Numerik 3x9: drei Themengebiete in jeweils neun kurzen Kapiteln
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Titel: Numerik 3 x 9
Autor: Bartels, Sören
Jahr: 2016
Inhaltsverzeichnis
Teil I Numerische lineare Algebra
1 Grundlegende Konzepte. 3
1.1 Aufgabenstellung. 3
1.2 Kondition und Stabilität. 4
1.3 Aufwand. 7
1.4 Lernziele, Quiz und Anwendung. 8
2 Operatornorm und Konditionszahl. 9
2.1 Vektornormen. 9
2.2 Matrixnormen. 10
2.3 Konditionszahl. 12
2.4 Lernziele, Quiz und Anwendung. 13
3 Matrixfaktorisierungen. 15
3.1 Dreiecksmatrizen. 15
3.2 L(/-Zerlegung. 16
3.3 Cholesky-Zerlegung. 18
3.4 Lernziele, Quiz und Anwendung. 21
4 Eliminationsverfahren. 23
4.1 Gaußsches Eliminationsverfahren . 23
4.2 Pivot-Strategie. 26
4.3 Lernziele, Quiz und Anwendung. 28
5 Ausgleichsprobleme. 31
5.1 Gaußsche Normalengleichung. 31
5.2 Householder-Transformationen. 33
5.3 ß/?-Zerlegung. 35
5.4 Lösung des Ausgleichsproblems. 37
5.5 Lernziele, Quiz und Anwendung. 37
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
6 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse. 39
6.1 Singulärwertzerlegung. 39
6.2 Pseudoinverse. 40
6.3 Lernziele, Quiz und Anwendung. 41
7 Das Simplex-Verfahren . 43
7.1 Lineare Programme. 43
7.2 Der Simplex-Schritt. 45
7.3 Lernziele, Quiz und Anwendung. 48
8 Eigenwertaufgaben. 49
8.1 Lokalisierung. 49
8.2 Konditionierung. 51
8.3 Potenzmethode. 52
8.4 ÖK-Verfahren. 56
8.5 Jacobi-Verfahren. 57
8.6 Lernziele, Quiz und Anwendung. 61
9 Iterative Lösungsmethoden. 63
9.1 Inexakte Lösung. 63
9.2 Banachscher Fixpunktsatz. 63
9.3 Lineare Iterationsverfahren. 65
9.4 Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren. 66
9.5 Diagonaldominanz und Irreduzibilität. 67
9.6 Konvergenz. 69
9.7 Lernziele, Quiz und Anwendung. 70
Teil II Numerische Analysis
10 Allgemeine Konditionszahl und Gleitkommazahlen. 75
10.1 Konditionierung. 75
10.2 Gleitkommazahlen. 77
10.3 Rundung. 78
10.4 Stabilität. 79
10.5 Lernziele, Quiz und Anwendung. 81
11 Polynominterpolation. 83
11.1 Lagrange-Interpolation. 83
11.2 Interpolationsfehler. 85
11.3 Neville-Schema. 86
11.4 Tschebyscheff-Knoten . 88
Inhaltsverzeichnis IX
11.5 Hermite-Interpolation. 90
11.6 Lernziele, Quiz und Anwendung. 92
12 Interpolation mit Splines. 93
12.1 Splines. 93
12.2 Kubische Splines. 95
12.3 Berechnung kubischer Splines. 98
12.4 Lernziele, Quiz und Anwendung. 99
13 Diskrete Fourier-Transformation.101
13.1 Trigonometrische Interpolation. 101
13.2 Fourier-Basen. 103
13.3 Schnelle Fourier-Transformation. 105
13.4 Lernziele, Quiz und Anwendung. 107
14 Numerische Integration.109
14.1 Quadraturformeln. 109
14.2 Newton-Cotes-Formeln. 111
14.3 Summierte Quadraturformeln. 112
14.4 Gauß-Quadratur. 114
14.5 Extrapolation. 117
14.6 Experimentelle Konvergenzordnung. 118
14.7 Lernziele, Quiz und Anwendung. 119
15 Nichtlineare Probleme.121
