Strömungsmechanik: physikalisch-mathematische Grundlagen und Anleitung zum Lösen von Aufgaben
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin ; Heidelberg
Springer Vieweg
[2018]
|
| Ausgabe: | 4., erweiterte Auflage |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | xviii, 452 Seiten Illustrationen, Diagramme 24 cm |
| ISBN: | 9783662577721 3662577720 |
Internformat
MARC
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| adam_text | INHALT
TEIL A GRUNDLAGEN
1 UE BERBLICK UEBER VERSCHIEDENE STROEM UNGEN UND IHRE
PHYSIKALISCHEN M E R K M A L E
......................................................
3
1.1 V
ORUEBERLEGUNGEN...........................................................
3
1.1.1 GEGENSTAND DER STROEMUNGSMECHANIK
.... 3
1.1.2 STROEMUNGSMECHANIK ALS KONTINUUMSTHEORIE . . 3
1.2 VERSCHIEDENE ASPEKTE ZUR CHARAKTERISIERUNG VON STROEMUNGEN 5
1.2.1 ASPEKTE DES STROEM UNGSVERHALTENS
...................
5
1.2.2 ASPEKTE DES FLUIDVERHALTENS ...... 8
ANMERKUNG 1.1: TEILGEBIETE DER STROEMUNGSMECHANIK
... 11
2 P HYSIKALISCH/M ATHEM ATISCHE MODELLBILDUNG IN DER
S TR OE M U N G SM E C H A N IK
.................................................................... 13
2.1 V
ORUEBERLEGUNGEN...........................................................
13
2.2 BILDUNG PHYSIKALISCH/ MATHEMATISCHER MODELLE . . . 14
2.3 D IM E N S IO N S A N A LY S E
.................................................... 16
2.3.1 V ORBEM ERKUNG....................................................
16
2.3.2 DAS P I - T H E O R E M
.............................................
17
2.3.3 MODELLBILDUNG DURCH AUFSTELLEN DER RELEVANZLISTE . 21
ANMERKUNG 2.1: VORTEIL DIMENSIONSLOSER DARSTELLUNG
. . . 24
2.3.4 KENNZAHLEN UND M O D E LL- T H E O R IE
...................
25
2.3.5 SYSTEMATISCHE EINORDNUNG DIMENSIONSANALYTISCHER
A S P E K T E
............................................................ 25
3 SPEZIELLE P H AE N O M E N E
......................................................................33
3.1 H AFTBEDINGUNG/G RENZSCHICHTEN
................................
33
ANMERKUNG 3.1: PHYSIKALISCH/MATHEMATISCHE MODELLE OHNE
H A F TB E D IN G U N G
........................................ 36
3.2 S TROE M U N G SA B LOE SU N G
..................................................... 36
3.2.1 STROM LINIEN
...........................................................
36
3.2.2 STROMLINIENVERLAUF BEI STROEMUNGSABLOESUNG . . . 37
3.3 T U RB U LE N Z
........................................................................
38
3.3.1 ENTSTEHUNG TURBULENTER STROEMUNGEN (TRANSITION) . 38
3.3.2 ERSCHEINUNGSBILD TURBULENTER STROEMUNGEN . . . 38
ANMERKUNG 3.2: CHARAKTERISTISCHE ZEITEN TURBULENTER STROEMUNGEN
41
3.3.3 EIGENSCHAFTEN TURBULENTER STROEMUNGEN .... 41
3.4 DREHUNG UND Z IRK U LA TIO N
..............................................
42
3.4.1 V ORBEM
ERKUNG..................................................... 42
3.4.2 D R E H U N G
...........................................................
43
ANMERKUNG 3.3: DEFINITION DER DREHUNG IN EINER ALLGEMEINEN
DREIDIMENSIONALEN S T R OE M U N G
....................
44
3.4.3 Z IRK U LATIO N
........................................................... 45
3.5 KOMPRESSIBILITAET UND DRUCKWELLEN .................................
45
3.5.1 V O RB E M E RK U N G E N
.............................................. 45
3.5.2 AUSBREITUNG VON SCHWACHEN DRUCKWELLEN,
SCHALLGESCHWINDIGKEIT
........................................
