Mathematische Statistik: für Mathematiker, Natur- und Ingenieurwissenschaftler
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort XI
1 Grundbegriffe der mathematischen Statistik 1
1.1 Grundgesamtheit und Stichprobe 2
1.1.1 Konkrete Stichproben und Grundgesamtheiten 2
1.1.2 Stichprobenverfahren 4
1.2 Mathematische Modelle für Grundgesamtheit und Stichprobe 7
1.3 Suffizienz und Vollständigkeit 9
1.4 Der Informationsbegriff in der Statistik 20
1.5 Statistische Entscheidungstheorie 27
1.6 Übungsaufgaben 31
Literatur 36
2 Punktschätzung 39
2.1 Optimale erwartungstreue Schätzfunktionen 41
2.2 Varianzinvariante Schätzung 52
2.3 Methoden zur Konstruktion und Verbesserung von
Schätzfunktionen 56
2.3.1 Maximum-Likelihood-Methode 56
2.3.2 Methode der kleinsten Quadrate 60
2.3.3 Minimum-^2-Methode 61
2.3.4 Momentenmethode 62
2.3.5 Jackknife-Schätzungen 63
2.3.6 Auf Ordnungsmaßzahlen basierende Schätzfunktionen 64
2.4 Eigenschaften von Schätzfunktionen 68
2.4.1 Kleine Stichproben 69
2.4.2 Asymptotische Eigenschaften 71
2.5 Übungsaufgaben 75
Literatur 78 3 *
3 Statistische Tests und Konfidenzschätzungen 81
3.1 Grundbegriffe der Testtheorie 81
3.2 Das Neyman-Pearson-Lemma 89
VI
Inhaltsverzeichnis
3.3 Tests für zusammengesetzte Alternativhypothesen und
einparametrische Verteilungsfamilien 98
33.1 Verteilungen mit monotonem Likelihood-Quotienten und gleichmäßig
beste Tests für einseitige Hypothesen 98
33.2 GBU-Tests für zweiseitige Alternativhypothesen 106
3.4 Tests für mehrparametrische Verteilungsfamilien 112
3.4.1 Allgemeine Theorie 113
3.4.2 Das Zweistichprobenproblem — Eigenschaften verschiedener Tests
und Robustheit 125
3.4.3 Tabellenanhang 134
3.5 Konfidenzschätzungen 135
3.5.1 Einseitige Konfidenzintervalle in einparametrischen
Verteilungsfamilien 136
3.5.2 Zweiseitige Konfidenzintervalle in einparametrischen und
Konfidenzintervalle in mehrparametrischen Verteilungsfamilien 139
3.5.3 Tabellenanhang 142
3.6 Sequentielle Tests 143
3.6.1 Einführung 143
3.6.2 Walds sequentieller Likelihood-Quotienten-Test für einparametrische
Exponentialfamilien 145
3.6.3 Test über Mittelwerte für unbekannte Varianzen 149
3.6.4 Approximative Tests für das Zweistichprobenproblem 155
3.6.5 Sequentielle Dreieckstests 156
3.6.6 Ein sequentieller Dreieckstest für den Korrelationskoeffizienten 158
3.7 Bemerkungen zur Interpretation 166
3.8 Übungsaufgaben 167
Literatur 172
4 Lineare Modelle - Allgemeine Theorie 175
4.1 Lineare Modelle mit festen Effekten 175
4.1.1 Methode der kleinsten Quadrate 176
4.1.2 MaximurmLikelihood-Methode 180
4.13 Hypothesentests 181
4.1.4 Konstruktion von Konfidenzbereichen 186
4.1.5 Spezielle lineare Modelle 187
4.1.6 Die verallgemeinerte Methode der kleinsten Quadrate (VMKQ) 193
4.2 Lineare Modelle mit zufälligen Effekten - gemischte Modelle 194
4.2.1 Beste lineare erwartungstreue Vorhersage (BLEV) 195
4.2.2 Varianzkomponentenschätzung 197
43 Übungsaufgaben 198
Literatur 198 5 *
5 Varianzanalyse - Modelle mit festen Effekten