15.1 Nullstellensuche und Minimierungsprobleme. 121
15.2 Approximation von Nullstellen. 122
15.3 Eindimensionale Minimierung . 126
15.4 Mehrdimensionale Minimierung. 127
15.5 Lernziele, Quiz und Anwendung. 129
16 Methode der konjugierten Gradienten .131
16.1 Quadratische Minimierung. 131
16.2 Konjugierte Suchrichtungen. 132
16.3 Berechnung A-konjugierter Richtungen. 133
16.4 CG-Verfahren. 135
16.5 Konvergenz des CG-Verfahrens. 136
16.6 Lernziele, Quiz und Anwendung. 138
17 Dünnbesetzte Matrizen und Vorkonditionierung.141
17.1 Dünnbesetzte Matrizen.141
17.2 Vorkonditioniertes CG-Verfahren.142
Inhaltsverzeichnis
17.3 Weitere Vorkonditionierungsmatrizen. 144
17.4 Lernziele, Quiz und Anwendung. 146
18 Mehrdimensionale Approximation. 149
18.1 Gitter und Triangulierungen. 149
18.2 Approximation auf Tensorproduktgittern. 151
18.3 Zweidimensionale Fourier-Transformation. 153
18.4 Approximation auf Triangulierungen . 154
18.5 Lernziele, Quiz und Anwendung. 157
Teil III Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen
19 Gewöhnliche Differenzialgleichungen. 161
19.1 Grundlagen. 161
19.2 Das Räuber-Beute-Modell. 162
19.3 Gleichungen höherer Ordnung. 163
19.4 Autonome Gleichungen. 164
19.5 Zweikörperprobleme . 165
19.6 Explizite Lösungen . 166
19.7 Lernziele, Quiz und Anwendung. 166
20 Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität. 169
20.1 Existenz und Eindeutigkeit. 169
20.2 Lemma von Gronwall. 172
20.3 Stabilität. 173
20.4 Lernziele, Quiz und Anwendung. 175
21 Einschrittverfahren. 177
21.1 Euler-Verfahren. 177
21.2 Konsistenz. 179
21.3 Diskretes Gronwall-Lemma und Konvergenz. 181
21.4 Verfahren höherer Ordnung. 184
21.5 Lernziele, Quiz und Anwendung. 185
22 Runge-Kutta-Verfahren. 187
22.1 Motivation. 187
22.2 Runge-Kutta-Verfahren. 188
22.3 Wohlgestelltheit. 190
22.4 Konsistenz. 192
22.5 Lernziele, Quiz und Anwendung. 196
Inhaltsverzeichnis XI
23 Mehrschrittverfahren.199
23.1 Allgemeine Mehrschrittverfahren. 199
23.2 Konsistenz. 201
23.3 Adams-Verfahren. 202
23.4 Prädiktor-Korrektor-Verfahren. 204
23.5 Lernziele, Quiz und Anwendung. 206
24 Konvergenz von Mehrschrittverfahren.209
24.1 Differenzengleichungen. 209
24.2 Nullstabilität . 211
24.3 Konvergenz. 213
24.4 Lernziele, Quiz und Anwendung. 215
25 Steife Differenzialgleichungen.217
25.1 Steifheit. 217
25.2 /1-Stabilität. 218
25.3 Gradientennüsse. 222
25.4 Wärmeleitungsgleichung. 223
25.5 Lernziele, Quiz und Anwendung. 225
26 Schrittweitensteuerung.227
26.1 A-posteriori Fehlerkontrolle.227
26.2 Adaptiver Algorithmus.230
26.3 Kontrollverfahren .230
26.4 Extrapolation.231
26.5 Lernziele, Quiz und Anwendung.231
27 Symplektische, Schieß- und dG-Verfahren.233
27.1 Hamiltonsche Systeme.233
27.2 Symplektische Verfahren.235
27.3 Schießverfahren .239
27.4 Diskontinuierliche Galerkin-Verfahren .240
27.5 Lernziele, Quiz und Anwendung.241
Teil IV Aufgabensammlungen