47
3.5.3 AUSBREITUNG VON STARKEN DRUCKWELLEN,
VERDICHTUNGSSTOESSE, VERDUENNUNGSWELLEN . . . 50
4 G RUNDGLEICHUNGEN DER STROEM UNGSM ECHANIK .... 53
4.1 ERHALTUNGSGROESSEN, BILANZGLEICHUNGEN
..........................
53
ANMERKUNG 4.1: BILANZEN IN BEZUG AUF ENDLICHE KONTROLLRAEUME
. 54
ANMERKUNG 4.2: RELATIVISTISCHE M E C H A N IK
..........................
54
4.2 TEILCHENFESTE/ORTSFESTE BETRACHTUNGSWEISE.................... 54
4.3 UEBERGANG VON DER TEILCHENFESTEN AUF DIE ORTSFESTE
B ETRACHTUNGSW EISE
........................................................................
56
4.4 ALLGEMEINE BILANZGLEICHUNGEN, DIMENSIONSBEHAFTET . . 57
4.5 ERLAEUTERUNGEN ZU DEN ALLGEMEINEN BILANZGLEICHUNGEN . . 58
4.5.1 ERLAEUTERUNGEN ZUR KONTINUITAETSGLEICHUNG (K*) . . 58
ANMERKUNG 4.3: BILANZGLEICHUNGEN IN KONSERVATIVER FORM;
INTERPRETATION DER KONTINUITAETSGLEICHUNG IN DER
EULERSCHEN (ORTSFESTEN) BETRACHTUNGSWEISE
. . 60
ANMERKUNG 4.4: SPEZIALFAELLE DER ALLGEMEINEN KONTINUITAETSGLEICHUNG
62
4.5.2 ERLAEUTERUNGEN ZU DEN IMPULSGLEICHUNGEN (XI*), (YI*)
UND ( Z I * )
.................................................................
62
ANMERKUNG 4.5: DRUCK IN STROEMENDEN FLUIDEN, STOKESSCHE
HYPOTHESE, MECHANISCHER DRUCK, MODIFIZIERTER DRUCK
64
4.5.3 ERLAEUTERUNGEN ZU DEN ENERGIEGLEICHUNGEN (E*),
(ME*) UND ( T E * )
....................................................
65
ANMERKUNG 4.6: POTENTIELLE ENERGIE ALS TEIL DER GESAMTENERGIE BZW.
- E N T H A L P I E
....................................................
67
4.6 SPEZIELLE KONSTITUTIVE GLEICHUNGEN, DIMENSIONSBEHAFTET . 67
4.6.1 KONSTITUTIVE GLEICHUNGEN FUER
T
*
J
IN DEN
IMPULSGLEICHUNGEN / NEWTONSCHE FLUIDE . . . 68
4.6.2 KONSTITUTIVE GLEICHUNGEN FUER
Q*
IN DEN
ENERGIEGLEICHUNGEN / FOURIERSCHES
WAERMELEITUNGSVER H A L T E N
.......................................
70
4.7 NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN, DIMENSIONSBEHAFTET . . . 71
4.8 ENTDIMENSIONIERUNG DER GRUNDGLEICHUNGEN . . . . 74
ANMERKUNG 4.7: INDEX-SCHREIBWEISE DER GRUNDGLEICHUNGEN, HIER:
N A V IE R-S TO K E S-G LE IC H U N G E N
..........................
76
ANMERKUNG 4.8: VEKTOR-SCHREIBWEISE DER GRUNDGLEICHUNGEN, HIER:
NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN
..........................
78
ANMERKUNG 4.9: WIRBELTRANSPORTGLEICHUNG ALS SPEZIELLE FORM DER
NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN
..........................
79
ANMERKUNG 4.10: EINFUEHRUNG EINER STROMFUNKTION
. . . . 81
ANMERKUNG 4.11: BILANZEN IN ENDLICHEN KONTROLLRAEUMEN
. . . 82
ANMERKUNG 4.12: IMPULSMOMENTENGLEICHUNGEN ALS WEITERE
B ILA N Z G LE IC H U N G E N
.......................................
