Einführung in die Numerische Mathematik: Begriffe, Konzepte und zahlreiche Anwendungsbeispiele
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| Sprache: | German |
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Berlin
Springer Spektrum
[2017]
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INHALTSVERZEICHNIS
1
EINLEITUNG.
1
1.1 KONZEPTE DER NUMERISCHEN MATHEMATIK
.
2
1.2 DEFINITION EINES ALGORITHMUS
.
9
1.3 FEHLER, FEHLERVERSTAERKUNG UND
KONDITIONIERUNG. 19
1.4
ZAHLDARSTELLUNG.
22
1.5 RUNDUNGSFEHLERANALYSE UND STABILITAET VON NUMERISCHEN
ALGORITHMEN. 30
TEIL I NUMERISCHE METHODEN DER LINEAREN ALGEBRA
2 GRUNDLAGEN DER LINEAREN
ALGEBRA.
35
3 LINEARE
GLEICHUNGSSYSTEME.
45
3.1 STOERUNGSTHEORIE UND STABILITAETSANALYSE VON LINEAREN
GLEICHUNGSSYSTEMEN. 46
3.2 DAS GAUSSSCHE ELIMINATIONSVERFAHREN UND DIE LR-ZERLEGUNG
.
50
3.3 LR-ZERLEGUNG FUER DIAGONALDOMINANTE
MATRIZEN. 62
3.4 DIE CHOLESKY-ZERLEGUNG FUER POSITIV DEFINITE MATRIZEN
.
64
3.5 DUENN BESETZTE MATRIZEN UND
BANDMATRIZEN. 66
3.6
NACHITERATION.
73
3.7
EXKURS.
78
3.7.1 KONZEPTE DES PARALLELEN RECHNENS
.
78
3.7.2 PARALLELE LR-ZERLEGUNG
.
86
4 ORTHOGONALISIERUNGSVERFAHREN UND DIE
QR-ZERLEGUNG.
91
4.1 DIE QR-ZERLEGUNG
.
91
4.2 DAS
GRAM-SCHMIDT-VERFAHREN.
94
4.3 HOUSEHOLDER-TRANSFORMATIONEN
.
102
4.4
GIVENS-ROTATIONEN.
109
4.5 UEBERBESTIMMTE GLEICHUNGSSYSTEME
.
113
4.6
EXKURS.
122
5 BERECHNUNG VON
EIGENWERTEN.
125
5.1 KONDITIONIERUNG DER EIGENWERTAUFGABE
.
126
5.2 DIREKTE
METHODE.
130
5.3 ITERATIVE
VERFAHREN.
131
5.4 ZERLEGUNGSVERFAHREN ZUR
EIGENWERTBESTIMMUNG. 137
5.5
REDUKTIONSMETHODEN.
148
5.6 SINGULAERWERTZERLEGUNG UND PSEUDOINVERSE
.
154
5.6.1 SINGULAERWERTZERLEGUNG
.
154
5.6.2 PSEUDOINVERSE EINER M ATRIX
.
160
5.7
EXKURS.
166
5.7.1 MATHEMATISCHE MODELLIERUNG
. 167
5.7.2 NUMERISCHE APPROXIMATION DER DIFFERENTIALGLEICHUNG
. 174
TEIL II NUMERISCHE METHODEN DER ANALYSIS
6
NULLSTELLENBESTIMMUNG.
185
6.1 STABILITAET UND
KONDITION.
187
6.2
INTERVALLSCHACHTELUNG.
192
6.3 DAS NEWTON-VERFAHREN
.
194
6.3.1 VARIANTEN DES
NEWTON-VERFAHRENS.
201
6.3.2 GLOBALISIERUNGSMETHODEN
. 211
6.4
EXKURS.
214
6.4.1 EIN LINEARES
ANFANGSWERTPROBLEM.
216
6.4.2 EIN NICHTLINEARES ANFANGSWERTPROBLEM
.
220
6.5
KONVERGENZBEGRIFFE.
222
6.6 VERGLEICH DES NEWTON-VERFAHRENS MIT DESSEN
VARIANTEN. 226
6.7 NULLSTELLENSUCHE IM R *
.
233
6.7.1 NEWTON-VERFAHREN IM
W1. 238
6.7.2 GLOBALISIERUNG DES NEWTON-VERFAHRENS
.
