Theoretische Informatik: mit 295 Bildern, 26 Tabellen und 109 Aufaben
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| Language: | German |
| Published: |
München
Hanser
[2018]
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 11
1.1 Was ist theoretische Informatik? .......................................................... 11
1.2 Zurück zu den Anfängen .................................................................... 14
1.2.1 Die Mathematik in der Krise ...................................................... 14
1.2.2 Metamathematik.................................................................... 18
1.2.3 Die ersten Rechenmaschinen........................................................ 22
1.2.4 Der Computer wird erwachsen ...................................................... 24
1.2.5 Berechenbarkeit versus Komplexität ............................................... 26
1.3 Theoretische Informatik heute.............................................................. 32
1.4 Übungsaufgaben............................................................................. 34
2 Mathematische Grundlagen 37
2.1 Grundlagen der Mengenlehre................................................................. 38
2.1.1 Der Mengenbegriff ................................................................ 38
2.1.2 Mengenoperationen................................................................. 41
2.2 Relationen und Funktionen.................................................................. 44
2.3 Die Welt der Zahlen........................................................................ 52
2.3.1 Natürliche, rationale und reelle Zahlen........................................... 52
2.3.2 Von großen Zahlen................................................................. 55
2.3.3 Die Unendlichkeit begreifen....................................................... 57
2.4 Rekursion und induktive Beweise............................................................ 65
2.4.1 Vollständige Induktion............................................................ 66
2.4.2 Strukturelle Induktion............................................................ 68
2.5 Übungsaufgaben............................................................................. 70
3 Logik und Deduktion 81
3.1 Aussagenlogik.............................................................................. 82
3.1.1 Syntax und Semantik............................................................... 82
3.1.2 Normalformen...................................................................... 91
3.1.3 Beweistheorie..................................................................... 96
3.1.3.1 Hilbert-Kalkül........................................................... 98
3.1.3.2 Resolutionskalkül........................................................104
3.1.3.3 Tableaukalkül............................................................109
3.1.4 Anwendung: Hardware-Entwurf ......................................................112
8
Inhaltsverzeichnis
3.2 Prädikatenlogik............................................................................117
3.2.1 Syntax und Semantik ..............................................................118
3.2.2 Normalformen......................................................................122
3.2.3 Beweistheorie.....................................................................124
3.2.3.1 Resolutionskalkül.......................................................130
3.2.3.2 Tableaukalkül...........................................................135
3.2.4 Anwendung: Logische Programmierung................................................138
3.3 Logikerweiterungen.........................................................................145
3.3.1 Prädikatenlogik mit Gleichheit....................................................146
3.3.2 Logiken höherer Stufe.............................................................147
3.3.3 Typentheorie......................................................................149
3.4 Übungsaufgaben.............................................................................150
4 Formale Sprachen 161
4.1 Sprache und Grammatik......................................................................162
4.2 Chomsky-Hierarchie.........................................................................168
4.3 Reguläre Sprachen..........................................................................170
4.3.1 Definition und Eigenschaften......................................................170
4.3.2 Pumping-Lemma für reguläre Sprachen...............................................172
4.3.3 Satz von Myhill-Nerode............................................................174
4.3.4 Reguläre Ausdrücke................................................................176
4.4 Kontextfreie Sprachen......................................................................179
4.4.1 Definition und Eigenschaften......................................................179
4.4.2 Normalformen......................................................................179
4.4.2.1 Chomsky-Normalform......................................................179
4.4.2.2 Backus-Naur-Form .......................................................181
4.4.3 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen...........................................182
4.4.4 Entscheidungsprobleme.............................................................186
4.4.5 Abschlusseigenschaften............................................................188
4.5 Kontextsensitive Sprachen..................................................................191
4.5.1 Definition und Eigenschaften......................................................191
4.5.2 Entscheidungsprobleme.............................................................192
4.5.3 Abschlusseigenschaften............................................................193
4.6 Phrasenstruktursprachen....................................................................193
4.7 Übungsaufgaben.............................................................................195
5 Endliche Automaten 201
5.1 Begriffsbestimmung.........................................................................202
