Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg: Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, komplexe Rechnung
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Wiesbaden
Springer Vieweg
2017
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Titel: Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg
Autor: Rapp, Heinz
Jahr: 2017
VII
Inhaltsverzeichnis
Vorwort .V
1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen .1
1.1 Zahlen.1
11.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden .2
1.2 Mengen.3
1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise.4
1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise.4
1.2.3 Mengendiagramme .4
1.2.4 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen).5
1.2.5 Mengenverknüpfung (Mengenoperationen) .5
1 3 Intervallschreibweisen .8
1.4 Symbole der Logik .9
2 Elementare Rechenoperationen .10
2.1 Grundrechenarten mit Termen .10
2.1.1 Addition und Subtraktion (Rechnen mit Klammertermen) .11
2.1.2 Klammern in Klammern.11
2.2 Multiplikation und Division .12
2.2.1 Multiplikation mit negativen Zahlen .12
2.2.2 Multiplikation mit Null (Nullprodukt) .12
2.2.3 Multiplikation mit Summentermen .13
2.2.4 Binomische Formeln .14
2.2.5 Quotienten aus positiven und negativen Zahlen .17
2.2 6 Rechnen mit Bruchtermen .19
3 Potenzen .29
3 1 Potenzbegriff .29
3.2 Potenzgesetze.29
3.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen .29
3.2 2 Multiplikation von Potenzen .30
3.2.3 Division von Potenzen .31
3.2.4 Potenzieren von Potenzen .32
3.3 Erweiterung des Potenzbegriffes auf a'. a° und Potenzen
mit negativen ganzen Hochzahlen .33
3.4 Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen) .34
3.5 Potenzen von Binomen .37
4 Wurzeln .40
4.1 Wurzelbegriff .40
4.1.1 Quadratwurzeln .40
4.1.2 Der allgemeine Wurzelbegriff.43
VIII Inhaltsverzeichnis
4.2 Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen .44
4.3 Rechnen mit Wurzel- und Potenztermen .46
5 Logarithmen .51
5.1 Logarithmenbegriff.51
5.2 Logarithmensysteme .52
5.2.1 Natürliche Logarithmen .52
5.2.2 Zehnerlogarithmen .53
5.3 Logarithmengesetze .54
6 Gleichungen .58
6.1 Äquivalenz von Aussageformen .58
6.2 Lösungsverfahren (Äquivalenzumformungen) .59
6.3 Einfache lineare Gleichungen .60
6.4 Bruchgleichungen .62
6.5 Gleichungen mit Formvariablen .66
6.6 Verhältnisgleichungen (Proportionen).71
6.7 Textliche Gleichungen .75
6.7.1 Allgemeine textliche Gleichungen .75
6.7.2 Mischungsaufgaben .76
6.7.3 Bewegungsaufgaben .79
6.7.4 Behälteraufgaben .82
6.7.5 Arbeitsaufgaben .84
6.8 Quadratische Gleichungen .87
6.8.1 Reinquadratische Gleichungen .88
6.8.2 Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied
(Defektquadratische Gleichungen) .90
6.8.3 Gemischtquadratische Gleichungen .90
6.8.4 Lösbarkeit quadratischer Gleichungen, Diskriminante .92
6.8.5 Biquadratische Gleichungen .93
6.9 Wurzelgleichungen .96
6.9.1 Wurzelgleichungen mit einer Variablen .96
6.9.2 Wurzelgleichungen mit zwei Variablen .99
6.10 Exponentialgleichungen.101
7 Ungleichungen .106
7.1 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen .106
7.2 Einfache lineare Ungleichungen .109
7.3 Bruchungleichungen .109
7.4 Lineares Optimieren .115
8 Systeme linearer Gleichungen .124
8.1 Graphisches Lösungsverfahren von Gleichungssystemen .124
8.2 Rechnerische Lösungsverfahren von Gleichungssystemen .126
