Maß- und Integrationstheorie:
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Berlin
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[2018]
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis Kapitel I. σ-Algebren und Borelsche Mengen 1 § 1. Das Inhaltsproblem und das Maßproblem 1 §2. Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen 1. Bezeichnungen 2. Limes superior und Limes inferior Aufgaben 6 6 8 10 §3. Ringe, Algebren, σ-Ringe und σ-Algebren 1. Ringstruktur von φ(2ί) 2. Ringe und Algebren 3. σ-Ringe und σ- Algebren Aufgaben 11 11 12 14 15 §4. Erzeuger und Borelsche Mengen 1. Erzeuger 2. Borelsche Mengen 3. Verhalten unter Abbildungen Aufgaben 16 16 18 20 20 § 5. Halbringe 1. Halbringe 2. Der von einem Halbring erzeugte Ring Aufgaben 21 21 22 23 §6. Monotone Klassen und Dynkin-Systeme 1. Monotone Klassen 2. Dynkin- Systeme Aufgaben 23 23 25 27 Kapitel II. Inhalte und Maße 29 §1. Inhalte, Prämaße und Maße 1. Definitionen und erste Folgerungen 2. Ein erster Fortsetzungssatz 3. Eigenschaften von Inhalten 4. Charakterisierung der σ-Additivität 5. Historische Anmerkungen Aufgaben 29 29 32 33 34 35 36
xiv Inhaltsverzeichnis 2. Inhalte und Prämaße auf M 1. Endliche Inhalte auf 3 2. Endliche Prämaße auf 3 3. Kurzbiographie von E. Borel Aufgaben 39 39 40 43 45 3. Inhalte und Prämaße auf 1. Das Lebesguesche Prämaß auf 3P 2. Differenzenoperatoren 3. Inhalte auf 3P 4. Prämaße auf 3P б. Kurzbiographie von J. Radon Aufgaben 45 46 46 49 51 52 53 Fortsetzung von Prämaßen zu Maßen 1. Äußere Maße 2. Der Fortsetzungssatz 3. Die Lebesgue-messbaren Teilmengen des 4. Kurzbiographie von C. Carathéodory Aufgaben 54 54 57 59 61 62 Eindeutigkeit der Fortsetzung 1. σ-endliche Inhalte 2. Der Eindeutigkeitssatz 3. Wahrscheinlichkeitsmaße und Verteilungsfunktionen auf M und Mp Aufgaben 63 63 64 4. 5. Inhaltsverzeichnis § 9. Kapitel III. Messbare Funktionen 70 72 7. Das Lebesguesche Maß 1. Approximationssätze 2. Charakterisierung der Lebesgue-Messbarkeit 3. Der Satz von H. Steinhaus 4. Messbarkeit konvexer Mengen Aufgaben 73 73 74 75 75 76 8. Das Cantorsche Diskontinuum 1. Konstruktion von C 2. Triadische Entwicklung 3. Mächtigkeiten von 1ßp und ΣΡ 4. Die Cantorsche Funktion Aufgaben 78 78 79 81 82 84 93 Messbare Abbildungen und Bildmaße 1. Messbare Abbildungen 2. Bildmaße Aufgaben 96 96 98 98 § 2. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes 1. Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes 2. Das Bildmaß des Lebesgue-Maßes unter bijektiven affinen Abbildungen 3. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes 4. Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß Aufgaben 99 99 §3. 101 103 106 107 Existenz nicht messbarer Mengen 1. Nicht Lebesgue-messbare Mengen und Unlösbarkeit des Maßproblems 2. Kurzbiographie von G. Vitali
3. Weitere Beispiele nicht Lebesgue-messbarer Mengen 4. Existenz nicht messbarer Mengen für Lebesgue-Stieltjessche Maße Aufgaben 109 §4. Messbare numerische Funktionen 1. Rechnen in M, Topologie von IR 2. Messbare numerische Funktionen 3. Approximation durch Treppenfunktionen 4. Abzahlbar erzeugte Messräume 5. Ein minimaler Erzeuger von Q31 Aufgaben 117 117 118 121 122 123 124 §5. Produkt-CT-Algebren 1. Initial-σ-Algebren und Produkt-σ-Algebren 2. Borel-Mengen topologischer Produkte 3. Messbarkeit der Diagonalen Aufgaben 126 126 129 130 131 69 Vollständige Maßräume Aufgaben 85 85 87 87 90 92 § 1. 66 6. Metrische äußere Maße und Hausdorff-Maße 1. Metrische äußere Maße 2. Hausdorff-Maße 3. Rektifizierbare Kurven 4. Kurzbiographie von F. Hausdorff Aufgaben xv 109 112 112 ПЗ 116