5.2 Deterministische Automaten ................................................................204
5.2.1 Definition und Eigenschaften......................................................204
5.2.2 Automatenminimierung..............................................................206
5.3 Nichtdeterministische Automaten............................................................208
Inhaltsverzeichnis
9
5.3.1 Definition und Eigenschaften.....................................................208
5.3.2 Satz von Rabin, Scott............................................................210
5.3.3 Epsilon-Übergänge ...............................................................212
5.4 Automaten und reguläre Sprachen ..........................................................216
5.4.1 Automaten und reguläre Ausdrücke.................................................217
5.4.2 Abschlusseigenschaften...........................................................218
5.4.3 Entscheidungsprobleme............................................................220
5.4.4 Automaten und der Satz von Myhill-Nerode.........................................221
5.5 Kellerautomaten...........................................................................223
5.5.1 Definition und Eigenschaften.....................................................223
5.5.2 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen........................................226
5.5.3 Deterministische Kellerautomaten.................................................228
5.6 Transduktoren.............................................................................230
5.6.1 Definition und Eigenschaften.....................................................230
5.6.2 Automatenminimierung.............................................................231
5.6.3 Automatensynthese................................................................233
5.6.4 Mealy- und Moore-Automaten.......................................................234
5.7 Petri-Netze...............................................................................238
5.8 Zelluläre Automaten.......................................................................243
5.9 Übungsaufgaben............................................................................246
6 Berechenbarkeitstheorie 253
6.1 Berechnungsmodelle .......................................................................254
6.1.1 Loop-Programme...................................................................254
6.1.2 While-Programme..................................................................260
6.1.3 Goto-Programme ..................................................................264
6.1.4 Primitiv-rekursive Funktionen....................................................269
6.1.5 Turing-Maschinen.................................................................277
6.1.5.1 Einband-Turing-Maschinen................................................277
6.1.5.2 Einseitig und linear beschränkte Turing-Maschinen.......................285
6.1.5.3 Mehrspur-Turing-Maschinen...............................................286
6.1.5.4 Mehrband-Turing-Maschinen...............................................286
6.1.5.5 Maschinenkomposition....................................................288
6.1.5.6 Universelle Turing-Maschinen ...........................................289
6.1.5.7 Zelluläre Turing-Maschinen..............................................293
6.1.6 Alternative Berechnungsmodelle...................................................295
6.1.6.1 Registermaschinen.......................................................296
6.1.6.2 Lambda-Kalkül...........................................................300
6.2 Church’sche These.........................................................................302
6.3 Entscheidbarkeit..........................................................................309
6.4 Akzeptierende Turing-Maschinen............................................................312
10
Inhaltsverzeichnis
6.5 Unentscheidbare Probleme...................................................................319
6.5.1 Halteproblem .....................................................................319
6.5.2 Satz von Rice ....................................................................322
6.5.3 Reduktionsbeweise ................................................................325
6.5.4 Das Post’sche Korrespondenzproblem ...............................................326
6.5.5 Weitere unentscheidbare Probleme..................................................330
6.6 Übungsaufgaben.............................................................................333
7 Komplexitätstheorie 341
7.1 Algorithmische Komplexität ................................................................342
7.1.1 O-Kalkül..........................................................................349
7.1.2 Rechnen im O-Kalkül...............................................................352
7.2 Komplexitätsklassen........................................................................356
7.2.1 P und NP..........................................................................359
7.2.2 PSPACE und NPSPACE................................................................365
7.2.3 EXP und NEXP......................................................................367
7.2.4 Komplementäre Komplexitätsklassen.................................................369
7.3 NP-Vollständigkeit.........................................................................371
7.3.1 Polynomielle Reduktion............................................................371
7.3.2 P-NP-Problem......................................................................372
7.3.3 Satz von Cook.....................................................................373
7.3.4 Reduktionsbeweise ................................................................380
7.4 Übungsaufgaben.............................................................................386
A Notationsverzeichnis 397
B Abkürzungsverzeichnis 401
C Glossar 403
Literaturverzeichnis 419
Namensverzeichnis 423
Sachwortverzeichnis
425
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