84
ANMERKUNG 4.13: NATUERLICHE KONVEKTIONSSTROEMUNGEN
.... 84
5 D AS T U R B U LE N Z P R O B LE M
.......................................................................87
5.1 DER ENERGIEHAUSHALT TURBULENTER STROEMUNGEN .... 87
ANMERKUNG 5.1: KASKADENPROZESS IN *GEDICHTFORM*
.... 90
ANMERKUNG 5.2: KORRELATIONEN ZWISCHEN ZWEI TURBULENTEN
SCHW ANKU N GSGROESSEN
.......................................
90
5.2 DIREKTE NUMERISCHE SIMULATION (DNS)
..........................
92
5.3 GRUNDGLEICHUNGEN FUER ZEIT GEMITTELTE GROESSEN .... 94
5.3.1 ZEITMITTELUNG DER STROEMUNGSGROESSEN .... 95
5.3.2 ZEITMITTELUNG DER GRUNDGLEICHUNGEN (RANS) . . 96
ANMERKUNG 5.3: DIE KONTINUITAETSGLEICHUNG BEI KONVENTIONELLER
M I T T E L U N G
............................................................101
5.3.3 ALLGEMEINE GRUNDGLEICHUNGEN FUER DIE ZEIT GEMITTELTEN
STROEMUNGSGROESSEN/ SPEZIELLE KONSTITUTIVE GLEICHUNGEN 101
5.4 T U RB U LEN ZM O D E LLIERU N G
............................................................105
ANMERKUNG 5.4: MODELLIERUNG WEITERER TURBULENTER ZUSATZTERME
. 113
5.4.1 TURBULENZMODELLE I: WIRBELVISKOSITAETS-MODELLE . 114
5.4.2 TURBULENZMODELLE II: REYNOLDS-SPANNUNGS-MODELLE 120
ANMERKUNG 5.5: *ZWEITE MOMENTE*
...............................................122
ANMERKUNG 5.6: SCHLIESSUNG DURCH ZUSAETZLICHE GLEICHUNGEN
. . 122
ANMERKUNG 5.7: HOMOGENE T U RB U LE N Z
...............................................123
ANMERKUNG 5.8: ISOTROPE T U R B U L E N Z
...............................................123
ANMERKUNG 5.9: MODELLIERUNG DER REYNOLDSSCHEN
WAERMESTROMDICHTE X*
........................................
124
ANMERKUNG 5.10: GROBSTRUKTUR-SIMULATION (LES)
. . . . 125
ANMERKUNG 5.11: ENTSTEHUNG DER TURBULENZ/STROEMUNGSSTABILITAET BZW.
- IN S TA B ILITAE T
............................................................125
TEIL B DIE PHYSIKALISCH/MATHEMATISCHE
MODELLIERUNG SPEZIELLER STROEMUNGEN
B L E INDIM ENSIONALE N AEHERUNG
6 STROM FADENTHEORIE BEI ENDLICHEN Q UERSCHNITTEN FUER
INKOM PRESSIBLE S T R OE M U N G E N
................................................133
6.1 STROMFADEN, S TR O M R OE H R E
............................................................133
6.2 MECHANISCHE ENERGIEGLEICHUNG
...............................................133
6.2.1 BERNOULLI-GLEICHUNG
.....................................................133
ANMERKUNG 6.1: HYDROSTATISCHES GRUNDGESETZ ALS GRENZFALL DER
BERNOULLI-GLEICHUNG FUER U*SI
*
0
/K RAE FTE AUF FESTE
W AE N D E
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137
ANMERKUNG 6.2: DRUCKVERTEILUNG IN GLEICHFOERMIG ROTIERENDEN FLUIDEN
141
ANMERKUNG 6.3: AUSWERTUNG DER BERNOULLI-GLEICHUNG BEI ENDLICHEN
Q U E R S C H N I T T E N
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141
ANMERKUNG 6.4: INSTATIONAERE BERNOULLI-GLEICHUNG
....
142
6.2.2 ERWEITERTE BERNOULLI-GLEICHUNG
.......................................
143
ANMERKUNG 6.5: ANDERE FORMEN DER (ERWEITERTEN) BERNOULLI-GLEICHUNG
148
ANMERKUNG 6.6: DYNAMISCHER DRUCK, GESAMTDRUCK
.
.
.
.
148
6.3 THERMISCHE ENERGIEGLEICHUNG
.....................................................