8.2.1 Das Gleichsetzungsverfahren .126
8.2.2 Das Einsetzungsverfahren .127
Inhaltsverzeichnis IX
8.2.3 Das Additionsverfahren .130
8.2.4 Das Determinantenverfahren .132
8.2.5 Gleichungssysteme mit Bruchtermen.134
8.3 Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen .137
8.4 Textaufgaben mit zwei Variablen.144
8.4.1 Mischungsaufgaben .144
8 4.2 Bewegungsaufgaben .145
8.4.3 Behälteraufgaben .146
9 Funktionen .150
9.1 Funktionsbegriff .150
9.1.1 Darstellungsarten von Funktionen.152
9.2 Funktionsarten .153
9.3 Ganzrationale Funktionen 1. Grades .154
9.3 1 Die lineare Funktion ж i— mx .154
9.3.2 Die Funktion mit der Funktionsgleichung y = mx + b
(Flauptform der Geradengleichung .155
9 4 Quadratische Funktionen.157
9.4.1 Einfache quadratische Grundfunktionen .158
9.4.2 Die allgemeine quadratische Funktion .160
9.4.3 Die Scheitelform der quadratischen Funktion .161
9 4.4 Extremwerte .163
9.5 Poten/funktionen .166
9.6 VVurzelfunktionen .168
9 6.1 Quadratwurzelfunktion .168
9.6.2 Wurzelfunktionen höherer Ordnung .171
9.7 Exponentialfunktionen .173
9.7.1 Die allgemeine Exponentialfunktion .173
9.7.2 Die е-Funktion .175
9.8 Logarithmusfunktionen .181
9.8.1 Die allgemeine Logarithmusfunktion .181
9.8.2 Die natürliche Logarithmusfunktion .182
9.9 Koordinatensystem mit logarithmischer Teilung .184
9.10 Trigonometrische Funktionen als Funktionsgraphen .185
9.10.1 Die Schaubilder der Sinus-und Kosinusfunktion .187
9.10.2 Die Schaubilder der Tangens-und Kotangensfunktion .193
10 Analytische Geometrie .195
10.1 Länge und Steigung von Strecken .195
10.2 Teilpunkte von Strecken .197
10.2.1 Mittelpunkte von Strecken .197
10.2 2 Beliebiger Teilpunkt T einer Strecke .197
10.3 Geradengleichungen .198
10.3.1 Flauptform der Geradengleichung .198
'C.3.2 Punkt-Steigungs-Form .199
10 3 3 Zwei-Punkte-Form.200
X
Inhaltsverzeichnis
10 3.4 Achsenabschnittsform .200
10.3.5 Hesse-Form der Geradengleichung .202
10.4 Winkel zwischen Geraden .205
10.4.1 Winkel zwischen Gerade und Ñ…-Achse (Steigung und Steigungswinkel) . 205
10.4.2 Schnittwinkel zweier Geraden .206
10.5 Orthogonale Geraden .207
10.6 Kreisgleichungen .209
10.6.1 Mittelpunktsgleichung eines Kreises .209
10.6.2 Allgemeine Kreisgleichung .210
10.7 Kreis und Gerade .212
10.8 Parabeln und Hyperbeln .216
10.8.1 Brennpunkteigenschaften der Parabel .216
10.8.2 Brennpunkteigenschaften der Hyperbel .218
Trigonometrie
11 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck .219
11.1 Seitenverhältnisse als Winkelfunktionen.219
11.2 Definition der Winkelfunktionen .220
11.3 Längen-und Winkelberechnungen .220
11.3.1 Die Sinusfunktion .220
11.3.2 Die Kosinusfunktion . 222
11.3.3 Die Tangens-und Kotangensfunktion .225
11.3.4 Vermischte Aufgaben . 226
11.4 Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen . 232
11.5 Winkelfunktionen beliebiger Winkel . 234
11.6 Additionstheoreme (Summen- und Differenzgleichungen von Winkelfunktionen) 238
11.7 Trigonometrische Gleichungen (Goniometrische Gleichungen) . 242
12 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck .244
12 1 Sinussatz .244
12.2 Kosinussatz . 251
12.3 Flächenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks .259
Geometrie
13 Ähnlichkeit .261
13.1 Strahlensätze .261
13.2 Streckenteilung und Mittelwerte .268
13.3 Stetige Teilung (Goldener Schnitt) .271
14 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck .
