Maßtheorie für Statistiker: Grundlagen der Stochastik
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Berlin ; Heidelberg
Springer Spektrum
[2016]
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INHALTSVERZEICHNIS
1 GRUNDBEGRIFFE 1
1.1 MENGENLEHRE 1
1.1.1 DEFINITIONEN UND BEZEICHNUNGEN 2
1.1.2 ZERLEGUNGEN 6
1.1.3 UEBUNGSAUFGABEN 8
1.2 REELLE ZAHLEN 9
/
1.3 ABBILDUNGEN 11
1.4 PRODUKTMENGEN 15
1.4.1 PROJEKTIONEN 17
1.4.2 UEBUNGSAUFGABEN 18
1.5 ENDLICHE UND UNENDLICHE MENGEN 20
1.5.1 ENDLICHE MENGEN 20
1.5.2 ABZAEHLBAR UNENDLICHE MENGEN 20
1.5.3 UEBERABZAEHLBAR UNENDLICHE MENGEN 22
1.5.4 VOLLSTAENDIGE INDUKTION 24
1.5.5 UEBUNGSAUFGABEN 26
1.6 SUPREMA UND INFIMA VON MENGEN REELLER ZAHLEN 27
1.7 FOLGEN REELLER ZAHLEN 30
1.7.1 GRENZWERTE 31
1.7.2 DICHTHEIT DER MENGE DER RATIONALEN ZAHLEN 32
1.7.3 UEBUNGSAUFGABEN 32
1.8 FOLGEN REELLWERTIGER FUNKTIONEN 34
2 MENGENSYSTEME 35
2.1 SEMIALGEBREN 36
2.2 ALGEBREN 37
2.3 CT-ALGEBREN 41
2.4 DIE A-ALGEBRA DER BOREL-MENGEN AUS M" 45
2.5 R-ALGEBREN UND ABBILDUNGEN 49
2.6 UEBUNGSAUFGABEN 50
IX
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X INHALTSVERZEICHNIS
3 MENGENFUNKTIONEN UND MASSE 53
3.1 ADDITIVE MENGENFUNKTIONEN 54
3.1.1 DEFINITIONEN UND BEISPIELE 54
3.1.2 ERSTER FORTSETZUNGSSATZ 57
3.1.3 EIGENSCHAFTEN ADDITIVER MENGENFUNKTIONEN 58
3.1.4 UEBUNGSAUFGABEN 63
3.2 MASSE UND MASSRAEUME 64
3.2.1 DEFINITIONEN UND BEISPIELE 64
3.2.2 DISKRETE MASSE 66
3.2.3 ZWEITER FORTSETZUNGSSATZ 67
3.2.4 UEBUNGSAUFGABEN 68
3.3 MASSE AUF (, 58) 69
3.3.1 FINITE MASSE UND VERTEILUNGSFUNKTIONEN 69
3.3.2 UEBUNGSAUFGABEN 75
3.3.3 DAS LEBESGUE-MASS AUF (R, 93) 76
3.3.4 DAS CANTORSCHE DISKONTINUUM 79
3.3.5 LEBESGUE-STIELTJES-MASSE AUF (M, 93) 80
3.3.6 DICHTEN VON MASSEN 82
3.4 MASSE AUF (1", 93") 83
3.4.1 FINITE MASSE UND VERTEILUNGSFUNKTIONEN 83
3.4.2 DAS LEBESGUE-MASS AUF (FFI", 93") 87
3.4.3 UEBUNGSAUFGABEN 88
3.5 VOLLSTAENDIGE MASSRAEUME 88
4 MESSBARE ABBILDUNGEN 91
4.1 DEFINITIONEN 91
4.1.1 EINFACHE FUNKTIONEN 93
4.1.2 MESSBARKEITSKRITERIEN 95
4.1.3 WEITERE BOREL-MESSBARE FUNKTIONEN 97
4.2 APPROXIMATION BOREL-MESSBARER FUNKTIONEN 99
4.3 VON ABBILDUNGEN ERZEUGTE A-ALGEBREN 101
4.4 PRODUKT- 7-ALGEBREN 101
4.4.1 PRODUKT ZWEIER A-ALGEBREN 102
4.4.2 PRODUKT AUS ENDLICH VIELEN A-ALGEBREN 105
4.4.3 PRODUKT AUS UNENDLICH VIELEN A-ALGEBREN 106
