Elementare Zahlentheorie:
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Berlin, Germany
Springer Spektrum
[2018]
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1 Vier spannende Probleme. 1
1.1 Natürliche Zahlen als Summe zweier Primzahlen. 1
1.2 Primzahlen als Differenz zweier Quadratzahlen. 2
1.3 Freitag, der 13. - ein Unglückstag?. 5
1.4 Welche Fehler erkennt die IBAN?. 7
2 Teiler, Vielfache, Reste. 15
2.1 Definition. 15
2.2 Teilbarkeits- und Vielfachenrelation als Ordnungsrelationen. 18
2.2.1 Veranschaulichung durch Pfeildiagramme. 18
2.2.2 Ordnungsrelation. 21
2.3 Summen- und Produktregel. 22
2.3.1 Summenregel. 22
2.3.2 Differenzregel. 23
2.3.3 Produktregeln . . 24
2.4 Division mit Rest . 26
2.5 Kongruenzrelation/Restgleichheitsrelation. 29
2.5.1 Seitenweise Addition von Kongruenzen. 30
2.5.2 Seitenweise Multiplikation von Kongruenzen. 31
2.5.3 Einsatzgebiete der Kongruenzrelation . 33
2.6 Aufgaben. 33
3 Primzahlen. 37
3.1 Primzahlen - unterschiedliche Gesichter. 37
3.2 Bestimmung von Primzahlen - Sieb des Eratosthenes. 39
3.3 Verteilung der Primzahlen. 44
3.3.1 Primzahlzwillinge . 44
3.3.2 Primzahldrillinge/Primzahlvierlinge. 45
3.3.3 Primzahllücken. 46
3.4 Wie viele Primzahlen gibt es?. 48
3.5 Primzahlformeln. 50
XI
XII Inhaltsverzeichnis
3.6 Primzahlsatz. 52
3.7 Jagd nach Primzahlrekorden. 53
3.8 Vollkommene Zahlen. 55
3.9 Einige offene Primzahlprobleme. 60
3.10 Aufgaben. 62
4 Primzahlen - Bausteine der natürlichen Zahlen. 65
4.1 Problematisierung. 65
4.2 Existenz der Primfaktorzerlegungen. 67
4.3 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegungen. 68
4.4 Folgerungen. 71
4.4.1 Primzahlkriterium . 71
4.4.2 Lemma von Euklid. 73
4.4.3 Teilermengen. 73
4.4.4 Weiterer Ausblick. 75
4.5 Aufgaben. 75
5 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches . 79
5.1 ggT und Teilermengen. 80
5.2 ggT und Primfaktorzerlegung. 83
5.2.1 Ein Beispiel. 83
5.2.2 Allgemeine Vorgehensweise. 84
5.3 ggT und Euklidischer Algorithmus. 85
5.3.1 Ein Beispiel. 86
5.3.2 Verallgemeinerung der zentralen Beweisidee . 88
5.3.3 Euklidischer Algorithmus. 88
5.4 kgV und Vielfachenmengen. 91
5.5 kgV und Primiaktorzerlegung. 95
5.6 Zusammenhang zwischen ggT und kgV. 96
5.7 Linearkombinationen natürlicher Zahlen. 98
5.8 Lineare diophantische Gleichungen.103
5.9 Die Fermat’sche Vermutung - eine abenteuerliche Geschichte.106
5.10 Aufgaben.108
6 Kongruenzen, Restklassenmengen und klassische Sätze.113
6.1 Die Kongruenzrelation modulo m .113
6.1.1 Rechnen mit Resten .113
6.1.2 Alternative Definition der Kongruenzrelation.116
6.1.3 Rechnen mit Kongruenzen.119
6.1.4 Die Kongruenzrelation als Äquivalenzrelation.120
6.2 Restklassenmengen modulo m . 121
6.2.1 Restklassen als Äquivalenzklassen.122
Inhaltsverzeichnis XIII
6.2.2 Rechnen mit Restklassen.123
6.2.3 Restklassengleichungen.126
6.2.4 Sprachebenen der Zahlentheorie.127
6.2.5 Restklassenmengen als Beispiele für algebraische Strukturen . 129
6.3 Klassische Sätze der Elementaren Zahlentheorie.135
6.3.1 Sätze von Euler und Fermat.135
6.3.2 Chinesischer Restsatz.138
6.3.3 Satz von Wilson.142
6.4 Aufgaben.143
7 Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln.147
7.1 Stellenweitsysteme - einige Bemerkungen.148
7.1.1 Dezimales Stellenwertsystem .148
7.1.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme.149
7.1.3 Notation einer Zahl in verschiedenen Basen.149
7.1.4 Anforderungen an eine Basis.150
7.1.5 Mögliche Basen von Stellenwertsystemen.150
7.2 Ausgewählte Eigenschaften der Kongruenzrelation. 153
7.3 Endstellenregeln.153
7.3.1 Dezimales Stellenwertsystem .154
