Modèles et méthodes stochastiques: une introduction avec applications
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Berlin, Heidelberg
Springer
2014
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TABLE DES MATIERES
PARTIE I MODELES STOCHASTIQUES
1 CHAINES DE MARKOV DISCRETES 3
1.1 INTRODUCTION 3
1.2 CHAINES DE MARKOV DISCRETES 4
1.2.1 SEMIGROUPES DE TRANSITION 6
1.2.2 PROCESSUS HISTORIQUE 9
1.2.3 INTERPRETATION MATRICIELLE 10
1.3 QUELQUES EXEMPLE 15
1.3.1 FILES D'ATTENTE 15
1.3.2 MODELE D'URNES 15
1.3.3 MARCHE ALEATOIRE SUR Z 16
1.3.4 MARCHE ALEATOIRE SUR Z
D
17
1.3.5 MARCHE ALEATOIRE ARRETEE 18
1.3.6 PROCESSUS DE BRANCHEMENTS 19
1.3.7 PROCESSUS DE SURVIE 20
1.3.8 MODELES D'EPIDEMIOLOGIE 21
2 CHAINES DE MARKOV ABSTRAITES 23
2.1 DESCRIPTION DES MODELES 23
2.1.1 SEMIGROUPE DES TRANSITIONS 24
2.1.2 EQUATIONS DE CHAPMAII-KOLMOGOROV 26
2.1.3 PROCESSUS HISTORIQUE 27
2.2 QUELQUES ILLUSTRATIONS 28
2.2.1 PROCESSUS DE POISSON 28
2.2.2 CHAINES LINEAIRES ET GAUSSIEIMES 29
2.2.3 EVOLUTIONS DANS DES MILIEUX ABSORBANTS 31
2.2.4 DYNAMIQUES DE POPULATION AVEC BRANCHEMENTS 34
2.2.5 ALGORITHMES DE ROBBINS-MONRO 45
HTTP://D-NB.INFO/1047500957
XVIII TABLE DES MATIERES
3 CHAINES DE MARKOV NON LINEAIRES 51
3.1 INTRODUCTION 51
3.2 DESCRIPTION DES MODELES 53
3.3 INTERPRETATIONS PARTICULAIRES EN CHAMP MOYEN 53
3.4 CHAMPS MOYENS DE TYPE GAUSSIEN 56
3.5 MODELES SIMPLIFIES DE GAZ DE MCKEAN 58
3.6 FLOTS DE MESURES DE FEYNMAN-KAC 59
3.6.1 DESCRIPTION DES MODELES 59
3.6.2 CHAINES DE MARKOV NON LINEAIRES 61
3.6.3 CHAMPS MOYENS DE TYPE EVOLUTIONNAIRE 63
4 CHAINES DE MARKOV EN AUTO-INTERACTION 67
4.1 MODELES DE RENFORCEMENT 67
4.2 LES PIEGES DU RENFORCEMENT 70
4.3 LES LOIS D'EVOLUTION 72
4.4 LES LIMITATIONS DE VITESSES 74
4.4.1 LES DEUX CAS EXTREMES 74
4.4.2 CONVERGENCE A L'EQUILIBRE 75
4.4.3 BORNE SUPERIEURE 75
4.4.4 BORNE INFERIEURE 76
4.5 UNE LOI DES GRANDS NOMBRES RALENTIE 77
4.6 LES TROIS UNIQUES FORMES DE RALENTISSEMENT 79
4.6.1 INTRODUCTION 79
4.6.2 LES VARIANCES D'ERREURS 80
4.6.3 ESTIMATIONS DES ERREURS LOCALES 82
4.7 MECANISMES DE RENFORCEMENTS GENETIQUES 86
4.7.1 CHAINES EN AUTO INTERACTION EVOLUTIORMAIRES 86
4.7.2 UN MODELE DE MUTATION ET SELECTION RENFORCEES 87
4.7.3 LA MESURE D'EQUILIBRE 89
5 DU TEMPS DISCRET AU TEMPS CONTINU 91
5.1 L'EQUATION DE LA CHALEUR 91
5.1.1 LES FLUCTUATIONS BROWNIENNES 91
5.1.2 LA LOI DES GRANDS NOMBRES 95