4.5 ABBILDUNGEN UND MASSE 111
4.5.1 INDUZIERTE MASSE 111
4.5.2 RANDMASSE FINITER MASSE AUF (R", 93") 112
4.5.3 UEBUNGSAUFGABEN 115
INHALTSVERZEICHNIS XI
5 INTEGRATION MESSBARER FUNKTIONEN 117
5.1 DEFINITIONEN 117
5.1.1 EINFACHE FUNKTIONEN 118
5.1.2 NICHTNEGATIVE FUNKTIONEN 120
5.1.3 INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 126
5.1.4 WEITERE EIGENSCHAFTEN DES INTEGRALS 127
5.1.5 SUBSTITUTIONSREGEL 129
5.2 INTEGRALE BEZUEGLICH DISKRETER MASSE 131
5.3 INTEGRALE BEZUEGLICH MASSEN MIT DICHTEN 133
5.3.1 DICHTEN BEZUEGLICH DES LEBESGUE-MASSES 133
5.3.2 RIEMANN-UND LEBESGUE-INTEGRALE 139
5.3.3 DER FALL N 1 147
5.3.4 UEBUNGSAUFGABEN 152
6 UNGLEICHUNGEN UND Z^-RAEUME 155
6.1 ABSCHAETZUNGEN GROSSER FUNKTIONSWERTE 155
6.2 DIE MENGEN
P
(, ,/I) 156
6.3 DIE CAUCHY-SCHWARZSCHE UNGLEICHUNG 157
6.4 WEITERE UNGLEICHUNGEN 159
6.5 DIE RAEUME LP 164
6.6 DER RAUM LI(E,
, SS) 167
6.7 UEBUNGSAUFGABEN 169
7 KONVERGENZARTEN FUER FOLGEN MESSBARER FUNKTIONEN 173
7.1 KONVERGENZ JI-FAST UEBERALL 174
7.2 VERTAUSCHUNG VON GRENZWERT UND INTEGRATION 177
7.3 KONVERGENZ DEM MASS NACH 180
7.4 KONVERGENZ IN VERTEILUNG 184
7.5 KONVERGENZ IM L^-SINNE 189
7.6 UEBUNGSAUFGABEN 199
8 PRODUKTMASSE 201
8.1 ABBILDUNGEN AUF PRODUKTRAEUMEN 201
8.2 PRODUKTMASSE 203
8.3 INTEGRALE BEZUEGLICH PRODUKTMASSEN 206
8.4 FALTUNG VON MASSEN 212
8.5 UEBUNGSAUFGABEN 214
9 DER SATZ VON RADON-NIKODYM 217
9.1 ABSOLUTE STETIGKEIT VON MASSEN 217
9.2 DIE RADON-NIKOD^M-ABLEITUNG 219
9.3 ABSOLUTE STETIGKEIT VON MASSEN MIT DICHTEN 221
9.4 ABSOLUT STETIGE VERTEILUNGSFUNKTIONEN 223
XII INHALTSVERZEICHNIS
10 BEDINGTE ERWARTUNGEN 229
10.1 DEFINITIONEN UND BEISPIELE 230
10.2 EIGENSCHAFTEN BEDINGTER ERWARTUNGEN 234
10.3 BEDINGTE ERWARTUNGSWERTE 238
10.4 UEBUNGSAUFGABEN 242
11 LIKELIHOODFUNKTIONEN 245
11.1 DETERMINISTISCHE LIKELIHOODFUNKTIONEN 245
11.2 STOCHASTISCHE LIKELIHOODFUNKTIONEN 249
11.3 UEBUNGSAUFGABEN 252
12 ANHANG 255
12.1 FUNKTIONEN 255
12.1.1 INDIKATORFUNKTIONEN 257
12.1.2 STETIGE FUNKTIONEN 257
12.1.3 MONOTONE FUNKTIONEN 258
12.2 NORMIERTE RAEUME 259
12:2.1 LINEARE RAEUME 260
12.2.2 NORMIERTE RAEUME 261
12.3 GROSSER UMORDNUNGSSATZ 264
12.4 LOESUNGEN 267
12.4.1 AUFGABEN ZUR VERSTAENDNISKONTROLLE 267
12.4.2 UEBUNGSAUFGABEN 271
12.5 SYMBOLVERZEICHNIS 306
LITERATUR 311
SACHVERZEICHNIS 313 |
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