Statistische Aspekte der Schätzung von Ersatzmodellen und des Deep Learnings in hohen Dimensionen: = Statistical aspects of the estimation of surrogate models and deep learning in high dimensions
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| Format: | Thesis Book |
| Language: | German |
| Published: |
München
Verlag Dr. Hut
2018
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| Edition: | 1. Auflage |
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von Ersatzmodellen und des Deep
Learnings in hohen Dimensionen
Statistical aspects of the estimation of surrogate models and deep learning in high
dimensions
Vom Fachbereich Mathematik der Technischen Universität Darmstadt zur Erlangung des Grades
eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr rer nat ) genehmigte Dissertation
von Benedikt Bauer (M Sc Mathematik/Wirtschaftsmathematik) aus Hanau
Darmstadt - D17 - 2018
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 5
1 1 Computerexperimente und Ersatzmodelle 5
1 2 Schätzungen von und mit Ersatzmodellen 8
1 3 Deep Learning in der Regressionsschätzung mit Fehler 12
1 4 Notationen 13
1 5 Struktur dieser Arbeit 16
2 Ein Spline-Schätzer für verstreute Daten 17
2 1 Scattered Data Approximation 17
2 2 Definition des Schätzers 19
221 Die grundlegende Idee der Schätzung durch ein lineares Programm 20
222 Der Spline-Schätzer 21
2 3 Konvergenzverhalten des Schätzers 23
3 Approximationseigenschaften hierarchischer neuronaler Netze 39
3 1 Verallgemeinerte hierarchische Interaktionsmodelle 39
3 2 Neuronale Netze 42
321 Vollständig verbundene neuronale Netze 43
322 Hierarchische neuronale Netze 48
3 3 Funktionsapproximation mit hierarchischen neuronalen Netzen 51
331 Approximation (p, C)-glatter Funktionen 51
332 Approximation (p, C)-glatter verallgemeinerter hierarchischer Interakti-
onsmodelle 68
3 4 Zur Komplexität des Funktionenraums der hierarchischen neuronalen Netze 73
4 Schätzungen durch Minimierung der empirischen maximalen Abweichung 79
4 1 Allgemeine Fehlerschranke für die Funktionsschätzung 79
4 2 Quantilschätzung basierend auf Ersatzmodellen 85
4 3 Hierarchische neuronale Netze als Ersatzmodelle 93
5 Hierarchische neuronale Netze in der nichtparametrischen Regression 101
5 1 Regressionsschätzung mit Fehler 101
5 2 Definition des Schätzers 102
5 3 Konvergenzverhalten des Schätzers 103
3
6 Anwendung der eingeführten Schätzverfahren auf simulierte Daten 107
6 1 Motivation für Simulationen mit endlichen Stichprobenumfängen 107
6 2 Simulation I: Der Spline-Schätzer für verstreute Daten 107
6 3 Simulation II: Der Quantilschätzer mit Ersatzmodellen aus hierarchischen neuro-
nalen Netzen 112
6 4 Simulation III: Hierarchische neuronale Netze in der Regressionsschätzung mit
Fehler 119
Anhang 125
A l Untere Schranke an die Wahrscheinlichkeit im Beweis von Theorem 2 125
A 2 Beweis von Lemma 4 [benötigt für Theorem 3] 127
A 3 Beweis von Lemma 12 [benötigt für Theorem 8] 130
Abbildungsverzeichnis ______________________________________________________139
Tabellenverzeichnis 141
Literaturverzeichnis 143
Danksagung 149
Wissenschaftlicher Werdegang 151
4
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