150
ANMERKUNG 6.7: GESAMT-ENERGIEGLEICHUNG DER STROMFADENTHEORIE
.
151
6.4 IMPULSGLEICHUNGEN
..................................................................152
7 STROM FADENTHEORIE BEI ENDLICHEN Q UERSCHNITTEN FUER
KOM PRESSIBLE S T R OE M U N G E N
......................................................
161
7.1 VORBEMERKUNG
........................................................................
161
7.2 GRUNDGLEICHUNGEN FUER ISENTROPE STROEMUNGEN .... 161
7.3 BESONDERE ENTDIMENSIONIERUNG DES GLEICHUNGSSYSTEMS;
ERZEUGUNG VON UEBERSCHALLSTROEMUNGEN IN EINER STROMROEHRE . 163
7.4 BERECHNUNG DER KOMPRESSIBLEN ISENTROPEN STROEMUNG DURCH
EINE STROMROEHRE
......................................................................
169
ANMERKUNG 7.1: DIE INKOMPRESSIBLE STROEMUNG ALS GRENZFALL DER
KOMPRESSIBLEN S T R OE M U N G
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172
7.5 SENKRECHTER V ERDICHTUNGSSTOSS
.....................................................
174
ANMERKUNG 7.2: SCHIEFER VERDICHTUNGSSTOSS
.
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179
B 2 ZWEIDIM ENSIONALE NAEHERUNG
8 R EIBUNGSFREIE U M S T R OE M U N G E N
.......................................................
185
8.1 EULER-GLEICHUNGEN
..................................................................185
8.2 P OTENTIALSTROEM UNGEN
................................
188
8.2.1 V ORBEM
ERKUNG.........................................................188
8.2.2 DREHUNGSFREIE STROEMUNGEN (POTENTIALSTROEMUNGEN) . 189
ANMERKUNG 8.1: KONSTANTE DREHUNG BZW. DREHUNGSFREIHEIT ALS
BEDINGUNG FUER EINE REIBUNGSFREIE STROEMUNG
. . 190
8.2.3 DIREKTE LOESUNGEN FUER POTENTIALSTROEMUNGEN . . . 191
8.2.4 INDIREKTE LOESUNGEN FUER POTENTIALSTROEMUNGEN . . 192
8.2.5 S IN G U LA RITAE TE N M E TH O D E N
.....................................
197
9 R EIBUNGSBEHAFTETE U M S T R OE M U N G E N
............................
201
9.1 VORBEMERKUNG
........................................................................
201
9.2 DIE ENTSTEHUNG UND PHYSIK VON STROEMUNGSGRENZSCHICHTEN 202
9.3 DIE GRENZSCHICHTTHEORIE ALS ASYMPTOTISCHE THEORIE FUER
RE
*Y
OO ............. 207
9.4 GRENZSCHICHTTHEORIE FUER LAMINARE STROEMUNGEN .... 209
9.4.1 GRENZSCHICHT-EFFEKT: W I D E R S T A N D
........................
218
9.4.2 GRENZSCHICHT-EFFEKT: V E RD RAE N G U N G
........................
223
ANMERKUNG 9.1: SELBSTAEHNLICHE GRENZSCHICHTEN (LAMINAR)
. .
227
ANMERKUNG 9.2: GRENZSCHICHTABLOESUNG (LAMINAR)
. . . .
227
9.5 GRENZSCHICHTTHEORIE FUER TURBULENTE STROEMUNGEN . . . 229
9.5.1 DIE ENTSTEHUNG UND PHYSIK DER WANDSCHICHT . . 232
9.5.2 DER UEBERGANG IN DEN VOLLTURBULENTEN BEREICH . . 239
ANMERKUNG 9.3: LOGARITHMISCHES *WAND*GESETZ ALS ASYMPTOTISCHE
A N P A S S U N G S B E D IN G U N G
...............................
241
9.5.3 DER VOLLTURBULENTE BEREICH (DEFEKT-SCHICHT) . . 243
ANMERKUNG 9.4: INDIREKTE TURBULENZMODELLIERUNG ZUR BESTIMMUNG
DES GESCHWINDIGKEITS-DEFEKTES
........................
