Verfügbarkeit: (Hoch)Schulmathematik

(Hoch)Schulmathematik: Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Glosauer, Tobias (VerfasserIn)
Format:	Elektronisch E-Book
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Wiesbaden Springer Spektrum [2017]
Ausgabe:	2., überarbeitete und erweiterte Auflage
Schlagworte:	Mathematics Mathematics, general Mathematik Schulmathematik Lehrbuch
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Beschreibung:	1 Online-Ressource (XI, 468 S. 106 Abb)
ISBN:	9783658147631
DOI:	10.1007/978-3-658-14763-1

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Datensatz im Suchindex

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adam_text	INHALT I FORMALES FUNDAMENT 1 1 E IN W EN IG L O G IK ............................................................................................... 3 1.1 A USSAGENLOGIK................................................................................................ 3 1.1.1 AUSSAGEN............................................................................................. 3 1.1.2 J U N K TO R E N ......................................................................................... 5 1.1.3 NICHT ................................................................................................ 6 1.1.4 UND ................................................................................................ 7 1.1.5 * (ENTWEDER) ODER* ............................................................................. 7 1.1.6 WENN ..., DANN ... ....................................................................... 7 1.1.7 ... GENAU DANN, WENN ... ........................................................... 8 1.1.8 AUSSAGENLOGISCHE F O RM E LN .............................................................. 9 1.1.9 AUSSAGENLOGISCHE AEQUIVALENZ........................................................... 10 1.2 AUSBLICK AUF DIE PRAEDIKATENLOGIK................................................................. 14 1.2.1 PRAEDIKATE UND INDIVIDUEN .............................................................. 14 1.2.2 DER A LLQ U A N TO R................................................................................ 15 1.2.3 DER E XISTEN ZQ U AN TO R....................................................................... 16 2 B E W E IS M E T H O D E N ................................................................................................19 2.1 EXKURS: GRUNDWISSEN UEBER Z A H LE N .............................................................. 19 2.2 DIREKTER B E W E IS ................................................................................................ 21 2.3 INDIREKTER B E W E IS ............................................................................................. 25 2.3.1 K O N TRA P O SITIO N .................................................................................... 25 2.3.2 WIDERSPRUCHSBEWEIS ...........................................................................27 2.4 BEWEIS DURCH VOLLSTAENDIGE INDUKTION .............................................................. 30 3 M EN G EN UND A B B IL D U N G E N ............................................................................37 3.1 M ENGEN................................................................................................................37 3.1.1 DER M ENGENBEGRIFF..............................................................................37 3.1.2 TEILMENGEN UND MENGENOPERATIONEN ............................................... 39 3.2 A BBILDUNGEN...................................................................................................... 44 3.2.1 DER A BBILDUNGSBEGRIFF........................................................................45 3.2.2 BILD- UND U RBILDM ENGE........................................................................46 3.2.3 IN-, SUR- UND B IJEKTIVITAET .................................................................... 49 3.2.4 VERKETTUNG UND UMKEHRABBILDUNG ..................................................... 50 3.2.5 MAECHTIGKEITSVERGLEICHE UNENDLICHER MENGEN ...................................55 3.2.6 AUSBLICK: MAECHTIG UND UEBERM AECHTIG .................................................. 63 II ANFAENGE DER ANALYSIS 67 4 G REN ZW ERTE VON FOLGEN UND R E I H E N ........................................................ 69 4.1 F O L G E N ................................................................................................................ 69 4.1.1 DER GRENZ WERT BE G RIFF........................................................................... 69 4.1.2 DIE G RENZW ERTSAETZE.............................................................................. 77 4.1.3 EXKURS: DIE VOLLSTAENDIGKEIT VON R ..................................................... 80 4.1.4 AUSBLICK: CAUCHYFOLGEN........................................................................ 82 4.1.5 MONOTONE F O LG E N ................................................................................. 83 4.1.6 REKURSIVE F O LG E N ................................................................................. 85 4.2 R E IH E N ................................................................................................................ 91 4.2.1 REIHEN ALS SPEZIELLE F O LG E N ..................................................................91 4.2.2 DIE GEOMETRISCHE R E IH E ........................................................................94 4.2.3 DIE EULERSEHE ZAHL .............................................................................. 99 4.2.4 KONVERGENZKRITERIEN FUER R E IH E N .......................................................102 4.2.5 AUSBLICK: P OTENZREIHEN...................................................................... 106 4.2.6 AUSBLICK: E-FUNKTION UND NATUERLICHER LOGARITHMUS ........................ 109 5 G RU N D W ISSEN D IFFE R E N Z IA LR E C H N U N G ......................................................... 