Mathematik verstehen und anwenden - von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation:
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| Main Authors: | , |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Heidelberg
Springer Spektrum
[2018]
|
| Edition: | 3., überarbeitete und erweiterte Auflage |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | xiii, 1098 Seiten Illustrationen, Diagramme 24 cm x 16.8 cm, 1738 g |
| ISBN: | 9783662573938 3662573938 |
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INHALTSVERZEICHNIS
V O R W O R T
.
V
1 G R U N D LA G E N
.
1
1.1
MENGENLEHRE.
1
1.1.1
MENGENBEGRIFF.
2
1.1.2
MENGENOPERATIONEN.
4
1.1.3
ABBILDUNGEN.
7
1.2
LOGIK.
12
1.2.1
AUSSAGENLOGIK.
12
1.2.2
PRAEDIKATENLOGIK.
18
1.2.3 BEW
EISE.
23
1.3 REELLE Z
AHLEN.
25
1.3.1 NATUERLICHE UND GANZE ZAHLEN
.
25
1.3.2 RATIONALE Z
AHLEN.
34
1.3.3 REELLE Z AH LEN
.
44
1.4 RECHNEN MIT REELLEN
ZAHLEN.
55
1.4.1 POTENZEN UND W
URZELN.
55
1.4.2 SUMMEN UND PRODUKTE, BINOMISCHER
LEHRSATZ. 57
1.4.3 BETRAEGE UND
UNGLEICHUNGEN.
65
1.4.4 UEBER DAS LOESEN VON GLEICHUNGEN UND
UNGLEICHUNGEN. 71
1.5 REELLE
FUNKTIONEN.
77
1.5.1 NOTATION REELLER
FUNKTIONEN.
77
1.5.2 EIGENSCHAFTEN VON REELLEN F UNKTIONEN
.
80
1.5.3
UMKEHRFUNKTION.
85
1.5.4 VERKETTUNG VON
FUNKTIONEN.
87
1.5.5 SIGNUM- UND BETRAGSFUNKTION
.
89
1.5.6 POLYNOME UND GEBROCHEN-RATIONALE FUNKTIONEN
.
90
1.5.7 POTENZ- UND W
URZELFUNKTIONEN.101
1.5.8 EXPONENTIALFUNKTIONEN UND L OGARITHM EN
.
102
1.5.9 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
. 112
1.5.10 HYPERBEL- UND A REAFUNKTIONEN
.
128
1.6 KOMPLEXE ZAHLEN
.
131
1.6.1 ERWEITERUNG DER REELLEN ZAHLEN UM EINE IMAGINAERE E IN H E IT
.
132
1.6.2 KOMPLEXE A RITHM ETIK
.
133
1.6.3 DIE GAUSS*SCHE
ZAHLENEBENE.135
1.6.4 EULER*SEHE GLEICHUNG UND POLARFORM KOMPLEXER Z A H LEN
.
138
1.6.5 KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG *
.
144
1.6.6 FUNDAMENTALSATZ DER A LGEBRA
.
147
1.7 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND M ATRIZEN
.
152
1.7.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
.
152
1.7.2 MATRIZEN, ZEILEN- UND SPALTENVEKTOREN
. 154
1.7.3 LOESEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME
.
161
1.7.4 INVERSE MATRIX UND TRANSPONIERTE M A TRIX
. 168
1.7.5 SYMMETRISCHE UND ORTHOGONALE MATRIZEN
. 173
1.7.6 DREIECKSMATRIZEN, BANDMATRIZEN UND LR-ZERLEGUNG *
.
176
1.8 DETERM
INANTEN.
181
1.8.1 DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN VON D ETERM INANTEN
.
182
1.8.2 DETERMINANTEN UND LINEARE
GLEICHUNGSSYSTEME. 193
1.9 A U
FGABEN.
199
2 D IFFERENZIAL- U N D IN TE G R A LRE C H N U N G
.211
2.1
FOLGEN.
211
2.1.1 DEFINITION UND GRUNDBEGRIFFE VON FOLGEN
.
