(Hoch)Schulmathematik: ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni
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Wiesbaden
Springer Spektrum
[2017]
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INHALT
I FORMALES FUNDAMENT 1
1 E IN W EN IG L O G IK
.
3
1.1 A
USSAGENLOGIK.
3
1.1.1
AUSSAGEN.
3
1.1.2 J U N K TO R E N
.
5
1.1.3 *NICHT*
.
6
1.1.4 *UND*
.
7
1.1.5 * (ENTWEDER) ODER*
.
7
1.1.6 *WENN ., DANN . *
.
7
1.1.7 *. GENAU DANN, WENN . *
. 8
1.1.8 AUSSAGENLOGISCHE F O RM E LN
. 9
1.1.9 AUSSAGENLOGISCHE
AEQUIVALENZ. 10
1.2 AUSBLICK AUF DIE
PRAEDIKATENLOGIK.
14
1.2.1 PRAEDIKATE UND INDIVIDUEN
. 14
1.2.2 DER A LLQ U A N TO
R.
15
1.2.3 DER E XISTEN ZQ U AN TO
R.
16
2 B E W E IS M E T H O D E N
.19
2.1 EXKURS: GRUNDWISSEN UEBER Z A H LE N
. 19
2.2 DIREKTER B E W E IS
.
21
2.3 INDIREKTER B E W E IS
.
25
2.3.1 K O N TRA P O SITIO N
.
25
2.3.2 WIDERSPRUCHSBEWEIS
.27
2.4 BEWEIS DURCH VOLLSTAENDIGE INDUKTION
.
30
3 M EN G EN UND A B B IL D U N G E N
.37
3.1 M
ENGEN.37
3.1.1 DER M
ENGENBEGRIFF.37
3.1.2 TEILMENGEN UND MENGENOPERATIONEN
.
39
3.2 A
BBILDUNGEN.
44
3.2.1 DER A
BBILDUNGSBEGRIFF.45
3.2.2 BILD- UND U RBILDM
ENGE.46
3.2.3 IN-, SUR- UND B IJEKTIVITAET
.
49
3.2.4 VERKETTUNG UND UMKEHRABBILDUNG
.
50
3.2.5 MAECHTIGKEITSVERGLEICHE UNENDLICHER MENGEN
.55
3.2.6 AUSBLICK: MAECHTIG UND UEBERM AECHTIG
.
63
II ANFAENGE DER ANALYSIS 67
4 G REN ZW ERTE VON FOLGEN UND R E I H E N
.
69
4.1 F O L G E N
.
69
4.1.1 DER GRENZ WERT BE G
RIFF.
69
4.1.2 DIE G RENZW
ERTSAETZE.
77
4.1.3 EXKURS: DIE VOLLSTAENDIGKEIT VON R
.
80
4.1.4 AUSBLICK:
CAUCHYFOLGEN.
82
4.1.5 MONOTONE F O LG E N
.
83
4.1.6 REKURSIVE F O LG E N
.
85
4.2 R E IH E N
.
91
4.2.1 REIHEN ALS SPEZIELLE F O LG E N
.91
4.2.2 DIE GEOMETRISCHE R E IH E
.94
4.2.3 DIE EULERSEHE ZAHL
.
99
4.2.4 KONVERGENZKRITERIEN FUER R E IH E N
.102
4.2.5 AUSBLICK: P
OTENZREIHEN.
106
4.2.6 AUSBLICK: E-FUNKTION UND NATUERLICHER LOGARITHMUS
.
109
5 G RU N D W ISSEN D IFFE R E N Z IA LR E C H N U N G
.
113
5.1 DIE A B LE ITU N G
.
113
5.1.1 DIE STEIGUNG EINER K U RV
E. 113
5.1.2 DER GRENZWERT DER SEKANTENSTEIGUNGEN
.
115
5.1.3 DIE
TANGENTENGLEICHUNG.
119
5.1.4 LINEARE APPROXIM
ATION.
121
5.1.5 DIFFERENZIERBARKEIT
.
122
5.2
ABLEITUNGSREGELN.
128
5.2.1 FAKTOR- UND SUM M
ENREGEL.
128
5.2.2 DIE P
OTENZREGEL.129
5.2.3 DIE ABLEITUNG VON SINUS UND C OSINUS
.
130
5.2.4 DIE P RO D U K TRE G E L
.
133
5.2.5 DIE K ETTEN REG
EL.135
5.2.6 ABLEITUNG DER UMKEHRFUNKTION
.139
5.2.7 DIE QUOTIENTENREGEL
.
142
5.2.8 VERMISCHTE UE B U N G E N
.
143
5.3 AUSBLICK: ABLEITEN VON
POTENZREIHEN.144
5.4 AUSBLICK: T A Y LO RRE IH E N
.145
6 G RU N D W ISSEN I N TE G R A LR E C H N U N G
.151
6.1 STAM M
FUNKTIONEN.151
6.2 DAS BESTIMMTE IN TE G RA
L.155
6.2.1 DIE S TREIFEN M ETH O D E
.
155
6.2.2 DAS
DARBOUX-INTEGRAL.
160
6.2.3 DAS RIEMANN-INTEGRAL
.
164
6.2.4 INTEGRAL UND F LAE C H E
.
169
6.3 DER HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
.
171
6.4 UNEIGENTLICHE INTEGRALE
.
.
176
I
NHALT
IX
III RECHENFERTIGKEITEN 179
7 L OESEN VON (U N ) GLEICH UN GEN
. 181
7.1
POLYNOM(UN)GLEICHUNGEN.
181
7.1.1 LINEARE UND QUADRATISCHE G LEICH U N G EN
.