244
6.8
EXKURS.
250
6.8.1 DAS VERFAHREN VON
BAIRSTOW.
254
6.8.2 DAS KOMPLEXE NEWTON-VERFAHREN
. 257
6.9
EXKURS.
262
6.9.1 SHADING - SCHNELLE BERECHNUNG VON NORMALVEKTOREN
.
263
6.9.2 NEWTON-VERFAHREN ZUR BERECHNUNG DER INVERSEN W URZEL
.
264
6.9.3 BESTIMMUNG DES STARTWERTS
.
266
7 NUMERISCHE ITERATIONSVERFAHREN FUER LINEARE
GLEICHUNGSSYSTEME.
275
7.1 KONSTRUKTION VON
FIXPUNKTVERFAHREN.
278
7.2 KONVERGENZKRITERIUM FUER JACOBI- UND GAUSS-SEIDEL-ITERATION
.
280
7.3 RELAXATIONSVERFAHREN: DAS SOR-VERFAHREN
.
285
7.4 PRAKTISCHE
ASPEKTE.
290
7.5 ABSTIEGS- UND GRADIENTENVERFAHREN
.
292
7.6
EXKURS.
300
7.7
EXKURS.
307
7.8 DAS
CG-VERFAHREN.
312
7.8.1 VORKONDITIONIERUNG
.
323
7.8.2 KRYLOW-TEILRAUM-VERFAHREN FUER ALLGEMEINE MATRIZEN
.
326
7.9
EXKURS.
328
7.9.1
MODELLIERUNG.
328
7.9.2 DISKRETISIERUNG
.
333
7.9.3 FINITE-DIFFERENZEN-APPROXIMATION
. 334
7.9.4 NUMERISCHE LOESUNG
.
339
7.9.5 FEHLERABSCHAETZUNG FUER DIE FINITE-DIFFERENZEN-METHODE
.
341
7.9.6 BEISPIELE
.
344
8 INTERPOLATION UND
APPROXIMATION.
351
8.1
POLYNOMINTERPOLATION.
353
8.1.1 LAGRANGESCHE DARSTELLUNG
.
355
8.1.2 NEWTONSCHE DARSTELLUNG
. 356
8.1.3 INTERPOLATION VON FUNKTIONEN UND FEHLERABSCHAETZUNGEN
.
360
8.1.4 HERMITE-INTERPOLATION
.
366
8.2 STUECKWEISE
INTERPOLATION.
366
8.3 NUMERISCHE DIFFERENTIATION
.
373
8.3.1 APPROXIMATION DER ERSTEN ABLEITUNG
. 374
8.3.2 APPROXIMATION DER ZWEITEN ABLEITUNG
.
375
8.3.3 STABILITAET DER NUMERISCHEN DIFFERENTIATION
.
376
8.4 RICHARDSON-EXTRAPOLATION ZUM LIMES
.
378
8.5 NUMERISCHE QUADRATUR
.
385
8.5.1 INTERPOLATORISCHE QUADRATUR
. 387
8.5.2 STUECKWEISE INTERPOLATORISCHE QUADRATURFORMELN
.
392
8.5.3 ROMBERG-QUADRATUR
.
395
8.5.4 INTEGRATION PERIODISCHER
FUNKTIONEN. 400
8.5.5 GAUSS-QUADRATUR
.
402
8.5.6 GAUSS-LEGENDRE-QUADRATUR
.
405
8.5.7 LEGENDRE-POLYNOME UND ZWEISTUFIGE ORTHOGONALISIERUNG
.
412
8.5.8 GAUSS-TSCHEBYSCHEFF-QUADRATUR
. 418
8.6
EXKURS.
424
8.7
BESTAPPROXIMATION.
427
8.7.1 GAUSS-APPROXIMATION - BESTE APPROXIMATION IN DER
L2-NORM . 428
8.7.2 TSCHEBYSCHEFF-APPROXIMATION
.
436
8.8 TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION
.
445
8.9 SCHNELLE
FOURIER-TRANSFORMATION.
454
8.10
EXKURS.
457
VERZEICHNIS DER
EXKURSE.
467
LITERATURVERZEICHNIS.
469
SACHVERZEICHNIS.
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