212
2.1.2 KONVERGENZ UND DIVERGENZ VON FOLGEN
. 216
2.1.3 RECHNEN MIT KONVERGENTEN FOLGEN
.220
2.1.4 KONVERGENZKRITERIEN
.223
2.1.5 DIE EULER*SCHE ZAHL E ALS GRENZWERT VON FOLGEN
.
226
2.1.6 APPROXIMATION REELLER P O TEN ZEN
.228
2.1.7 BESTIMMTE D
IVERGENZ.229
2.1.8 HAEUFUNGSPUNKTE EINER FOLGE *
.232
2.1.9 FOLGENKOMPAKTHEIT UND CAUCHY-FOLGEN *
. 232
2.2
ZAHLEN-REIHEN.
236
2.2.1 DEFINITION UND KONVERGENZ EINER R E IH E
. 237
2.2.2 RECHNEN MIT KONVERGENTEN R EIH EN
.240
2.2.3 ALTERNATIVEN ZUR DEFINITION DER REIHENKONVERGENZ
.
241
2.2.4 ABSOLUTE KONVERGENZ
.243
2.2.5 KONVERGENZKRITERIEN FUER
REIHEN.245
2.3 GRENZWERTE VON FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
.255
2.3.1 UMGEBUNGEN UND UEBERDECKUNGEN
.255
2.3.2 GRENZWERTE VON
FUNKTIONEN.257
2.3.3
STETIGKEIT.
270
2.3.4 EIGENSCHAFTEN STETIGER F U
NKTIONEN.278
2.3.5
UNSTETIGKEITSSTELLEN.285
2.4 DIFFERENZIERBARKEIT UND A
BLEITUNGEN.288
2.4.1 ABLEITUNG ALS GRENZWERT DES DIFFERENZENQUOTIENTEN
.
289
2.4.2
ABLEITUNGSREGELN.295
2.4.3
NEWTON-VERFAHREN.305
2.4.4 DAS DIFFERENZIAL
.
307
2.4.5 HOEHERE
ABLEITUNGEN.310
2.5 ZENTRALE SAETZE DER
DIFFERENZIALRECHNUNG.314
INHALTSVERZEICHNIS IX
2.5.1 SATZ VON FERMAT: NOTWENDIGE BEDINGUNG FUER LOKALE EXTREM A
.
314
2.5.2 MITTELWERTSAETZE DER DIFFERENZIALRECHNUNG
.315
2.5.3 REGELN VON
L*HOSPITAL.
322
2.6
INTEGRALRECHNUNG.
328
2.6.1 DEFINITION DES INTEGRALS
.
329
2.6.2 EIGENSCHAFTEN DES IN TEG RALS
.
334
2.6.3 HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
.
339
2.6.4 RECHENREGELN ZUR INTEGRATION
.
343
2.6.5 NUMERISCHE INTEGRATION
.
359
2.6.6 UNEIGENTLICHE INTEGRALE
.
362
2.6.7 VOLUMEN UND FLAECHEN
.
369
2.6.8 LEBESGUE-INTEGRAL *
.
373
2.7 SATZ VON TAYLOR, KURVENDISKUSSION UND EXTREMALPROBLEME
.
382
2.7.1 TAY LOR- SUM M
EN.
382
2.7.2 KURVENDISKUSSION UND
EXTREMALPROBLEME.387
2.8 POTENZREIHEN
.
398
2.8.1 UNENDLICHE TAYLOR-SUMMEN UND
POTENZREIHEN.398
2.8.2 EINSCHUB: FUNKTIONENFOLGEN *
.
402
2.8.3 KONVERGENZ VON POTENZREIHEN
.
411
2.8.4 DIFFERENZIATION UND INTEGRATION VON POTENZREIHEN
.
415
2.8.5 DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN POTENZREIHEN UND TAY LOR-REIHEN . 417
2.8.6 DIE KOMPLEXE
EXPONENTIALFUNKTION.418
2.9 A
UFGABEN.420
3 L INEARE A LG E B RA
.