5.1.3 MARCHES ALEATOIRES 97
5.1.4 L'EQUATION DE LA CHALEUR 98
5.1.5 UNE FORMULATION FAIBLE 99
5.2 PROCESSUS DE DIFFUSION 101
5.2.1 SCHEMAS DE DISCRETISATION 101
5.2.2 UNE FORMULE DE TAYLOR STOCHASTIQUE 102
5.2.3 EQUATIONS DE KOLMOGOROV ET FOKKER-PLANCK 104
5.3 EXEMPLES DE DIFFUSIONS 107
5.3.1 PROCESSUS D'ORNSTEIN-ULHENBECK 107
5.3.2 MOUVEMENT BROWNIEN GEOMETRIQUE 107
5.4 PROCESSUS A SAUTS MARQUES 113
TABLE DES MATIERES XIX
5.4.1 UNE CHAINE DE MARKOV A HORLOGE GEOMETRIQUE 113
5.4.2 DECOMPOSITION DE DOOB-MEYER 115
5.4.3 UNE FORMULE DE TAYLOR STOCHASTIQUE 117
5.4.4 ANALYSE DES TEMPS DE SAUTS 119
5.4.5 PROCESSUS A TEMPS CONTINU 121
5.4.6 EQUATION INTEGRO-DIFFERENTIELLE DE KOLOMOGOROV 122
5.5 EXEMPLES DE PROCESSUS A SAUTS 122
5.5.1 SYSTEME DE REACTIONS CHIMIQUES 123
5.5.2 MODELES COMPARTIMENTAUX EN EPIDEMIOLOGIE 125
5.5.3 SYSTEME DE COMMUNICATION A UN SERVEUR 126
5.5.4 PROCESSUS DE POISSON 126
5.5.5 PROCESSUS DE NAISSANCE ET MORT 127
5.5.6 PROCESSUS SPATIALEMENT NON HOMOGENES 127
5.5.7 PROCESSUS D'EXTINCTION 128
5.5.8 PROCESSUS DE NAISSANCES DE YULE-FURRY 129
5.6 PROCESSUS DE DIFFUSION ET A SAUTS MARQUES 130
5.6.1 DESCRIPTION DES MODELES 130
5.6.2 TRANSITIONS LOCALES 132
5.6.3 DESCRIPTION DES GENERATEURS INFINITESIMAUX 133
5.7 PROCESSUS NON HOMOGENES 135
5.7.1 DESCRIPTION DU MODELE 135
5.7.2 PROCESSUS NON LINEAIRES 136
5.7.3 INTERPRETATIONS PARTICULAIRES EN CHAMP MOYEN 141
PARTIE II METHODES STOCHASTIQUES
6 METHODES DE MONTE CARLO PAR CHAINES DE MARKOV (MCMC) 147
6.1 ELEMENTS D'ANALYSE ASYMPTOTIQUE 147
6.1.1 LA LOI DES GRANDS NOMBRES 147
6.1.2 LE THEOREME ERGODIQUE 150
6.1.3 EXEMPLE, LES FONCTIONS ITEREES STOCHASTIQUES 152
6.1.4 QUELQUES EXERCICES 154
6.2 MESURES INVARIANTES ET ALGORITHMES DE SIMULATION 159
6.2.1 PLUS COURT CHEMIN 160
6.2.2 MODELE D'ISING 162
6.3 LES TRANSITIONS DE METROPOLIS-HASTINGS 164
6.3.1 INTRODUCTION 164
6.3.2 ALGORITHME DE SIMULATION 166
6.4 SIMULATION DE MESURES DE BOLTZMANN-GIBBS 167
6.4.1 INTRODUCTION 167
6.4.2 ALGORITHME DE METROPOLIS-HASTINGS INDEPENDANT 168
6.4.3 MODELES A VARIABLES LATENTES 168
6.4.4 L'ALGORITHME DE RECUIT SIMULE 170
6.5 L'ECHANTILLONNEUR DE GIBBS 172
XX TABLE DES MATIERES
6.5.1 INTRODUCTION 172
6.5.2 ALGORITHME DE SIMULATION 174
6.5.3 DESINTEGRATION DE MESURES RESTREINTES 177
6.5.4 MESURES DE VOLUME SUR DES ESPACES PRODUITS 181
6.5.5 MESURES DE COMPTAGE SUR DES ESPACES PRODUITS 187