28 Aufgaben zur numerischen linearen Algebra. 245
28.1 Grundlegende Konzepte . 245
28.2 Operatornorm und Konditionszahl. 247
28.3 Matrixfaktorisierungen. 250
28.4 Eliminationsverfahren. 254
28.5 Ausgleichsprobleme. 257
XII Inhaltsverzeichnis
28.6 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse.261
28.7 Das Simplex-Verfahren.264
28.8 Eigenwertaufgaben .267
28.9 Iterative Lösungsmethoden.271
29 Aufgaben zur numerischen Analysis.275
29.1 Allgemeine Konditionszahl und Maschinenzahlen.275
29.2 Polynominterpolation.278
29.3 Interpolation mit Splines.281
29.4 Diskrete Fourier-Transformation.284
29.5 Numerische Integration.288
29.6 Nichtlineare Probleme.291
29.7 Methode der konjugierten Gradienten.294
29.8 Dünnbesetzte Matrizen und Vorkonditionierung.298
29.9 Mehrdimensionale Approximation.301
30 Aufgaben zur Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen.305
30.1 Gewöhnliche Differenzialgleichungen.305
30.2 Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität.309
30.3 Einschrittverfahren.311
30.4 Runge-Kutta-Verfahren.315
30.5 Mehrschrittverfahren.318
30.6 Konvergenz von Mehrschrittverfahren.321
30.7 Steife Differenzialgleichungen .324
30.8 Schrittweitensteuerung.327
30.9 Symplektische, Schieß- und dG-Verfahren.330
Teil V Anhänge
31 Aussagen der linearen Algebra.335
31.1 Skalarprodukt von Vektoren.335
31.2 Determinante quadratischer Matrizen.335
31.3 Bild und Kern linearer Abbildungen.336
31.4 Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit.337
31.5 Jordansche Normalform .338
32 Aussagen der Analysis.339
32.1 Stetige und differenzierbare Funktionen.339
32.2 Mittelwertsatz und Taylor-Polynome.340
32.3 Landau-Symbole.340
32.4 Fundamentalsatz der Algebra.341
32.5 Mehrdimensionale Differenzialrechnung.342
Inhaltsverzeichnis _XIII
33 Einführung in C.343
33.1 Struktur . 343
33.2 Bibliotheken. 343
33.3 Typen. 344
33.4 Kontrollanweisungen. 345
33.5 Logische Ausdrücke und Inkremente . 345
33.6 Funktionen . 346
33.7 Pointer. 346
33.8 Dynamische Arrays. 347
33.9 Arbeiten mit Matrizen. 347
33.10 Zeitmessung, Speicherung und Pakete. 349
34 Einführung in Matlab.351
34.1 Aufbau.351
34.2 Listen und Arrays.351
34.3 Matrixoperationen.352
34.4 Manipulation von Arrays.353
34.5 Elementare Funktionen.353
34.6 Schleifen und Kontrollanweisungen.353
34.7 Text- und Grafikausgabe.354
34.8 Erstellen neuer Funktionen.354
34.9 Verschiedene Befehle.355
34.10 Dünnbesetzte Matrizen.355
34.11 Beispiele.356
34.12 Freie Alternativen.357
35 Beispielprogramme in Matlab und C .359
35.1 LU-Zerlegung und Lösen von Dreieckssystemen.359
35.2 Polynominterpolation und Neville-Schema.362
35.3 Numerische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen.365
Anhang A - Weiterführende Themen.369
Anhang B - Literaturhinweise.371
Anhang C - Notation.375
Sachverzeichnis.377 |
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