427
3.1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM R A U M
.
427
3.1.1 VEKTOREN: GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE RECHENREGELN
.
427
3.1.2 SKALARPRODUKT UND O
RTHOGONALITAET.435
3.1.3 VEKTORPRODUKT UND SPATPRODUKT
.442
3.1.4 ANWENDUNGEN DES SKALAR-, VEKTOR- UND S PATP RO D U K TS
.
450
3.2 ANALYTISCHE GEOM
ETRIE.
452
3.2.1 GERADEN IN DER EBENE UND IM R A U M
.453
3.2.2 EBENEN IM R AUM
.
460
3.3 VEKTORRAEUME
.
466
3.3.1 DEFINITION DES V EKTORRAUM S
.
467
3.3.2 LINEARE UNABHAENGIGKEIT, BASIS UND DIMENSION
.474
3.3.3 SKALARPRODUKT UND N O RM
.
483
3.3.4 ORTHOGONALITAET, ORTHOGONAL- UND ORTHONORM ALSYSTEM E
.
488
3.4 LINEARE ABBILDUNGEN
.
500
3.4.1 LINEARE ABBILDUNGEN UND M
ATRIZEN.500
3.4.2 SUMME, SKALARES VIELFACHES UND VERKETTUNG LINEARER ABBILDUNGEN .
506
3.4.3 KERN UND BILD EINER LINEAREN ABBILDUNG, D IM ENSIONSSATZ
.
508
3.4.4 UMKEHRABBILDUNG UND INVERSE M A TRIX
.515
3.4.5 KOORDINATEN- UND BASISTRANSFORMATIONEN *
.
517
3.5 LOESUNGSTHEORIE LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME
. 521
3.5.1 LOESUNGSRAUM EINES LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMS
.
523
3.5.2 BERECHNUNG VON LINEAREN ELEKTRISCHEN NETZWERKEN *
.
529
3.6 EIGENWERTE UND
EIGENVEKTOREN.537
3.6.1 EIGENWERTE UND
EIGENVEKTOREN.538
3.6.2 DIAGONALISIERUNG VON MATRIZEN *
. 548
3.6.3 HAUPTVEKTOREN UND JORDAN-NORMALFORM *
.
552
3.7 NORMIERTE VEKTORRAEUME: LINEARE ALGEBRA TRIFFT ANALYSIS *
.
557
3.7.1 N O RM
.
557
3.7.2 BANACH- UND H ILBERT-R AEUM
E.560
3.7.3 LP-R AEUM
E.562
3.7.4 STETIGE ABBILDUNGEN ZWISCHEN NORMIERTEN VEKTORRAEUMEN
.
566
3.7.5 EINIGE ZENTRALE SAETZE DER FUNKTIONALANALYSIS
.
577
3.7.6 SOBOLEV-RAEUME
.584
3.8 A
UFGABEN.585
4 F U N K TIO N E N M IT M E H RE RE N V ARIAB LEN
. 589
4.1 GRENZWERTE UND
STETIGKEIT.592
4.2 ABLEITUNGEN VON REELLWERTIGEN FUNKTIONEN MIT MEHREREN VARIABLEN
.
597
4.2.1
ABLEITUNGSBEGRIFFE.597
4.2.2 IMPLIZITE DIFFERENZIATION UND IMPLIZITE F UNKTION
.
609
4.2.3 HOEHERE
ABLEITUNGEN.610
4.2.4 FEHLERRECHNUNG*
.614
4.3
EXTREMWERTRECHNUNG.617
4.3.1 LOKALE UND GLOBALE E X TRE M A
.618
4.3.2 EXTREMA UNTER NEBENBEDINGUNGEN *
.631
4.3.3 LINEARE OPTIMIERUNG *
.638
4.4 INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN.649
4.4.1 INTEGRATION UEBER MEHRDIMENSIONALE INTERVALLE
.