7 METHODES D'EXPLORATION LOCALE ET SCHEMAS DE TEMPERATURE . 193
7.1 EXPLOSIONS COMBINATOIRES 193
7.2 LA NOTION DE VOISINAGE 195
7.3 MODELES D'AIMANTATION FERROMAGNETIQUE 198
7.3.1 METRIQUES ET SYSTEMES DE VOISINAGES 198
7.3.2 EXPLORATIONS ALEATOIRES 198
7.3.3 COMPORTEMENT EN TEMPS LONG 199
7.3.4 FONCTIONS D'ENERGIE 200
7.4 EXPLORATIONS ALEATOIRES LOCALES 202
7.4.1 SYSTEMES DE VOISINAGES 202
7.4.2 MARCHES ALEATOIRES 203
7.4.3 MESURES REVERSIBLES 204
7.4.4 FONCTION ENERGIE 205
7.5 ESPACES DE PERMUTATIONS 207
7.5.1 SYSTEMES DE VOISINAGES 207
7.5.2 EXPLORATIONS LOCALES 208
7.5.3 REVERSIBILITE DE L'EXPLORATION 210
7.5.4 QUELQUES VARIANTES 210
7.5.5 FONCTIONS ENERGIE 211
7.6 L'ALGORITHME DU RECUIT SIMULE 212
7.6.1 DESCRIPTION DE LA CHAINE DE MARKOV 213
7.6.2 RECUIT HOMOGENE 214
7.6.3 CONCENTRATION 215
7.6.4 REGLAGES DE TEMPERATURE 217
8 MESURES DE FEYNMAN-KAC ET METHODES PARTICULAIRES 219
8.1 MESURES DE FEYNMAN-KAC 219
8.1.1 INTRODUCTION 219
8.1.2 FORMULES INTEGRALES ET VRAISEMBLANCES DE CHEMINS 222
8.1.3 REPRESENTATIONS EQUIVALENTES, MESURES CORRIGEES 225
8.1.4 UNE FORMULATION MARKOVIENNE A REBOURS 227
8.2 MODELES MATRICIELS 229
8.2.1 PRODUITS DE MATRICES POSITIVES 229
8.2.2 MESURES DE FEYNMAN-KAC 230
8.2.3 RECHERCHE DE TRAJECTOIRES OPTIMALES 231
8.3 METHODES DE SIMULATION PARTICULAIRES 233
8.3.1 DYNAMIQUES DE POPULATION GENETIQUES 233
8.3.2 MODELES D'ARBRES GENEALOGIQUES 236
8.3.3 ESTIMATION DES FORMULES A REBOURS 237
TABLE DES MATIERES XXI
8.3.4 ESTIMATION DES FONCTIONS DE PARTITION 238
8.4 VARIANTES ET PROPRIETES 240
8.4.1 LES MODELES D'ILOTS PARTICNLAIRES 240
8.4.2 SIMULATION DE LOIS MISES A JOURS 243
8.4.3 MESURES DE SENSIBILITE 244
8.5 FORMULES DE FEYNMAN-KAC NON COMMUTATIVES 248
8.5.1 MESURES VECTORIELLES 248
8.5.2 INTERPRETATIONS PARTICULAIRES 252
8.5.3 PROCESSUS STOCHASTIQUES TANGENTS 253
8.5.4 GRADIENT DE SEMIGROUPES 254
8.6 TROIS ILLUSTRATIONS 256
8.6.1 CHAINES DE MARKOV RESTREINTES 256
8.6.2 POLYMERES DIRIGES 257
8.6.3 LE MODELE D'EDWARDS 259
9 METHODES MCMC EN INTERACTION 263
9.1 METHODES ET MODELES MCMC 263
9.1.1 LE PRINCIPE DES LOIS INVARIANTES 263
9.1.2 LES TRANSITIONS DE TYPE D'ACCEPTATION-REJET 264
9.1.3 LES TRANSITIONS DE METROPOLIS-HASTINGS 265
9.1.4 LES TRANSITIONS DE GIBBS 266
9.2 ALGORITHMES EN INTERACTION 267
9.2.1 MODELES DE FEYNMAN-KAC 267
9.2.2 INTERPRETATIONS PARTICULAIRES ' 269
9.3 MESURES DE BOLTZMANN-GIBBS 271