(Modell I der Varianzanalyse) 201
5.1 Einführung 201
Inhaltsverzeichnis
Vil
5.2 Varianzanalyse in einfaktoriellen Versuchen (einfache
Varianzanalyse) 209
5.2.1 Das Modell und Auswertungsverfahren 209
5.2.2 Planung des Versuchsumfanges 222
5.3 Klassifikation nach zwei Faktoren (zweifache Varianzanalyse) 225
5.3.1 Kreuzklassifikation (A x В) 227
5.3.2 Hierarchische Klassifikation (A B) 253
5.4 Dreifache Klassifikation 264
5.4.1 Vollständige Kreuzklassifikation (А x В x C) 265
5.4.2 Hierarchische Klassifikation (C В A) 272
5.4.3 Gemischte Klassifikation 274
5.5 Übungsaufgaben 283
Literatur 284
6 Varianzanalyse - Schätzung von Varianzkomponenten
(Modell II der Varianzanalyse) 285
6.1 Einführung - lineare Modelle mit zufälligen Effekten 285
6.2 Einfache Klassifikation 289
6.2.1 Schätzung der Varianzkomponenten 292
6.2.2 Tests von Hypothesen und Konfidenzintervalle 300
6.2.3 Varianzen und Eigenschaften der Schätzverfahrens für die
Varianzkomponenten 302
6.3 Schätzfunktionen für Varianzkomponenten und ihre Spezialfälle
der zweifachen und dreifachen Klassifikation 306
6.3.1 Allgemeine Beschreibung für den Fall gleicher und ungleicher
Klassenbesetzung 307
6.3.2 Zweifache Kreuzklassifikation 311
6.3.3 Zweifache hierarchische Klassifikation 316
6.3.4 Dreifache Kreuzklassifikation mit gleicher Klassenbesetzung 319
6.3.5 Dreifache hierarchische Klassifikation 325
6.3.6 Dreifache gemischte Klassifikation 328
6.4 Versuchsplanung 329
6.5 Übungsaufgaben 331
Literatur 332 7
7 Varianzanalyse - Modelle mit endlichen Stufengesamtheiten
und gemischte Modelle 335
7.1 Einführung - Modelle mit endlichen Stufengesamtheiten 335
7.2 Regeln zur Ableitung von SQ, FG} DQ und E(DQ) im balancierten Fall
für beliebige Klassifikationen und Modelle 338
7.3 Varianzkomponentenschätzung in gemischten Modellen 343
7.3.1 Ein Beispiel für den balancierten Fall 344
7.3.2 Der unbalancierte Fall 346
7.4 Varianzkomponentenschätzung in speziellen gemischten
Modellen 348
VIII
Inhaltsverzeichnis
7.4.1 Zweifache Kreuzklassifikation 348
7.4.2 Zweifache hierarchische Klassifikation B A 348
7.4.3 Dreifache Kreuzklassifikation 352
7.4.4 Dreifache hierarchische Klassifikation 355
7.4.5 Dreifache gemischte Klassifikation 358
7.5 Tests für feste Effekte und Varianzkomponenten 362
7.6 Übungsaufgaben 366
Literatur 366
8 Regressionsanalyse - Lineare Modelle mit nicht zufälligen Regressoren
und zufälligen Regressoren 367
8.1 Einführung 367
8.2 Parameterschätzung 370
8.2.1 Methode der kleinsten Quadrate 370
8.2.2 Optimale Versuchsplanung 383
8.3 Hypothesenprüfung 386
8.4 Konfidenzbereiche 395
8.5 Modelle mit zufälligen Regressoren 398
8.5.1 Auswertung 398
8.5.2 Versuchsplanung 404
8.6 Gemischte Modelle 405
8.7 Abschließende Bemerkungen zu den Modellen
der Regressionsanalyse 406
8.8 Übungsaufgaben 408
Literatur 409
9 Regressionsanalyse ֊ Eigentlich nichtlineares Modell I 411
9.1 Bestimmung der Schätzwerte nach der Methode der kleinsten
Quadrate 414
9.1.1 Gauß-Newton-Verfahren 415
9.1.2 Innere Regression 419
