Statistische Datenanalyse: Grundlagen und Methoden für Physiker
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Berlin ; Heidelberg
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INHALT
1. WAHRSCHEINLICHKEIT 1
1.1 DIE AXIOME 1
1.2 PHYSIKALISCHE WAHRSCHEINLICHKEIT 3
1.2.1 WAHRSCHEINLICHKEIT UND HAEUFIGKEIT 7
1.3 SUBJEKTIVE WAHRSCHEINLICHKEIT - WAHRSCHEINLICHKEIT ALS INFORMA
TIONSMASS 8
1.4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT 9
1.4.1 DAS THEOREM VON BAYES 11
2. ZUFALLSVARIABLE UND VERTEILUNGEN 15
2.1 WAHRSCHEINLICHKEITSDICHTEN 16
2.2 FUNKTIONEN VON ZUFALLSVARIABLEN 22
2.2.1 VERTEILUNG DER VERTEILUNGSFUNKTION 23
2.2.2 MAXIMA UND MINIMA VON ZUFALLSVARIABLEN 24
2.2.3 FUNKTIONEN VON ZUFALLSVARIABLEN IN MEHREREN DIMENSIONEN . 26
2.2.4 DIE FALTUNG ZWEIER VERTEILUNGEN 30
2.3 ERWARTUNGSWERTE 31
2.3.1 ERWARTUNGSWERT DER VERTEILUNGSFUNKTION 33
2.4 MOMENTE 34
2.4.1 VARIANZ 34
2.4.2 TSCHEBYSCHEWSCHE UNGLEICHUNG 36
2.4.3 ABSOLUTE, FAKTORIELLE UND NORMIERTE MOMENTE 36
2.5 MOMENTE MEHRDIMENSIONALER VERTEILUNGEN 38
2.6 KOVARIANZ 38
2.6.1 KOVARIANZMATRIX 40
2.6.2 TRANSFORMATION VON MITTELWERTEN UND KOVARIANZMATRIX . . 42
2.7 CHARAKTERISTISCHE FUNKTION 44
2.8 SPEZIELLE VERTEILUNGEN 46
2.8.1 GLEICHVERTEILUNG 47
2.8.2 LINEARE VERTEILUNG 48
2.8.3 POTENZFUNKTIONEN 49
2.8.4 EXPONENTIALVERTEILUNG 50
2.8.5 GAUSS-VERTEILUNG 51
2.8.5.1 DIE CHARAKTERISTISCHE FUNKTION DER GAUSS-VERTEILUNG . 55
2.8.5.2 ADDITIVITAET: FALTUNG ZWEIER GAUSS-VERTEILUNGEN 56
2.8.6 CHIQUADRAT-VERTEILUNG 57
2.8.7 DIE N-DIMENSIONALE GAUSS-VERTEILUNG 61
2.8.7.1 ZWEIDIMENSIONALE GAUSS-VERTEILUNG 62
2.8.8 DIE LOG-NORMALVERTEILUNG 65
2.9 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ 66
3. MESSUNG UND STICHPROBE 69
3.1 FEHLERRECHNUNG 70
3.1.1 FEHLERFORTPFLANZUNG 72
3.1.1.1 VIELE MESSWERTE 76
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VIII
3.1.2 SYSTEMATISCHE FEHLER 77
3.1.2.1 SCHAETZEN SYSTEMATISCHER FEHLER 79
3.1.2.2 EXTERNE SYSTEMATISCHE FEHLER 79
3.2 ZAEHLEN VON EREIGNISSEN 80
3.2.1 BINOMIALVERTEILUNG 82
3.2.2 MEHRERE EREIGNISSE: MULTINOMIALVERTEILUNG 85
3.2.3 POISSON-VERTEILUNG ALS GRENZFALL DER BINOMIALVERTEILUNG . . 87
3.2.3.1 EIGENSCHAFTEN DER POISSON-VERTEILUNG 89
3.2.3.2 ADDITIVITAET: FALTUNG ZWEIER POISSON-VERTEILUNGEN . 91
3.2.3.3 ZWEIDIMENSIONALE KORRELIERTE POISSON-DATEN 92
3.2.4 HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG 93
3.2.5 NEGATIVE BINOMIALVERTEILUNG 94
4. STATISTISCHE INFERENZ 97