9.3.1 QUEUES DE DISTRIBUTIONS 271
9.3.2 FORMULES DE FEYNMAN-KAC-JARZYNSKI 274
9.4 INTEGRATION DE MODELES DE FEYNMAN-KAC 278
9.4.1 FAMILLES PARAMETRIQUES DE MESURES 278
9.4.2 METHODES D'APPROXIMATION 279
9.4.3 INTERPRETATIONS PARTICULAIRES 281
PARTIE III QUELQUES DOMAINES D'APPLICATIONS
10 MODELES DE FRACTAL DANS LA NATURE 289
10.1 INTRODUCTION 289
10.2 REPARTITIONS UNIFORMES 291
10.3 LE DISCONTINUUM DE CANTOR 292
10.3.1 CONVERGENCE A L'EQUILIBRE 295
10.3.2 DESCRIPTION DE LA MARCHE ALEATOIRE 298
10.3.3 LA DISTRIBUTION INVARIANTE 299
10.4 LES CONTRACTIONS AFFINES DU PLAN 300
10.4.1 INTRODUCTION 300
10.4.2 CONTRACTIONS ENSEMBLISTES 302
XXII TABLE DES MATIERES
10.4.3 FORMULES DE CARACTERISATIONS 303
10.5 QUELQUES EXEMPLES 305
10.5.1 BALADES UNIFORMES SUR UN CARRE 305
10.5.2 LE CARRE DE SIERPINSKI 307
10.5.3 UNE MARCHE ALEATOIRE VERS LE CARRE DE SIERPINSKI 310
10.5.4 CONVERGENCE A L'EQUILIBRE 311
10.6 FRACTALES SYMETRIQUES 313
10.6.1 LES SYMETRIES D'UN POLYGONE 313
10.6.2 MARCHES ALEATOIRES 315
10.6.3 VEGETATIONS FRACTALES 317
11 OPTIMISATION ET COMBINATOIRE ENUMERATIVE 325
11.1 DESCRIPTION DES MODELES 325
11.2 INTERPRETATIONS DE FEYNMAN-KAC-JARZYNSKI 326
11.3 ALGORITHMES DE SIMULATION PARTICULAIRES 328
11.4 ANALYSE DES PERFORMANCES 332
11.5 QUELQUES VARIANTES 334
11.6 LE PROBLEME DU SAC A DOS 335
11.6.1 DESCRIPTION DU PROBLEME COMBINATOIRE 335
11.6.2 QUELQUES STRATEGIES D'EXPLORATION LOCALE 337
11.6.3 QUELQUES VARIANTES 339
11.7 ORGANISATION OPTIMALE MULTI-CRITERES 341
11.8 LE PROBLEME D'AFFECTATION QUADRATIQUE 342
11.9 DECOUPAGE MAXIMAL DE GRAPHES 344
LL.LOTRAVAUX PRATIQUES 345
12 TRAITEMENT DU SIGNAL 347
12.1 FILTRE DE KALMAN-BUCY 347
12.1.1 INTRODUCTION 347
12.1.2 DESCRIPTION DU MODELE 348
12.1.3 LES EQUATIONS DU FILTRAGE 349
12.1.4 LE FILTRE DE KALMAN-BUCY 350
12.1.5 UNE VERSION MARKOVIENNE A REBOURS 352
12.2 UNE INTRODUCTION AU FILTRAGE NON LINEAIRE 355
12.2.1 FORMULES INTEGRALES DE FEYNMAN-KAC 355
12.2.2 LES EQUATIONS DU FILTRAGE 358
12.2.3 LES FILTRES PARTICULAIRES 361
12.2.4 FILTRAGE ET LISSAGE EN TERMES D'ARBRES GENEALOGIQUES . 364
12.2.5 MODELES DE FILTRAGE APPROCHES 368
12.3 FILTRES DE KALMAN-BUCY EN INTERACTION 371
12.3.1 DESCRIPTION DES MODELES 371
12.3.2 MESURES GAUSSIENNES CONDITIONNELLES 373
12.3.3 MESURES DE FEYNMAN-KAC CONDITIONNELLES 373
12.3.4 PREDICTEURS OPTIMAUX CONDITIONNELS 375
12.3.5 CALCUL DES VRAISEMBLANCES CONDITIONNELLES 377