7.3.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme.158
7.4 Quersummenregeln.160
7.4.1 Dezimales Stellenwertsystem .160
7.4.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme.162
7.5 Alternierende Quersummenregeln.164
7.5.1 Dezimales Stellenwertsystem .164
7.5.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme.168
7.6 Vorteile des Zugangsweges über die Kongruenzrelation.170
7.7 Aufgaben.171
8 Dezimalbrüche/Systembrüche.175
8.1 Darstellungsformen von rationalen Zahlen.176
8.1.1 Größenvergleich von gemeinen Brüchen als Herausforderung. . . 176
8.1.2 Vorteile der unterschiedlichen Darstellungsformen.177
8.1.3 Erste einfache Darstellungswechsel.177
8.2 Dezimalbruchentwicklungen als Erweiterung des Dezimalsystems . 178
8.2.1 Erweiterung des Dezimalsystems und des Divisionsalgorithmus . 178
8.2.2 Erste Erkundungen.182
8.2.3 Erste Systematisierungen.183
8.3 Endliche Dezimalbruchentwicklungen.184
8.4 Periodische Dezimalbruchentwicklungen.186
8.4.1 Reinperiodische Dezimalbruchentwicklungen.187
XIV Inhaltsverzeichnis
8.4.2 Gemischtperiodische Dezimalbruchentwicklungen.191
8.5 Andere Stellenwertsysteme - andere Systembruchentwicklungen.192
8.5.1 Erste Beispiele.192
8.5.2 Divisionsalgorithmus in anderen Stellenwertsystemen.194
8.5.3 Verallgemeinerung der Resultate aus dem Dezimalsystem.196
8.6 Aufgaben.198
9 Fehler erkennen, Fehler korrigieren - Prüfziffern Co.201
9.1 GTIN und EAN.203
9.1.1 Aufbau und Zielsetzung. 203
9.1.2 Die Prüfziffer.205
9.1.3 Sicherheit des Prüfziffernsystems.207
9.1.4 Zusammenfassung. 213
9.2 Die Internationale Standardbuchnummer ISBN-13.213
9.2.1 Einige Bemerkungen zur Einführung.213
9.2.2 Aufbau der ISBN-13.213
9.2.3 Sicherheit des ISBN-13-Prüfziffernsystems. 214
9.2.4 Zusammenhang von ISBN-10 und ISBN-13 .215
9.3 Die Internationale Standardbuchnummer ISBN-10.215
9.3.1 Berechnung der ISBN-10-Prüfziffer .215
9.3.2 Sicherheit des ISBN- 10-PrüfZiffernverfahrens.216
9.3.3 Zusammenfassung.220
9.4 Die Pharmazentralnummer PZN.221
9.4.1 Aufbau der PZN und Berechnung der Prüfziffer.222
9.4.2 Sicherheit der PZN.222
9.5 Die Internationale Bankkontonummer IBAN .223
9.5.1 Sicherheit des IBAN-Prüfziffernverfahrens.223
9.5.2 Zusammenfassung.228
9.6 Quick-Response-Code Co. - eine Skizze.229
9.6.1 Entwicklung, Zielsetzung und Aufbau des QR-Codes.230
9.6.2 Grundidee der Fehlerkorrektur.231
9.6.3 Verwandte Codes.232
9.7 Aufgaben. 233
10 Verschlüsselung und digitale Signaturen - RSA Co.237
10.1 Grundsituationen der Kryptologie. 237
10.2 Symmetrische und asymmetrische Verschlüsselung.239
10.2.1 Symmetrische Verfahren .239
10.2.2 Asymmetrische Verfahren. 240
10.2.3 Vor- und Nachteile der beiden Verfahren hybride Verfahren . . 242
10.3 Beispiele für symmetrische Verfahren - Cäsar-Chiffren Co.243
10.3.1 Monoalphabetische Substitution.243
Inhaltsverzeichnis XV
10.3.2 Polyalphabetische Substitution.246
10.4 Ein Beispiel für asymmetrische Verschlüsselung - das RSA~ Verfahren . 247
10.4.1 Grundidee des RSA-Verfahrens.247
10.4.2 Wahl des Moduls und Generierung der Schlüssel .251
10.4.3 Effektivität und Effizenz des Verfahrens.253
10.5 Aufgaben.255
11 Ausblick: Quadratische Reste.257
11.1 Erste Begriffe und Erkundungen.258
11.2 Erste Aussagen über quadratische Reste.260
11.3 Das Legendre-Symbol und weitere Aussagen.262
11.4 Das Quadratische Reziprozitätsgesetz.263
Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben.265
Liste der wichtigsten Symbole und Bezeichnungen.273
Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und
Sekundarstufe I + II.277
Literatur.279
Sachverzeichnis.281 |
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