4.1 STICHPROBENFUNKTIONEN 98
4.1.1 PUNKT- UND INTERVALLSCHAETZUNG 99
4.1.2 MESSREIHEN 101"
4.1.2.1 ERWARTUNGSTREUE SCHAETZWERTE 102
4.1.2.2 MITTELWERT BEI UNTERGRUNDSUBTRAKTION 104
4.1.2.3 EFFIZIENZ VON MITTELWERTEN 106
4.1.3 MESSREIHEN VON WERTEPAAREN 106
4.1.3.1 DIE REGRESSIONSGERADE 107
4.1.4 HISTOGRAMME: SCHAETZUNG AUS MULTINOMIALVERTEILUNGEN . . 109
4.1.4.1 DICHTEN 112
4.1.5 SCHAETZUNG AUS POISSON-VERTEILUNGEN 115
4.1.5.1 GEWICHTETE DATEN 116
4.1.5.2 SIGNAL UND UNTERGRUND 118
4.1.6 DIE EMPIRISCHE VERTEILUNGSFUNKTION 119
4.1.7 SCHAETZUNG AUS GAUSS-VERTEILUNGEN 122
4.1.8 DIE STUDENTSCHE T-VERTEILUNG 125
4.1.8.1 EIGENSCHAFTEN DER BREIT-WIGNER-VERTEILUNG 128
4.2 ERSCHOEPFENDE SCHAETZFUNKTION 129
4.3 LIKELIHOOD 131
4.3.1 LIKELIHOOD UND A POSTERIORI-WAHRSCHEINLICHKEIT 133
4.4 MAXIMUM-LIKELIHOOD-SCHAETZUNG 134
4.4.1 SCORE UND INFORMATIONSFUNKTION 137
4.5 WIRKSAMSTE SCHAETZFUNKTION 140
4.5.1 UNGLEICHUNG VON RAO UND CRAMER 141
4.5.2 ADDITION VON INFORMATION 143
4.5.3 SUFFIZIENZ UND EFFIZIENZ 144
4.5.4 FEHLER EINES MAXIMUM-LIKELIHOOD-SCHAETZWERTS 145
4.5.4.1 LIKELIHOOD-RATIO 146
4.5.5 BIAS BEIM MAXIMUM-LIKELIHOOD-FIT 148
4.5.6 OPTIMALE VARIABLEN UND ASYMMETRIEPARAMETER 149
4.6 VARIANZREDUKTION 151
4.6.1 STRATIFIED SAMPLING 152
4.7 MINIMUM-CHIQUADRAT-SCHAETZUNG 154
4.7.1 ANWENDUNG: DATEN MIT UNTERSCHIEDLICHEN FEHLERN 155
IX
4.7.2 MITTELBARE MESSUNG: FIT BEI LINEAREM ZUSAMMENHANG . . . 157
4.7.3 KURVEN-FIT 159
4.7.3.1 FIT EINER GERADEN 160
4.7.3.2 GERADEN-FIT UND REGRESSIONSGERADE 161
4.7.3.3 GERADEN-FIT BEI UNBEKANNTEN FEHLERN 162
4.7.3.4 FIT EINER FUNKTION Y = (Z) 162
4.7.4 BEURTEILUNG VON FEHLERBALKEN 164
4.7.5 FIT BEI NICHTLINEAREM ZUSAMMENHANG 165
4.7.6 AUSGLEICHSRECHNUNG MIT LINEAREN CONSTRAINTS 166
4.7.6.1 UNSCHARFE CONSTRAINTS 170
4.7.6.2 MITTELBARE MESSUNG MIT CONSTRAINTS 171
4.7.7 AUSGLEICHSRECHNUNG MIT ALLGEMEINEN CONSTRAINTS 171
4.8 FIT VON VERTEILUNGEN 174
4.8.1 MULTINOMIAL- UND POISSON-FIT AN HISTOGRAMME 174
4.8.2 MINIMUM-CHIQUADRAT-FIT 178
4.8.3 DARSTELLUNG EINER FIT-FUNKTION 179
4.8.4 MEHRDIMENSIONALE VERTEILUNGEN 180
4.8.5 EINZELWERT-FIT 181
4.8.6 PSEUDO-LIKELIHOOD-METHODEN 188
4.8.7 SCHAETZEN VON SIGNALVERTEILUNGEN 190
4.9 INTERVALLSCHAETZUNG 193
4.9.1 DIE KLASSISCHE METHODE: WAHRSCHEINLICHKEITSINFERENZ . . . 193
4.9.1.1 KONFIDENZ-OBERGRENZEN 196
4.9.1.2 KONFIDENZINTERVALLE NACH FELDMAN UND COUSINS 199
4.9.1.3 ZWEISEITIG BEGRENZTE POISSON-KONFIDENZINTERVALLE . 200