113 5.1 DIE A B LE ITU N G .................................................................................................. 113 5.1.1 DIE STEIGUNG EINER K U RV E................................................................... 113 5.1.2 DER GRENZWERT DER SEKANTENSTEIGUNGEN .......................................... 115 5.1.3 DIE TANGENTENGLEICHUNG................................................................... 119 5.1.4 LINEARE APPROXIM ATION...................................................................... 121 5.1.5 DIFFERENZIERBARKEIT ............................................................................ 122 5.2 ABLEITUNGSREGELN............................................................................................... 128 5.2.1 FAKTOR- UND SUM M ENREGEL................................................................ 128 5.2.2 DIE P OTENZREGEL...................................................................................129 5.2.3 DIE ABLEITUNG VON SINUS UND C OSINUS ............................................. 130 5.2.4 DIE P RO D U K TRE G E L ............................................................................... 133 5.2.5 DIE K ETTEN REG EL...................................................................................135 5.2.6 ABLEITUNG DER UMKEHRFUNKTION .......................................................139 5.2.7 DIE QUOTIENTENREGEL ............................................................................ 142 5.2.8 VERMISCHTE UE B U N G E N ......................................................................... 143 5.3 AUSBLICK: ABLEITEN VON POTENZREIHEN.............................................................144 5.4 AUSBLICK: T A Y LO RRE IH E N ...................................................................................145 6 G RU N D W ISSEN I N TE G R A LR E C H N U N G ................................................................151 6.1 STAM M FUNKTIONEN............................................................................................151 6.2 DAS BESTIMMTE IN TE G RA L...................................................................................155 6.2.1 DIE S TREIFEN M ETH O D E ......................................................................... 155 6.2.2 DAS DARBOUX-INTEGRAL......................................................................... 160 6.2.3 DAS RIEMANN-INTEGRAL ...................................................................... 164 6.2.4 INTEGRAL UND F LAE C H E ............................................................................ 169 6.3 DER HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG .............................. 171 6.4 UNEIGENTLICHE INTEGRALE . .................................................................................. 176 I NHALT IX III RECHENFERTIGKEITEN 179 7 L OESEN VON (U N ) GLEICH UN GEN ................................................................... 181 7.1 POLYNOM(UN)GLEICHUNGEN............................................................................... 181 7.1.1 LINEARE UND QUADRATISCHE G LEICH U N G EN .......................................... 181 7.1.2 GLEICHUNGEN HOEHEREN G RA D E S.............................................................182 7.1.3 POLYNOMUNGLEICHUNGEN...................................................................... 185 7.2 BRUCH (UN)GLEICHUNGEN ................................................................... 189 7.2.1 BRUCHGLEICHUNGEN............................................................................... 189 7.2.2 BRUCHUNGLEICHUNGEN............................................................................ 190 7.3 WURZEL (UN)GLEICHUNGEN.................................................................................. 194 7.3.1 W URZELGLEICHUNGEN............................................................................ 194 7.3.2 W URZELUNGLEICHUNGEN......................................................................... 195 7.4 BETRAGS (UN)GLEICHUNGEN.................................................................................. 196 7.4.1 BETRAGSGLEICHUNGEN UND BETRAGSFUNKTIONEN .................................... 196 7.4.2 BETRAGSUNGLEICHUNGEN......................................................................... 200 7.5 EXPONENTIAL(UN)GLEICHUNGEN.........................................................................201 7.5.1 EXPONENTIALGLEICHUNGEN......................................................................201 7.5.2 EXPONENTIALUNGLEICHUNGEN................................................................204 8 D IE K U N ST D ES I N TE G R IE R E N S ......................................................................... 206 8.1 P RO D U K TIN TEG RA TIO N ............... 206 8.2 INTEGRATION DURCH S U B STITU TIO N ......................................................................211 8.2.1 DIE S UBSTITU TIO N SREG EL......................................................................211 8.2.2 TRIGONOMETRISCHE S U B STITUTION ......................................................... 214 8.2.3 HYPERBOLISCHE SUBSTITUTION................................................................222 8.3 INTEGRATION DURCH PARTIALBRUCHZERLEGUNG ................................................... 225 8.4 VERMISCHTE UEBUNGEN ..................................................................................... 229 IV ABSTRAKTE ALGEBRA 231 9 K O M P LEX E Z A H LE N .............................................................................................233 9.1 UEBERBLICK UEBER DIE BEKANNTEN ZAHLBEREICHE ................................................ 233 9.2 EINFUEHRUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN C ............................................................ 234 9.2.1 KONSTRUKTION VON C ............................................................................234 9.2.2 RECHNEN MIT KOMPLEXEN Z A H LE N ...................................................... 