245
9.5.4 ERGEBNISSE FUER TURBULENTE GRENZSCHICHTEN . . . 246
ANMERKUNG 9.5: GRENZSCHICHTABLOESUNG (TURBULENT)
.... 255
ANMERKUNG 9.6: TURBULENZGRAD DER AUSSENSTROEMUNG
.... 255
ANMERKUNG 9.7: TEMPERATURGRENZSCHICHTEN
.................................
256
ANMERKUNG 9.8: DER TRANSITIONSPROZESS BEI EBENEN GRENZSCHICHTEN/
STROEMUNGSSTABILITAET BZW. -INSTABILITAET
. . .
257
10 D U R C H S T R OE M U N G E N
..............................................................
261
10.1 AUSGEBILDETE D U RC H S TROE M U N G E N
.................................
261
10.1.1 DAS KONZEPT DES HYDRAULISCHEN DURCHMESSERS . . 262
10.1.2 LAMINARE STROEMUNGEN IM EBENEN KANAL . . . 265
ANMERKUNG 10.1: AUSGEBILDETE LAMINARE STROEMUNG IM ROHR
( K R E IS Q U E R S C H N ITT )
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270
10.1.3 TURBULENTE STROEMUNGEN IM EBENEN KANAL . . . 270
ANMERKUNG 10.2: AUSGEBILDETE TURBULENTE STROEMUNG IM ROHR
( K R E IS Q U E R S C H N ITT )
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275
10.2 NICHTAUSGEBILDETE D U RCH STROE M U N G EN
......................................
277
10.2.1 LAMINARE EINLAUFSTROEMUNGEN IM EBENEN KANAL . . 278
ANMERKUNG 10.3: LAMINARE EINLAUFSTROEMUNGEN IM ROHR
( K R E IS Q U E R S C H N ITT )
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279
10.2.2 TURBULENTE EINLAUFSTROEM
UNGEN........................................279
ANMERKUNG 10.4: KRAEFTE- UND ENERGIEBILANZEN BEI DURCHSTROEMUNGEN
280
B 3 D REIDIM ENSIONALE N AEHERUNG
11 VEREINFACHTE GLEICHUNGEN FUER DREIDIM ENSIONALE
S T R OE M U N G E N
........................................................................................
285
11.1 DREIDIMENSIONALE K OE RPERUM STROEM UNGEN
.................................
285
11.1.1 REIBUNGSFREIE UMSTROEMUNGEN UND
P O TENTIALSTROEM UNGEN.............................................. 285
ANMERKUNG 11.1: DAS D *ALEMBERTSCHE PARADOXON BEI RAEUMLICHEN
S TROE M U N G EN
...........................................................
288
11.1.2 STROEM UNGSGRENZSCHICHTEN
..............................................
289
11.2 DREIDIMENSIONALE D U RC H STROE M U N G E N
........................................300
11.2.1 V O RBEM
ERKUNG..................................................................300
11.2.2 PARABOLISIERTE, TEILPARABOLISIERTE
N AVIER-STOKES-G LEICHUNGEN................................. 300
12 SPEZIELLE A SPEKTE BEI DER NUM ERISCHEN LOESUNG
KOM PLEXER S T R OE M U N G S P R O B L E M E
...............................................
303
12.1 NUMERISCHE LOESUNG DIMENSIONSLOSER GLEICHUNGEN . . . 303
12.1.1 BESTIMMUNG DIMENSIONSLOSER ERGEBNISSE AUS
DIMENSIONSBEHAFTETEN GLEICHUNGEN .... 305
12.1.2 BESTIMMUNG WEITERER DIMENSIONSBEHAFTETER
ERGEBNISSE AUS EINER DIMENSIONSBEHAFTETEN LOESUNG 309
12.2 NUMERISCHE LOESUNGEN BEI TURBULENTEN STROEMUNGEN . . 311
12.3 NUMERISCHE LOESUNGEN KRITISCH G E S E H E N
..........................
315
12.4 VALIDIERUNG UND V E RIFIK A TIO N
..............................................319
TEIL C STROEMUNGEN AUS THERMODYNAMISCHER SICHT
13 THERM ODYNAM ISCHE A SPEKTE VON STROEM UNGEN . . 325
13.1 V ORBEM
ERKUNGEN.........................................................................325
13.2 THERMODYNAMISCHE GRUNDBEGRIFFE UND DIE DAHINTER
STEHENDEN K O N Z E P T E
................................................................ 325
13.2.1 THERMODYNAMISCHE GESAMTENERGIE UND
TEILENERGIEGLEICHUNGEN
.......................................