4.9.1.4 KONFIDENZINTERVALLE FUER WAHRSCHEINLICHKEITEN 202
4.9.2 DIE BAYESSCHE METHODE: LIKELIHOOD-INFERENZ 203
4.9.2.1 KONFIDENZINTERVALLE FUER WAHRSCHEINLICHKEITEN 209
4.9.3 DIE LIKELIHOOD-QUOTIENTEN-METHODE 210
4.9.4 GRENZEN UND STICHPROBENUMFANG 211
5. TESTS 213
5.1 SIGNIFIKANZTEST 213
5.1.1 EINFACHE HYPOTHESEN 218
5.1.2 INTERVALLSCHAETZUNG ALS TEST 220
5.1.3 SIGNAL UND UNTERGRUND 221
5.2 GUETE EINER ANPASSUNG 224
5.2.1 CHIQUADRAT-TEST 224
5.2.2 KOMBINATION MEHRERER CHIQUADRAT-TESTS 225
5.2.3 LIKELIHOOD-RATIO-TEST 226
5.2.4 EMPIRISCHER ANPASSUNGSTEST MITHILFE DER LOG-LIKELIHOOD . . 226
5.2.5 DER STUDENTSCHE I-TEST 227
5.2.6 KOLMOGOROW-SMIRNOW-TEST 228
5.2.6.1 VERGLEICH ZWEIER STICHPROBEN 230
6. MONTE-CARLO-RECHNUNG 233
6.1 QUASI-ZUFALLSZAHLEN 233
6.2 UNIFORME PSEUDOZUFALLSGENERATOREN 233
6.2.1 COVEYOU-GENERATOR 235
X
6.2.2 MULTIPLIKATIV KONGRUENTIELLE GENERATOREN 236
6.2.2.1 GEMISCHT KONGRUENTIELLE GENERATOREN 239
6.2.2.2 MEHRFACH KONGRUENTIELLE GENERATOREN 240
6.2.2.3 MARSAGLIA-EFFEKT 240
6.2.2.4 DER SPEKTRALTEST 242
6.2.3 FIBONACCI-GENERATOREN 242
6.2.3.1 ADD-AND-CARRY-GENERATOREN 244
6.2.4 INVERS KONGRUENTIELLE GENERATOREN 245
6.2.5 EXPLIZITE INVERS KONGRUENTIELLE GENERATOREN 245
6.3 GENERATION BELIEBIGER VERTEILUNGEN 246
6.3.1 ANALYTISCHES VERFAHREN 246
6.3.2 DISKRETISIERUNG 246
6.3.3 GENERATION DISKRETER VERTEILUNGEN 247
6.3.4 HIT OR MISS 248
6.3.4.1 HIT OR MISS IN MEHREREN DIMENSIONEN 249
6.3.5 IMPORTANCE SAMPLING 250
6.3.6 BEISPIELE: GENERATION WICHTIGER VERTEILUNGEN 251
6.3.6.1 GAUSSVERTEILTE ZUFALLSZAHLEN 251
6.3.6.2 GAMMA- UND CHIQUADRATVERTEILTE ZUFALLSZAHLEN 252
6.3.6.3 GENERATION ISOTROPER EINHEITSVEKTOREN 253
6.4 MONTE-CARLO-SIMULATION 254
6.5 MONTE-CARLO-INTEGRATION 255
6.5.1 HIT OR MISS 257
6.5.2 FUNKTIONSMITTELUNG 257
6.6 GEWICHTETE DATEN 258
ANHANG A: SPEZIELLE FUNKTIONEN 261
A.L GAMMAFUNKTION UND FAKULTAET 261
A.2 BETAFUNKTION UND BINOMIALKOEFFIZIENTEN 261
A.3 UNVOLLSTAENDIGE EXPONENTIALREIHE 262
A.4 INTEGRALE DER CHIQUADRAT-VERTEILUNG 262
A.5 GAUSSSCHES FEHLERINTEGRAL 264
A.6 DIE DIRACSCHE 5-FUNKTION 265
ANHANG B: KOMBINATORIK 266
B.L PERMUTATIONEN 266
B.2 KOMBINATIONEN 266
ANHANG C: WEITERE NUETZLICHE FORMELN 267
C.L MATRIZENRECHNUNG 267
C.2 ENDLICHE UND UNENDLICHE SUMMEN 267
LOESUNGEN DER AUFGABEN 268
ERGAENZENDE UND WEITERFUEHRENDE LITERATUR 281
FACHWOERTERVERZEICHNIS 282
ENGLISCH-DEUTSCH 282
DEUTSCH-ENGLISCH 284
STICHWORTVERZEICHNIS 287 |
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