238 9.2.3 KOMPLEXE KONJUGATION UND B E T R A G ................................................ 241 9.3 DER KOERPER DER KOMPLEXEN Z AH LEN ................................................................246 9.3.1 WAS IST EIN K OERPER?............................................................................246 9.3.2 UNMOEGLICHKEIT DER ANORDNUNG VON C ............................................. 251 9.3.3 AUSBLICK: DER Q UATERNIONENSCHIEFKOERPER .............................. 252 9.4 POLARFORM KOMPLEXER Z A H LE N .........................................................................254 9.4.1 P OLARKOORDINATEN...............................................................................254 9.4.2 EULERS I D E N TITAE T.................................................................................. 256 9.4.3 MULTIPLIKATION IN P O LA RFO RM ............................................................ 258 9.4.4 KOMPLEXE Q UADRATW URZELN................................................................259 9.4.5 EXKURS: BEWEIS TRIGONOMETRISCHER I D E N TITAE TE N .............................. 263 9.5 ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN IN C ..................................................................... 264 9.5.1 QUADRATISCHE G LEICHUNGEN................................................................264 9.5.2 DIE KREISTEILUNGSGLEICHUNG................................................................266 9.5.3 AUSBLICK: DER FUNDAMENTALSATZ DER A LG E B RA ................................. 270 10 G RU N D ZUE GE D ER L INEAREN A LG E B R A ............................................................273 10.1 V EKTORRAEUM E..................................................................................................... 273 10.1.1 ZWEI NUR AUF DEN ERSTEN BLICK VERSCHIEDENE BEISPIELE ................... 273 10.1.2 DIE VEKTORRAUMAXIOME...................................................................... 275 10.1.3 BEISPIELE FUER V E K TO RRAEU M E................................................................277 10.1.4 UNTERVEKTORRAEUME............................................................................... 282 10.1.5 BASIS UND D IM ENSION......................................................................... 285 10.2 LINEARE A B B ILD U N G E N ..................................................................................... 292 10.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE LINEARER A B BILDUNGEN..............................293 10.2.2 KERN UND BILD EINER LINEAREN A B B ILD U N G ....................................... 297 10.2.3 ISOM ORPHIE............................................................................................303 10.3 M A TRIZ E N ........................................................................................................... 307 10.3.1 DIE MATRIX EINER LINEAREN A B B ILD U N G ............................................. 307 10.3.2 DAS M ATRIX P RO D U K T............................................................................ 316 10.4 AUSBLICK: LGS UND DETERM INANTEN................................................................321 10.4.1 HOMOGENE L G S .................................................................................. 321 10.4.2 DIE D ETERM INANTE ................................................................... 325 10.4.3 INHOMOGENE L G S ............................................................................... 327 V ANHANG 331 E IN PAAR UE B U N G S K LA U S U R E N .................................................................................. 333 KLAUSUR ZU LOGIK UND BEWEISMETHODEN ................................................................334 KLAUSUR ZU MENGEN UND A B B ILD U N G E N ...................................................................335 KLAUSUR ZU F O LG E N .....................................................................................................336 KLAUSUR ZU (UN) G LE IC H U N G E N .................................................................................. 337 KLAUSUR ZU INTEGRATIONSM ETHODEN............................................................................ 338 KLAUSUR ZU KOMPLEXEN Z AH LEN .................................................................................. 339 KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA . ..................................................................................340 L OESUNGEN ZU D EN UE B U N GSAU FGAB EN ..................................................................341 LOESUNGEN ZU KAPITEL 1 ...............................................................................................341 LOESUNGEN ZU KAPITEL 2 ...............................................................................................346 LOESUNGEN ZU KAPITEL 3 ...............................................................................................358 LOESUNGEN ZU KAPITEL 4 ...............................................................................................370 LOESUNGEN ZU KAPITEL 5 ...............................................................................................385 LOESUNGEN ZU KAPITEL 6 ...............................................................................................390 LOESUNGEN ZU KAPITEL 7 ...............................................................................................394 I NHALT XI LOESUNGEN ZU KAPITEL 8 .............................................................................................409 LOESUNGEN ZU KAPITEL 9 .............................................................................................429 LOESUNGEN ZU KAPITEL 1 0 ..........................................................................................444 S TIC H W O R T V E R Z E IC H N IS ................................................................................................ 465
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