Inhaltsverzeichnis XVI Kapitel IV. Das Lebesgue-Integral 133 § 1. Integration von Treppenfunktionen Aufgaben 134 135 § 2. Integration nicht-negativer messbarer Funktionen 1. Definition des Integrals 2. Der Satz von der monotonen Konvergenz 3. Kurzbiographie von B. Levi 4. Maße mit Dichten Aufgaben 136 136 139 140 141 141 Integrier bare Funktionen 1. Integrierbare Funktionen 2. Linearität und Monotonie des Integrals 3. Der Raum C1 4. Stetige Funktionen mit kompaktem Träger 5. Integration über messbare Teilmengen 6. Historische Anmerkungen 7. Kurzbiographie von W.H. Young Aufgaben 142 142 145 146 147 149 150 152 153 §4. Fast überall bestehende Eigenschaften Aufgaben 155 157 § 5. Konvergenzsätze 1. Das Lemma von Fatou 2. Kurzbiographie von P. Fatou 3. Der Satz von der majorisierten Konvergenz 4. Von einem Parameter abhängige Integrale 5. Der Satz von Scheffé Aufgaben 158 159 159 160 162 164 165 Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 1. Eigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 2. Uneigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 3. Mittelwertsätze der Integralrechnung 4. Kurzbiographie von H. Lebesgue Aufgaben 166 166 168 171 172 175 Kapitel V. Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationsformel 179 § 1. 179 180 180 186 187 188 190 § 3. § 6. Produktmaße 1. Produkt-σ-Algebren 2. Produktmaße 3. Das Cavalierische Prinzip 4. Produkte endlich vieler Maßräume 5. Das p-dimensionale äußereHausdorff-Maß Aufgaben Inhaltsverzeichnis xvii §2. Der 1. 2. 3. 4. 5. 192 192 197 199 202 205 206 §3. Faltung und Fourier-Transformation 1. Integration in Bezug auf Bildmaße 2.
Transformation von Maßen mit Dichten 3. Die Faltung auf ßp) 4. Die Fourier-Transformation Aufgaben 209 209 210 211 213 218 §4. Die Transformationsformel 1. Die Transformationsformel 2. Der Satz von Sard 3. Verallgemeinerte Transformationsformel 4. Transformation von Maßen mit Dichten bez. Xp 5. Der Brouwersche Fixpunktsatz Aufgaben 219 220 227 229 229 231 235 Satz von Fubini Der Satz von Fubini Historische Anmerkungen Beispiele für Anwendungen des Satzes von Fubini Der Gaußsche Integralsatz für die Ebene Kurzbiographien von G. Fubini und L. Tonelli Aufgaben Kapitel VI. Konvergenzbegrijfe der Maßund Integrationstheorie 239 § 1. Die Ungleichungen von Jensen, Holder und Minkowski 1. Die Jensensche Ungleichung 2. Die Höldersche Ungleichung 3. Die Minkowskische Ungleichung 4. Historische Anmerkungen Aufgaben 240 240 243 244 245 246 §2. Die Räume Մ und der Satz von Riesz-Fischer 1. Die Räume Cp und IP 2. Der Satz von Riesz-Fischer 3. Die Banach-Algebra Ъп, ßn) 4. Der Hilbert-Raum Լ2{թ) 5. Der Banach-Verband Iff 6. Dichte Unterräume von ¡P 7. Der Satz von Plancherel 8. Der Satz von Fatou über Potenzreihen 9. Historische Anmerkungen 10. Kurzbiographien von F. Riesz und E. Fischer Aufgaben 249 249 251 254 255 260 262 264 264 265 266 268