TABLE DES MATIERES XXIII
12.3.6 FILTRES ET PREDICTEURS OPTIMAUX INTEGRES 378
12.3.7 SERIE DE FILTRES OPTIMAUX EN INTERACTION 382
12.4 FILTRES DE KALMAN D'ENSEMBLE 383
12.4.1 UNE DESCRIPTION CHAMP MOYEN DU FILTRE DE KALMAN 383
12.4.2 UN FILTRE DE KALMAN PARTICULAIRE 386
13 ANALYSE BAYESIENNE 387
13.1 INTRODUCTION 387
13.2 CHAINES DE MARKOV CACHEES 388
13.2.1 DESCRIPTIONS BAYESIENNES 391
13.2.2 ALGORITHMES DE MONTE CARLO PAR CHAINES DE MARKOV . . . 392
13.2.3 UN ALGORITHME DE MONTE CARLO SEQUENTIEL 392
13.2.4 ALGORITHMES DE MONTE CARLO SEQUENTIELS ET PARTICULAIRES 393
13.3 CALCUL BAYESIEN APPROCHE 394
13.3.1 MODELES STOCHASTIQUES APPROCHES 394
13.3.2 REPRESENTATION DES LOIS CONDITIONNELLES 395
13.4 ALGORITHME DE GRADIENT STOCHASTIQUE 397
13.4.1 GRADIENT DE FONCTIONS DE VRAISEMBLANCE 397
13.4.2 ALGORITHMES DE GRADIENT STOCHASTIQUES 399
13.5 ALGORITHME ESPERANCE-MAXIINISATION 400
13.5.1 FORMULES D'ENTROPIE RELATIVE 400
13.5.2 ALGORITHME EM PARTICULAIRE 402
13.6 ILLUSTRATION DES ALGORITHMES DE GRADIENT ET EM 404
13.6.1 DESCRIPTION DU MODELE STOCHASTIQUE 404
13.6.2 CALCUL DES LOG-VRAISEMBLANCES 405
13.6.3 FORMULES DE DERIVATION 406
13.6.4 ALGORITHME DE GRADIENT STOCHASTIQUE 407
13.6.5 ALGORITHME ESPERANCE-MAXIMISATION 408
14 MODELES DE POURSUITE ET LOCALISATION 409
14.1 POURSUITE DE CIBLE ET SIGNAUX RADAR 409
14.2 LOCALISATION ET SIGNAUX RADAR ALTIMETRIQUE 410
14.3 LOCALISATION DE CIBLES AVEC OBSTACLES 413
14.4 LE MODELE CINETIQUE D'ACKERMANN 414
14.5 NAVIGATION ET LOCALISATION DE ROBOTS 416
14.6 POURSUITE DE TELEPHONES MOBILES EN ZONE URBAINE 418
14.7 ESTIMATION DE VOLATILITE BOURSIERE 420
14.8 TRAVAUX PRATIQUES 422
15 ANALYSE DE RISQUES 425
15.1 INTRODUCTION 425
15.2 ECHANTILLONNAGE PREFERENTIEL 427
15.2.1 INTRODUCTION 427
15.2.2 MODELES MARKOVIENS 430
15.2.3 PRINCIPES DE GRANDES DEVIATIONS 436
XXIV TABLE DES MATIERES
15.2.4 MODELES DE FEYNMAN-KAC 438
15.2.5 ALGORITHMES DE SIMULATION PARTICULAIRES 440
15.3 MODELES D'EXCURSIONS PAR NIVEAUX 443
15.3.1 INTRODUCTION 443
15.3.2 MODELES D'EXCURSIONS MULTI-NIVEAUX 444
15.3.3 MODELES DE FEYNMAN-KAC 446
15.3.4 ALGORITHMES DE SIMULATION PARTICULAIRES 447
15.4 MODELES DE PROPAGATION D'INCERTITUDES 448
15.4.1 INTRODUCTION 448
15.4.2 MODELES DE FEYNMAN-KAC 450
15.4.3 ALGORITHMES DE SIMULATION PARTICULAIRES 452
SOLUTIONS 455
LITTERATURE 479 |
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