Mathematisches Problemlösen und Beweisen: eine Entdeckungsreise in die Mathematik
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Wiesbaden
Springer Spektrum
[2017]
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur 2. Auflage ix
Einführung 1
1 Erste mathematische Erkundungen 11
1.1 Zersägen eines Baumstamms..................... 11
1.2 Ein Problem mit Nullen.......................... 13
1.3 Ein Problem über Geraden in der Ebene........... 16
1.4 Werkzeugkasten.................................. 23
Aufgaben............................................. 24
2 Die Idee der Rekursion 29
2.1 Die Technik der Rekursion....................... 29
2.2 Die Anzahl der Teilmengen....................... 32
2.3 Pflasterungen mit Dominosteinen................. 38
2.4 Auflösen der FiBONACCi-Rekursion................ 42
2.5 Triangulierungen................................ 49
2.6 Werkzeugkasten.................................. 56
Aufgaben............................................. 57
3 Vollständige Induktion 61
3.1 Das Induktionsprinzip........................... 61
3.2 Färbungen....................................... 64
3.3 Werkzeugkasten.................................. 69
Aufgaben............................................. 69
4 Graphen 73
4.1 Die EuLERSche Formel für ebene Graphen.......... 73
4.2 Doppeltes Abzählen bei Graphen.................. 81
4.3 Händeschütteln und Graphen...................... 85
xii Inhaltsverzeichnis
4.4 Fünf Punkte mit allen Verbindungen in der Ebene ... 85
4.5 Weiterführende Bemerkungen: EuLERsche Polyederfor-
mel, Topologie und Vierfarbenproblem.............. 90
4.6 Werkzeugkasten..................................... 94
Aufgaben............................................... 94
5 Abzählen 97
5.1 Grundprinzipien des Abzählens...................... 97
5.2 Abzählen durch Bijektion...........................107
5.3 Doppeltes Abzählen.................................114
5.4 Weiterführende Bemerkungen: Doppelsummen, Inte-
grale und Unendlichkeiten ...........................119
5.5 Werkzeugkasten.....................................124
Aufgaben...............................................124
6 Allgemeine Strategien 131
6.1 Allgemeine Problemlösestrategien...................131
6.2 Die Diagonale im Quader.......................... 135
6.3 Das Trapezzahlen-Problem ..........................138
6.4 Weiterführende Bemerkungen: Summen-Darstellungen
ganzer Zahlen.....................................146
Aufgaben...............................................148
7 Logik und Beweise 151
7.1 Logik..............................................151
7.2 Beweise............................................161
Aufgaben...............................................172
8 Elementare Zahlentheorie 175
8.1 Teilbarkeit, Primzahlen und Reste..................175
8.2 Kongruenzen .......................................180
Aufgaben......................................... 185
9 Das Schubfachprinzip 189
9.1 Das Schubfachprinzip, Beispiele....................189
9.2 Reste als Schubfächer..............................193
9.3 Eine Erkundungstour: Approximation durch Brüche . 195
9.4 Ordnung im Chaos: Das Schubfachprinzip in der Gra-
phentheorie .........................................206
Inhaltsverzeichnis xiii
9.5 Werkzeugkasten.....................................208
Aufgaben................................................209
10 Das Extremalprinzip 213
10.1 Das allgemeine Extremalprinzip.....................214
10.2 Das Extremalprinzip als Problemlösestrategie, I . . . . 220
Schema für das Extremalprinzip.....................222
10.3 Das Extremalprinzip als Problemlösestrategie, П . . . . 230
10.4 Weiterführende Bemerkungen: Optimierung, Spiegel
und Billard........................................235
10.5 Werkzeugkasten.....................................242
Aufgaben................................................243
11 Das Invarianzprinzip 247
11.1 Das Invarianzprinzip, Beispiele....................247
11.2 Schema für das Invarianzprinzip....................252
11.3 Weitere Beispiele................................ 254
11.4 Weiterführende Bemerkungen: Knoten, Erhaltungsgrößen
und der Sinn von Unmöglichkeitsbeweisen............265
11.5 Werkzeugkasten.....................................270
Aufgaben................................................270
A Ein Überblick über Problemlösestrategien 277
В Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen 283
Symbolverzeichnis 291
Glossar 293
Listen der Probleme, Sätze und Verfahren 301
Hinweise zu ausgewählten Aufgaben 303
Literaturverzeichnis 317
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