9.1.3 Bestimmung von Anfangswerten für Iterationsverfahren 421
9.2 Geometrische Betrachtungen 422
9.2.1 Lösungsfläche und Tangentenebene 422
9.2.2 Nichtlinearitätsmaße 428
9.3 Asymptotische Eigenschaften und die Verzerrung der
MKQ-Schätzung 432
9.4 Konfidenzschätzungen und Tests 436
9.4.1 Einführung 437
9.4.2 Auf der asymptotischen Kovarianzmatrix basierende Tests
und Konfidenzschätzungen 440
9.4.3 Simulationsexperimente zur Überprüfung der Tests
und Konfidenzschätzungen 441
9.5 Optimale Versuchsplanung 443
9.6 Spezielle Regressionsfunktionen 448
Inhaltsverzeichnis
IX
9.6.1 Exponentielle Regression 448
9.6.2 Die Bertalanffy-Funktion 456
9.6.3 Die logistische (dreiparametrische
Tangens-hyperbolicus-) Funktion 458
9.6.4 Die Gompertz-Funktion 463
9.6.5 Die vierparametrische Tangens-hyperbolicus-Funktion 464
9.6.6 Die vierparametrische Arcustangens-Funktion 467
9.6.7 Die Richards-Funktion 469
9.6.8 Fragen der Modellwahl 469
9.7 Übungsaufgaben 471
Literatur 472
10 Kovarianzanalyse 475
10.1 Einführung 475
10.2 Allgemeines Modell I-I der Kovarianzanalyse 476
10.3 Spezielle Modelle der Kovarianzanalyse für die einfache
Klassifikation 483
10.3.1 Eine Kovariable mit konstantem y 485
10.3.2 Eine Kovariable mit von den Stufen des Klassifikationsfaktors
abhängigen Regressionskoeffizienten yt 487
10.4 Übungsaufgaben 488
Literatur 488
11 Statistische Mehrentscheidungsprobleme 489
11.1 Auswahlverfahren 490
11.1.1 Grundbegriffe 490
11.1.2 Indifferenzbereichsformulierung für Er wartungswerte 493
11.1.3 Auswahl einer Untermenge, die die beste Grundgesamtheit
mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit enthält 505
11.2 Multiple Vergleichsprozeduren 511
11.2.1 Konfidenzbereiche für alle Kontraste - die Scheffe-Methode 515
11.2.2 Konfidenzintervalle für bestimmte Kontraste - die Methode
von Dünn 518
11.2.3 Konfidenzbereiche für alle Kontraste für nL — n
- die Tukey-Methode 520
11.2.4 Konfidenzintervalle für alle Kontraste — verallgemeinerte
Tukey-Methode 523
11.2.5 Konfidenzintervalle für die Mittelwertdifferenzen zu einem Standard
֊ die Dunnett-Methode 525
11.2.6 Multiple Vergleichsprozeduren und Konfidenzbereiche 527
11.2.7 Vergleich multipler Vergleichsprozeduren 530
11.3 Veranschaulichung der Methoden an einem Zahlenbeispiel 531
11.4 Übungsaufgaben 536
Literatur 537
X I Inhaltsverzeichnis
12 Versuchsanlagen 539
12.1 Einführung 540
12.2 Blockanlagen 543
12.2.1 Vollständig balancierte unvollständige Blockanlagen 547
12.2.2 Methoden zur Konstruktion von BUB 554
12.2.3 Teilweise balancierte unvollständige Blockanlagen 568
12.3 Zeilen-Spaltem Anlagen 573
12.4 Programme zur Konstruktion von Versuchsanlagen 577
12.5 Übungsaufgaben 577
Literatur 578
13 Lösungen und Lösungsansätze zu den Übungsaufgaben 581
Anhang A Symbolik 607
Anhang B Abkürzungen 611
Anhang C Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktionen
von Verteilungen 613
Anhang D Tabellen 615
Sachverzeichnis 623 |
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