326
13.2.2 ENTROPIE UND E N TRO P IEP RO D U K TIO N
.................................
326
ANMERKUNG 13.1: ENTROPIE ALS POSTPROCESSING-GROESSE
.... 330
13.2.3 EXERGIE UND A N E R G I E
.....................................................
331
13.2.4 ENTROPISCHES P O T E N T I A L
.....................................................
333
ANMERKUNG 13.2: ENTROPIEPRODUKTION DURCH WAERMELEITUNG
. . 335
14 STROEM UNGSVERLUSTE AUS THERM ODYNAM ISCHER SICHT 337
14.1 V ORBEM
ERKUNGEN.........................................................................337
14.2 ALTERNATIVE, EINHEITLICHE DEFINITION VON WIDERSTANDSZAHLEN
UND -B E IW E RTE N
.............................................................................
338
ANMERKUNG 14.1: MOTIVATION UND VORTEIL DER ALTERNATIVEN DEFINITION
VON
C
UND C W
.....................................................
339
14.3 EXERGIEVERLUSTE DURCH S T R OE M U N G E N
........................................
339
14.4 ANWENDUNG DER ALTERNATIVEN WIDERSTANDSZAHLEN UND
- B E I W E R T E
....................................................................................340
14.4.1 WIDERSTANDSZAHLEN DURCHSTROEMTER BAUTEILE . . . 341
14.4.2 WIDERSTANDSBEIWERTE UMSTROEMTER KOERPER . . . 348
14.4.3 WEITERE, SPEZIELLE ANWENDUNGSFAELLE
.................................
351
15 K ONVEKTIVE W AERM EUEBERTRAGUNG UND IHRE BEW ERTUNG 359
TEIL D UEBUNGSAUFGABEN
16 DAS SM A R T-K ONZEPT IN DER STROEM UNGSM ECHANIK 365
16.1 DAS SM
ART-KONZEPT..................................................................365
16.1.1 V ORBEM
ERKUNG..................................................................365
16.1.2 AUFGABENSTELLUNG UND L OE S U N G
........................................366
16.2 SMART-EVE: EIN KONZEPT IN DREI SCHRITTEN
.... 367
17 A USGEW AEHLTE UE BUNGSAUFGABEN UND LOESUNGEN 369
17.1 ZU KAP. 2: PHYSIKALISCH/MATHEMATISCHE MODELLBILDUNG IN
DER S TROE M U N G S M E C H A N IK
.........................................................
369
17.2 ZU KAP. 4: GRUNDGLEICHUNGEN DER STROEMUNGSMECHANIK . 376
17.3 ZU KAP. 6: STROMFADENTHEORIE BEI ENDLICHEN QUERSCHNITTEN
FUER INKOMPRESSIBLE STROEM
UNGEN...................................................384
17.4 ZU KAP. 7: STROMFADENTHEORIE BEI ENDLICHEN QUERSCHNITTEN
FUER KOMPRESSIBLE S TR OE M U N G E N
...................................................400
17.5 ZU KAP. 8: REIBUNGSFREIE U M STROEM UNGEN
.................................
409
17.6 ZU KAP. 9: REIBUNGSBEHAFTETE UMSTROEMUNGEN . . . 416
17.7 ZU KAP. 10: D U R C H S TR OE M U N G E N
.......................................
423
17.8 ZU KAP. 14: STROEMUNGSVERLUSTE AUS THERMODYNAMISCHER SICHT 425
ANHANG 1 V EKTOROPERATOREN UND IHRE B EDEUTUNG IN
KARTESISCHEN K O O R D I N A T E N
...........................................433
ANHANG 2 A NDERE K OORDINATENSYSTEM E/ GRUNDGLEICHUNGEN
IN Z Y LIN D E R K O O R D IN A TE N
..................................................435
HAEUFIG VERW ENDETE INDIZES UND K E N N U N G E N
..................................439
SYM BOLE UND F ORM ELZEICH EN
.............................................................
441
INDEX
.........................................................................................449
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