Inhaltsverzeichnis xviii §3. Der Satz von Jegorow 1. Konvergenz μ-fast überall 2. Fast gleichmäßige Konvergenz 3. Kurzbiographie von D.F. JEGOROW Aufgaben 270 270 272 273 273 §4. Konvergenz nach Maß 1. Konvergenz nach Maß und lokal nach Maß 2. Cauchy-Folgen für die Konvergenz nach Maß 3. Vergleich der Konvergenzbegriffe 4. Charakterisierung der Konvergenz n.M. und der Konvergenz lokal n.M. Aufgaben 274 274 276 277 Konvergenz in CP Der Satz von Pratt 1. 2. Konvergenz in Cp 3. Der Konvergenzsatz von Vitali 4. Schwache Konvergenz in Cv Aufgaben 280 280 282 282 284 288 §5. Kapitel VII. Absolute Stetigkeit §1- §2. §3. 278 279 291 Signierte Maße; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz 1. Signierte Maße Der Hahnsche Zerlegungssatz 2. 3. Positive Variation, negative Variation und Variation 4. Jordanscher Zerlegungssatz 5. Der Banach-Verband der endlichen signierten Maße 6. Kurzbiographie von H. Hahn Aufgaben 291 291 293 294 295 296 297 299 Der Satz von Radon-Nikodym und der Lebesguesche Zerlegungssatz Absolute Stetigkeit 1. 2. Der Satz von Radon-Nikodým 3. Kurzbiographie von O. NikodÝM 4. Der Lebesguesche Zerlegungssatz Aufgaben 301 301 302 306 307 309 Der Dualraum von Lp (1 p oo) 1. Der Dualraum von Lp{p) (1 p oo) 2. Die multiplikativen Linearformen auf der Banach-Algebra -L (/An) Aufgaben 310 310 315 317 Inhaltsverzeichnis xix §4. 319 319 320 324 324 329 331 332 Absolut stetige Funktionen auf M 1. Der Überdeckungssatz von Vitali 2. Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.ü. 3. Der Dichtesatz 4. Absolut stetige Funktionen auf К 5. Lebesguesche Zerlegung Lebesgue-
Stieltjesscher Maße 6. Rektiffzierbare Kurven Aufgaben Kapitel VIII. Maße auf topologischen Räumen 335 § 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularitat 1. Grundbegriffe 2. Regularitätssätze 3. Moderate Borel-Maße 4. Regularitat von Borel-Maßen 5. Regularitat von Borel-Maßen auf polnischenRäumen 6. Der Satz von LusiN 7. Kurzbiographie von N.N. LusiN Aufgaben 336 336 340 341 342 343 346 348 350 §2. Der Darstellungssatz von F. Riesz 1. Problemstellung 2. Fortsetzungssatz 3. Der Darstellungssatz von F. Riesz für lokal-kompakte Räume 4. Der Darstellungssatz von F. Riesz für vollständig reguläre Räume 5. Träger von Maßen 6. Der Darstellungssatz von F. Riesz für stetige Linearformen auf C0(X) 7. Ein dichter Unterraum von LP(X) Aufgaben 351 351 353 Das Haarsche Maß 1. Topologische Gruppen 2. Linksinvariante Linearformen und Maße 3. Existenz und Eindeutigkeit des HaarschenMaßes 4. Anwendungen des Haar-Maßes 5. Invariante und relativ invariante Maße aufRestklassenräumen 6. Kurzbiographie von A. Haar Aufgaben 376 376 378 380 390 393 400 401 § 3. 358 362 366 369 373 374
xx § 4. Inhaltsverzeichnis Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit 1. Eine Regularitätseigenschaft endlicher Maße auf metrischen Räumen 2. Schwache und vage Konvergenz von Folgenvon Maßen 3. Das Portmanteau-Theorem 4. Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen und die Sätze von Helly-Bray und Helly 5. Der Satz von Prochorov 6. Die Laplace-Transformation 7. Die Prochorov-Metrik Aufgaben 403 404 405 409 411 417 423 426 432 Anhang A. Topologische Räume 435 Anhang B. Transfinite Induktion 441 Literaturverzeichnis 443 Namenverzeichnis 451 Symbolverzeichnis 457 Sachverzeichnis 458
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