Variétés algébriques réelles:
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Société mathématique de France
2017
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Introduction - modèles algébriques des variétés lisses ....................... 1
1. Variétés algébriques ........................................................ 7
1.1. Variétés algébriques : points ou spectres? ............................ 7
1.2. Ensembles algébriques affines et projectifs ........................... 9
1.3. Variétés algébriques abstraites ...................................... 30
1.4. Topologie euclidienne ................................................ 41
1.5. Dimension, points non singuliers ..................................... 44
1.6. Courbes planes ....................................................... 57
1.7. Parapluies ......................................................... 62
Solution des exercices du chapitre 1 ..................................... 66
2. R-variétés ................................................................. 75
2.1. Structures réelles sur une variété complexe .......................... 76
2.2. R-variétés et variétés algébriques réelles ........................... 88
2.3. Complexification d’une variété réelle ................................ 98
2.4. R-variétés vs variétés algébriques réelles vs schémas sur R ..........105
2.5. Faisceaux cohérents et fibrés algébriques ............................108
2.6. Diviseurs sur une R-variété projective ...............................113
2.7. R-courbes planes ................................................... 127
Solution des exercices du chapitre 2 .....................................132
3. Topologie des variétés avec involution ....................................137
3.1. Homologie et cohomologie des R-variétés ..............................138
3.2. Théorie de Smith .....................................................145
3.3. Majoration des nombres de Betti ......................................149
3.4. Forme d’intersection sur une R-variété de dimension paire ............155
3.5. Classification des R-courbes et XVIe problème de Hilbert..............164
3.6. Variétés Galois-Maximales ............................................170
3.7. Cycles algébriques ...................................................178
Solution des exercices du chapitre 3 ......................................187
4. Surfaces ...................................................................189
4.1. Courbes et diviseurs sur les surfaces complexes ......................191
4.2. Exemples de R-surfaces ...............................................203
4.3. R-surfaces minimales .................................................210
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2017
VI
TABLE DES MATIÈRES
4.4. Surfaces rationnelles, uniréglées (x = —oo) ............................218
4.5. Surfaces K3, d’Enriques, abéliennes, bielliptiques (x = 0) .............241
4.6. Surfaces elliptiques (x ^ 1) ...........................................254
4.7. Surfaces de type général (x = 2) .......................................262
Solution des exercices du chapitre 4........................................275
5. Approximations algébriques .................................................277
5.1. Modèles rationnels .....................................................277
5.2. Applications lisses et applications régulières ........................278
5.3. Applications à valeurs dans les sphères ...............................284
5.4. Difféomorphismes et applications birégulières ......................... .301
5.5. Faux plans réels .......................................................315
6. Variétés de dimension 3 ....................................................319
6.1. La conjecture de Nash de 1952 à 2000 en passant par 1914...............319
6.2. Les 3-variétés réelles uniréglées de 2000 à 2012 ......................328
6.3. Questions et conjectures ...............................................334
Appendices ...................................................................335
A. Algèbre commutative ........................................................337
A.l. Limites inductives .....................................................337
A.2. Anneaux, idéaux premiers, idéaux maximaux, modules .....................338
A.3. Localisation .......................................................... 340
A.4. Produit tensoriel ......................................................343
A.5. Algèbres entières, théorème des zéros (Nullstellensatz) ................344
A.6. Modules quadratiques sur Z, réseaux ....................................347
A. 7. Involutions anti-linéaires ...........................................349
Solution des exercices de l’appendice A ....................................351
B. Topologie ..................................................................353
B. l. Séparation ...........................................................353
B.2. Ensembles semi-algébriques ........................................... .354
B.3. Complexes simpliciaux, homologie .......................................355
B.4. Théorème des coefficients universels ...................................357
B.5. Variétés topologiques et différentielles, orientabilité ................360
B.6. Cohomologie ............................................................364
B.7. Dualité de Poincaré ....................................................366
B. 8. Variétés de dimension 3 ..............................................373
C. Faisceaux, espaces annelés .................................................379
C. l. Faisceaux ........................................................... 379
C.2. Espace étalé dans X ....................................................381
C.3. Fibres d’un faisceau ...................................................382
C.4. Faisceau des sections d’un espace étalé ................................386
C.5. Espaces annelés ........................................................389
COURS SPÉCIALISÉS 24
TABLE DES MATIÈRES vii
C.6. Faisceaux cohérents ............................................. 391
C. 7. Variétés algébriques sur un corps algébriquement clos...............392
D. Géométrie analytique ....................................................395
D. l. Espaces analytiques complexes, fonctions holomorphes ..............395
D.2. Variétés analytiques complexes ......................................396
D.3. Variétés kahlériennes, théorie de Hodge .............................397
D.4. Invariants numériques ...............................................407
D.5. Variétés projectives ................................................410
D.6. Variété de Picard, variété d’Albanese................................410
D.7. Théorème de Riemann-Roch ............................................414
D.8. Théorèmes d’annulation ..............................................415
D. 9. Autres théorèmes fondamentaux .....................................416
E. Surfaces de Riemann et courbes algébriques .............................419
E. l. Genre d’une surface, classification topologique ...................419
E.2. Courbes complexes, surfaces de Riemann ..............................422
E.3. Théorème de Riemann-Roch sur une courbe ............................429
E. 4. Variété jacobienne associée à une courbe ...........................430
E Éclatements ...............................................................433
F. l. Éclatements de variétés C°° ........................................433
F.2. Éclatements de variétés algébriques .................................435
F.3. Topologie des éclatements ...........................................437
Bibliographie ............................................................. 441
Index des notations .........................................................463
Index terminologique ........................................................467
Liste d’exemples........................................................... 481
Liste des figures .......................................................... 483
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2017
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