649
4.4.2 INTEGRATION UEBER NORMALBEREICHE
.657
4.4.3
SUBSTITUTIONSREGEL.661
4.4.4 POLAR-, ZYLINDER- UND K
UGELKOORDINATEN. 663
4.4.5 LEBESGUE-INTEGRAL, LP- UND SOBOLEV-RAEUME *
.
668
4.5
VEKTORANALYSIS.
672
4.5.1 V
EKTORFELDER.673
4.5.2
KURVEN.
674
4.5.3 QUELLEN, SENKEN UND WIRBEL IN VEKTORFELDERN
.
678
4.5.4
KURVENINTEGRALE.680
INHALTSVERZEICHNIS XI
4.5.5 SATZ VON GREEN *
.
688
4.5.6 FLAECHENINTEGRALE *
.
690
4.5.7 DIE SAETZE VON GAUSS UND STOKES *
.694
4.6 A
UFGABEN.
701
5 G EW OEHNLICHE D IFFE REN Z IALG LEIC H U N G EN
.705
5.1
EINFUEHRUNG.
705
5.1.1 BEISPIELE FUER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN AUS PHYSIK UND TECHNIK
.
706
5.1.2
GRUNDBEGRIFFE.
710
5.1.3 KONSTRUKTION EINER LOESUNG, EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT
.
715
5.1.4 ITERATIONSVERFAHREN VON PICARD UND LINDELOEF
.
718
5.1.5
RUNGE-KUTTA-VERFAHREN.719
5.2 LOESUNGSMETHODEN FUER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER O RD N U N G
.
721
5.2.1 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER O RDNUNG
.
722
5.2.2 NICHT-LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER O RDNUNG
.
735
5.3 LINEARE
DIFFERENZIALGLEICHUNGSSYSTEME.748
5.3.1 MOTIVATION: EINE SCHALTUNG MIT INDUKTIVITAETEN
.
748
5.3.2
GRUNDBEGRIFFE.
749
5.3.3 HOMOGENE LOESUNGEN
.
753
5.3.4 PARTIKULAERE L OESUNGEN
.
757
5.3.5 KOMPLEXE UND MEHRFACHE EIGENWERTE *
.762
5.4 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN HOEHERER O
RDNUNG.770
5.4.1 LOESUNG UEBER EIN LINEARES DIFFERENZIALGLEICHUNGSSYSTEM
.
770
5.4.2 LOESUNG MIT EINEM ANSATZ VOM TYP DER RECHTEN SEITE
.
777
5.4.3 SCHWINGUNGSGLEICHUNG*
.
782
5.5 AUSBLICK: PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN UND
FINITE-ELEMENTE-METHODE * 788
5.5.1 EINE SCHWINGENDE SAITE: WELLENGLEICHUNG
.788
5.5.2 PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ZWEITER O RDNUNG
.
790
5.5.3
FINITE-ELEMENTE-METHODE.792
5.5.4 BEISPIEL FUER DIE FINITE-ELEMENTE-METHODE IN 2-D
.
799
5.6 A
UFGABEN.
809
6 F O U RIER-R EIH EN UN D IN TE G R A LTR A N S FO R M A TIO N E N
.813
6.1
FOURIER-REIHEN.
814
6.1.1 FOURIER-KOEFFIZIENTEN UND DEFINITION DER FOURIER-REIHE
.
815
6.1.2 SINUS- UND KOSINUS-FORM DER
FOURIER-REIHE.821
6.1.3 KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN UND FOURIER-KOEFFIZIENTEN
.
823
6.1.4 F A LTU N G
.
832
6.1.5 KONVERGENZ VON FOURIER-REIHEN *
.840
6.1.6
GIBBS-PHAENOMEN.
853
6.1.7 ENTWICKLUNG 2P-PERIODISCHER
FUNKTIONEN.859
6.2
FOURIER-TRANSFORMATION.
861
6.2.1
FOURIER-INTEGRAL.
861
6.2.2 FOURIER-UMKEHRTRANSFORMATION
.