14.1 Satz des Pythagoras.
14.2 Kathetensatz (Satz des Euklid) und Höhensatz
275
275
288
Inhaltsverzeichnis XI
15 Flächenberechnung . 293
15 1 Geradlinig begrenzte Flächen. 293
15.2 Kreisförmig begrenzte Flächen . 296
16 Volumenberechnung .304
16 1 Prismatische Körper .304
16.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper .310
16.2.1 Pyramide und Pyramidenstumpf .310
16.2.2 Kegel und Kegelstumpf .311
16.3 Kugelförmige Körper.315
16.3.1 Vollkugel .315
16.3.2 Kugelabschnitt (Kugelsegment) .318
16.3.3 Kugelschicht.319
16.3.4 Kugelausschnitt (Kugelsektor).322
16.4 Schiefe Körper.327
16.4.1 Satz des Cavalieri .327
16.4.2 Simpson'sche Regel .328
16.5 Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern .330
Differentialrechnung
17 Grenzwerte .333
17.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen .333
17.2 Grenzwerte von Funktionen .334
17.2.1 Grenzwerte fur x » x. .334
17.2.2 Grenzwerte für x » - X und x • / . 336
17.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte . 338
18 Stetigkeit von Funktionen . 339
19 Differentiation elementarer Funktionen (Steigungsberechnung
bei Funktionsgraphen) .341
19.1 Differenzenquotient und Differentialquotient .341
19.2 Ableitung von Potenzfunktionen .342
19.3 Allgemeine Ableitungsregeln .343
19.4 Ableitung elementarer Funktionen (Ãbersicht) .346
19.5 Höhere Ableitungen .347
19.6 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen .350
19.6.1 Polynomdivision .350
19.6.2 Horner-Schema .351
19.7 Das Newton'sche Näherungsverfahren .354
19.8 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen .356
19.8.1 Kurvendiskussion.356
19.8.2 Linearisierung einer Funktion.363
19.8.3 Funktionssynthese .364
19.8.4 Extremwertaufgaben .368
Xli Inhaltsverzeichnis
19.9 Gebrochenrationale Funktionen . 375
19.10 Trigonometrische Funktionen . 385
19.10.1 Ableitungen . 385
19.10.2 Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen . 386
19.10.3 Funktionssynthese trigonometrischer Funktionen. 391
19.11 Logarithmus-und Exponentialfunktionen . 394
19.11.1 Ableitungen . 394
19.11.2 Funktionsuntersuchung von Exponentialfunktionen. 395
19.11.3 Funktionssynthese von Exponentialfunktionen . 398
Integralrechnung
20 Das Integral .400
20 1 Die Flächeninhaltsfunktion.400
20.2 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral.401
20.3 Grundintegrale elementarer Funktionen .403
20.4 Das bestimmte Integral als Fläche .403
20.5 Die Fläche als Grenzwert .404
20.6 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung .406
20.6.1 Flächen zwischen Funktionsgraph und х-Achse .406
20.6.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen .409
20.7 Das bestimmte Integral als Volumen (Volumen von Rotationskörpern).417
20.7.1 Rotationssymmetrie zur Ñ…-Achse.417
20.7.2 Rotationssymmetrie zur y-Achse.418
Vektorrechnung - Vektoralgebra
21 Vektoren (im Anschauungsraum IR3) .419
21.1 Definition eines Vektors .419
21.2 Ortsvektoren .420
21.3 Betrag eines Vektors .421
21.4 Vektoren im Raum .421
214 1 Vektor-Addition.421
21.4.2 Vektor-Subtraktion .422
21.4.3 Anwendungsbeispiele .422
21.4.4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation).423
21.4.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren .424
22 Produkte von Vektoren . 430
22.1 Das Skalarprodukt . 430
22.1.1 Winkel zwischen Vektoren . 430
22.1.2 Definition des Skalarproduktes. 431
