 511 511 512 512 513 516 521 523 529 540 541 Anhang I: Begründungen 543 Anhang II: Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben 553 Literaturverzeichnis 575 Symbolverzeichnis 577 Abkürzungsverzeichnis 579 Stichwortverzeichnis 581
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