865
6.2.3 FOURIER-KOEFFIZIENTEN UND
FOURIER-TRANSFORMATION.867
6.2.4 EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-TRANSFORMATION
.869
6.2.5 F A LTU N G
.
874
6.3
LAPLACE-TRANSFORMATION.878
6.3.1 VON DER FOURIER-ZUR
LAPLACE-TRANSFORMATION.878
6.3.2 RECHNEN MIT DER
LAPLACE-TRANSFORMATION.882
6.3.3 LAPLACE-TRANSFORMATION IN DER SYSTEMTHEORIE *
.894
6.4 DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION
.903
6.4.1 AUSGANGSPUNKT: KOEFFIZIENTEN EINER
FOURIER-REIHE.905
6.4.2 DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION
.
908
6.4.3 DISKRETE FALTUNG *
.
919
6.4.4 FFT-ALGORITHMUS
.923
6.4.5 NUMERISCHE BERECHNUNG VON
FOURIER-KOEFFIZIENTEN.928
6.4.6 ABTASTSATZ FUER TRIGONOMETRISCHE POLYNOM
E.930
6.4.7 ABTASTUNG 2P-PERIODISCHER FUNKTIONEN UND LECK-EFFEKT (LEAKAGE) *
937
6.4.8 NUMERISCHE BERECHNUNG DER FOURIER-TRANSFORMATION
.
939
6.4.9 ABTASTSATZ DER
FOURIER-TRANSFORMATION.941
6.4.10 LECK-EFFEKT UND FENSTERFUNKTIONEN *
.
950
6.4.11
ZUSAMMENFASSUNG.
954
6.5 WAVELETS UND SCHNELLE WAVELET-TRANSFORMATION *
. 954
6.5.1 IDEE DER W AVELET-TRANSFORMATION
.
955
6.5.2 EINDIMENSIONALE WAVELET-TRANSFORMATION MIT ORTHOGONALEN
WAVELETS959
6.5.3 ZWEIDIMENSIONALE DISKRETE WAVELET-TRANSFORMATION
.963
6.6 A U
FGABEN.
965
7 W AHRSCH EIN LICH K EITSRECH N U N G U N D S T A T I S T I K
.969
7.1 BESCHREIBENDE S TA TIS TIK
.970
7.1.1
GRUNDBEGRIFFE.
970
7.1.2 EMPIRISCHE VERTEILUNGSFUNKTIONEN
.
975
7.1.3 LAGEPARAM
ETER.
977
7.1.4 STREUUNGSPARAMETER
.
982
7.1.5 ZWEIDIMENSIONALE HAEUFIGKEITSVERTEILUNGEN UND K ORRELATION
.
984
7.1.6 K OVARIANZM
ATRIX.
988
7.1.7 LINEARE REGRESSIONSRECHNUNG
.
992
7.2
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG.997
7.2.1 ZUFALLSEXPERIMENTE UND EREIGNISSE
.
997
7.2.2 WAHRSCHEINLICHKEIT UND SATZ VON L
APLACE.999
7.2.3 KOM BINATORIK
.
1003
7.2.4 UNABHAENGIGE EREIGNISSE UND BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
.
1008
INHALTSVERZEICHNIS
XIII
7.2.5
ZUFALLSVARIABLEN.
1018
7.2.6 LAGE- UND STREUUNGSPARAMETER VON ZUFALLSVARIABLEN
.
1032
7.2.7 GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
.
1042
7.2.8 ZENTRALER GRENZWERTSATZ
.
1047
7.2.9 INTEGRALE UEBER ZUFALLSVARIABLEN *
.1054
7.3 SCHLIESSENDE
STATISTIK.
1056
7.3.1
PUNKTSCHAETZUNGEN.
1057
7.3.2 BEGRIFFE DER FEHLERRECHNUNG *
.
1061
7.3.3
INTERVALLSCHAETZUNGEN.
1063
7.3.4
HYPOTHESENTESTS.
1071
7.4 A
UFGABEN.
1076
L ITE RATU RV ERZ E IC H N IS
.
1083
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.1087 |
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