181
7.1.2 GLEICHUNGEN HOEHEREN G RA D E
S.182
7.1.3
POLYNOMUNGLEICHUNGEN.
185
7.2 BRUCH (UN)GLEICHUNGEN
.
189
7.2.1
BRUCHGLEICHUNGEN.
189
7.2.2
BRUCHUNGLEICHUNGEN.
190
7.3 WURZEL
(UN)GLEICHUNGEN.
194
7.3.1 W
URZELGLEICHUNGEN.
194
7.3.2 W
URZELUNGLEICHUNGEN.
195
7.4 BETRAGS
(UN)GLEICHUNGEN.
196
7.4.1 BETRAGSGLEICHUNGEN UND BETRAGSFUNKTIONEN
.
196
7.4.2
BETRAGSUNGLEICHUNGEN.
200
7.5
EXPONENTIAL(UN)GLEICHUNGEN.201
7.5.1
EXPONENTIALGLEICHUNGEN.201
7.5.2
EXPONENTIALUNGLEICHUNGEN.204
8 D IE K U N ST D ES I N TE G R IE R E N S
.
206
8.1 P RO D U K TIN TEG RA TIO N
.
206
8.2 INTEGRATION DURCH S U B STITU TIO N
.211
8.2.1 DIE S UBSTITU TIO N SREG
EL.211
8.2.2 TRIGONOMETRISCHE S U B STITUTION
.
214
8.2.3 HYPERBOLISCHE
SUBSTITUTION.222
8.3 INTEGRATION DURCH PARTIALBRUCHZERLEGUNG
.
225
8.4 VERMISCHTE UEBUNGEN
.
229
IV ABSTRAKTE ALGEBRA 231
9 K O M P LEX E Z A H LE N
.233
9.1 UEBERBLICK UEBER DIE BEKANNTEN ZAHLBEREICHE
.
233
9.2 EINFUEHRUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN C
.
234
9.2.1 KONSTRUKTION VON C
.234
9.2.2 RECHNEN MIT KOMPLEXEN Z A H LE N
.
238
9.2.3 KOMPLEXE KONJUGATION UND B E T R A G
.
241
9.3 DER KOERPER DER KOMPLEXEN Z AH LEN
.246
9.3.1 WAS IST EIN K
OERPER?.246
9.3.2 UNMOEGLICHKEIT DER ANORDNUNG VON C
.
251
9.3.3 AUSBLICK: DER Q UATERNIONENSCHIEFKOERPER
.
252
9.4 POLARFORM KOMPLEXER Z A H LE N
.254
9.4.1 P
OLARKOORDINATEN.254
9.4.2 EULERS I D E N TITAE
T.
256
9.4.3 MULTIPLIKATION IN P O LA RFO RM
.
258
9.4.4 KOMPLEXE Q UADRATW
URZELN.259
9.4.5 EXKURS: BEWEIS TRIGONOMETRISCHER I D E N TITAE TE N
.
263
9.5 ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN IN C
.
264
9.5.1 QUADRATISCHE G
LEICHUNGEN.264
9.5.2 DIE
KREISTEILUNGSGLEICHUNG.266
9.5.3 AUSBLICK: DER FUNDAMENTALSATZ DER A LG E B RA
.
270
10 G RU N D ZUE GE D ER L INEAREN A LG E B R A
.273
10.1 V EKTORRAEUM
E.
273
10.1.1 ZWEI NUR AUF DEN ERSTEN BLICK VERSCHIEDENE BEISPIELE
.
273
10.1.2 DIE
VEKTORRAUMAXIOME.
275
10.1.3 BEISPIELE FUER V E K TO RRAEU M
E.277
10.1.4
UNTERVEKTORRAEUME.
282
10.1.5 BASIS UND D IM
ENSION.
285
10.2 LINEARE A B B ILD U N G E N
.
292
10.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE LINEARER A B
BILDUNGEN.293
10.2.2 KERN UND BILD EINER LINEAREN A B B ILD U N G
.
297
10.2.3 ISOM
ORPHIE.303
10.3 M A TRIZ E N
.
307
10.3.1 DIE MATRIX EINER LINEAREN A B B ILD U N G
.
307
10.3.2 DAS M ATRIX P RO D U K
T.
316
10.4 AUSBLICK: LGS UND DETERM
INANTEN.321
10.4.1 HOMOGENE L G S
.
321
10.4.2 DIE D ETERM INANTE
.
325
10.4.3 INHOMOGENE L G S
.
327
V ANHANG 331
E IN PAAR UE B U N G S K LA U S U R E N
.
333
KLAUSUR ZU LOGIK UND BEWEISMETHODEN
.334
KLAUSUR ZU MENGEN UND A B B ILD U N G E N
.335
KLAUSUR ZU F O LG E N
.336
KLAUSUR ZU (UN) G LE IC H U N G E N
.
337
KLAUSUR ZU INTEGRATIONSM
ETHODEN.
338
KLAUSUR ZU KOMPLEXEN Z AH LEN
.
339
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA
.
.340
L OESUNGEN ZU D EN UE B U N GSAU FGAB EN
.341
LOESUNGEN ZU KAPITEL 1
.341
LOESUNGEN ZU KAPITEL 2
.346
LOESUNGEN ZU KAPITEL 3
.358
LOESUNGEN ZU KAPITEL 4
.370
LOESUNGEN ZU KAPITEL 5
.385
LOESUNGEN ZU KAPITEL 6
.390
LOESUNGEN ZU KAPITEL 7
.394
I
NHALT
XI
LOESUNGEN ZU KAPITEL 8
.409
LOESUNGEN ZU KAPITEL 9
.429
LOESUNGEN ZU KAPITEL 1 0
.444
S TIC H W O R T V E R Z E IC H N IS
.
465 |
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