22.1.3 Anwendungen des Skalarproduktes. 432
22.2 Das Vektorprodukt . 434
22 2.1 Definition des Vektorproduktes . 434
22.2.2 Anwendungen des Vektorproduktes . 436
Inhaltsverzeichnis XIII
22.3 Das Spatprodukt. 439
22.3.1 Definition des Spatproduktes . 439
22.3.2 Anwendungen des Spatproduktes . 440
Analytische Geometrie auf Vektoralbasis
23 Geraden im Raum .443
23.1 Vektorielle Geradengleichungen in Parameterform .443
23.1.1 Punkt-Richtungs-Gleichung .443
23.1.2 Zwei-Punkte-Gleichung .444
23.2 Darstellung von Geraden .445
23.2.1 Räumliche Darstellung im Koordinatensystem .445
23.2.2 Projektion einer Geraden auf die Koordinatenebenen .446
23.2.3 Spurpunkte von Geraden .447
23.3 Spezielle Geraden .449
23.4 Schnittpunkt zweier Geraden.451
24 Ebenen, vektorielle Darstellungen . 455
24.1 Parameterdarstellung einer Ebene . 455
24.1.1 Punkt-Richtungs-Gleichung . 455
24.1.2 Drei-Punkte-Gleichung . 456
24.2 Koordinatengleichung der Ebene . 457
24.3 Achsenabschnittsgleichung . 458
24.4 Zeichnerische Darstellung von Ebenen . 458
24.4.1 Spurgeraden von Ebenen . 458
24.4.2 Zeichnen einer Ebene . 460
24.5 Normalenformen der Ebenengleichung . 462
24.5.1 Punkt-Normalengleichung der Ebene . 462
24.5.2 Hesse'sche Normalengleichung der Ebene . 464
24.6 Umrechnung von Ebenengleichungen . 465
25 Anwendungen .469
25.1 Schnittwinkel .469
25.1.1 Schnittwinkel von Gerade und Ebene .469
25.1.2 Schnittwinkel zweier Ebenen .470
25.1.3 Schnittwinkel zweier Geraden .470
25.2 Abstandsberechnungen .472
25.2.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene .472
25.2.2 Abstand einer Ebene vom Ursprung .473
25.2.3 Abstand paralleler Ebenen .473
25.2.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden .474
25.2.5 Abstand windschiefer Geraden .475
25.3 Inzidenz von Geraden und Ebenen .479
25.3.1 Schnittgerade zweier Ebenen .479
25.3.2 Schnittpunkt von Geraden und Ebenen .481
25.3.3 Parallelität und Inzidenz von Ebenen .483
25.3.4 Parallelität und Inzidenz von Geraden . 484
XIV Inhaltsverzeichnis
Komplexe Zahlen und Funktionen
26 Komplexe Zahlen . 485
26.1 Imaginäre Zahlen . 485
26.2 Komplexe Zahlen . 487
26.3 Gauß'sche /ahlenebene . 488
27 Darstellungsformen komplexer Zahlen.489
27.1 Komplexe Zahlen in kartesischer Form
(Komponentenform oder algebraischer Form) .489
27.2 Komplexe Zahlen in Polarform .491
27.2.1 Trigonometrische Form .491
27.2.2 Komplexe Zahlen in Exponentialform.492
28 Komplexe Arithmetik .493
28.1 Rechenoperationen in der Komponentenform .493
28.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen.493
28.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen .494
28.2 Rechenoperationen in der Polarform .495
28.2.1 Multiplikation in der trigonometrischen Form .495
28.2.2 Division in der trigonometrischen Form .496
28.2.3 Multiplikation in der Exponentialform.497
28.2.4 Division in der Exponentialform .497
28.2.5 Potenzen und Wurzeln . 498
28.2.6 Spezielle Punktmengen in der komplexen Ebene .501
28.2.7 Logarithmieren in der Exponentialform . 503
29 Anwendungen der komplexen Rechnung . 505
29.1 Komplexe Funktionen . 505
29.2 Komplexe Darstellung von Schwingungen . 506
29.3 Komplexe Widerstände. 509
29.4 Ortskurven . 511
29.5 Inversion einer Ortskurve. 513
Ergebnisse . 516
Sachwortverzeichnis . 552 |
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