Mathematik Abitur: das Standardwerk für Abiturienten
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| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Bibliographisches Institut
2015
|
| Edition: | 4., Aufl. |
| Series: | Basiswissen Schule
Duden |
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| Physical Description: | 496 S. Zahlreiche Tabellen, Merkkästen, Tipps und Beispiele. DVD-ROM mit Zusatztexten, Wissenstests und vielen multimedialen Elementen. 215 mm x 153 mm, 800 g |
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Inhaltsverzeichnis
3
Inhaltsverzeichnis
1.1 Mathematik und ihre grundlegenden Arbeitsmethoden 10
1.1.1 Grundlagen mathematischer Bildung.11
1.1.2 Kommunizieren, Argumentieren und Begründen.12
1.1.3 Mathematisieren und Modellieren.17
1.1.4 Lösen von Problemen . .20
1.1.5 Internet und neue Medien . .22
1.2 Grundbegriffe der Mathematik 24
1.2.1 Mengen.24
1.2.2 Logische Operationen mit Aussagen und Aussageformen . 30
1.2.3 Definitionen. 34
1.2.4 Schlussregeln. . 36
1.2.5 Beweise. . 39
I .ilt-j j'C si’-; t-:.:’!■ :·:· ֊՛
2.1 Der Begriff Zahlenfolge 44
2.2 Eigenschaften von Zahlenfolgen 46
2.2.1 Monotonie und Beschränktheit.46
2.2.2 Partialsummen. 48
2.3 Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen 49
•.'-H'YrïïicifOïflfv»։ .a|r.X? ilhri '7'·-
3.1 Der Begriff Funktion 56
3.2 Darstellung von Funktionen 58
3.3 Eigenschaften von Funktionen 60
3.3.1 Monotonie und Beschränktheit. 60
3.3.2 Symmetrie. 61
3.3.3 Periodizität. 61
3.3.4 Umkehrbarkeit. 62
3.3.5 Nullstellen. 63
3.3.6 Abschnittsweise definierte Funktionen.63
3.4 Verknüpfen und Verketten von Funktionen 65
3.5 Funktionenscharen 67
3.6 Klassen reeller Funktionen 68
3.6.1 Einteilung. 68 Überblick 69
3.6.2 Lineare Funktionen. 70
3.6.3 Quadratische Funktionen.71
3.6.4 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen. 73
3.6.5 Gebrochenrationaie Funktionen.74
3.6.6 Trigonometrische Funktionen. 75
3.6.7 Exponentialfunktionen. 81
3.6.8 Logarithmusfunktionen. 82
3.6.9 Weitere spezielle reelle Funktionen. . .84 Überblick 86
4
nhaltsverzeichnis
4.1 Lineare, quadratische, biquadratische Gleichungen 88
4.2 Gleichungen höheren Grades 90
4.3 Gleichungen mit absoluten Beträgen 93
4.4 Wurzelgleichungen 94
4.5 Goniometrische Gleichungen 95
4.6 Exponential- und Logarithmengleichungen 97
4.7 Lineare Gleichungssysteme 98
4.7.1 Gaußsches Eliminierungsverfahren.98
4.7.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen . 101
4.7.3 Determinanten; Regel von Cramer.104
4.7.4 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme. 107
4.8 Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme 110
5.1 Grenzwerte und Konvergenz von Zahlenfolgen;
Grenzwertsätze
5.2 Reihen
5.3 Grenzwerte von Funktionen; Grenzwertsätze
5.4 Stetigkeit von Funktionen
116
120
123
126
; 1^5]YV ^ f* 5
6.1 Grundbegriffe der Differenzialrechnung 130
6.1.1 Ableitung einer Funktion.130
6.1.2 Differenzierbarkeit und Stetigkeit.134
Überblick 136 6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung.135
6.2 Regeln zur Ableitung von Funktionen 137
6.2.1 Konstanten-, Potenz- und Faktorregel. 137
6.2.2 Summen-, Produkt- und Quotientenregel.138
6.2.3 Kettenregel. 140
6.2.4 Umkehrregel. 141
6.2.5 Ableitung von Funktionen in ParameterdarsteJJung. . 142
6.2.6 Partielle Ableitung von Funktionen mit zwei Variablen . 143
6.3 Ableitung elementarer Funktionen 144
6.3.1 Ableitung von Potenzfunktionen. 144
6.3.2 Ableitung von trigonometrischen Funktionen.144
Überblick 149 6.3.3 Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen . 145
6.4 Sätze über differenzierbare Funktionen 150
6.5 Untersuchung von Funktionseigenschaften 154
6.5.1 Monotonieverhalten.154
6.5.2 Extrema. . 155
6.5.3 Krümmungsverhalten und Wendestellen.162
6.5.4 Verhalten im Unendlichen.166
6.5.5 Unstetigkeitsstellen. 168
6.5.6 Beispiele für Funktionsuntersuchungen.171
6.6 Extremwertprobleme 177
6.7 Bestimmen von Funktionsgleichungen 180
6.7.1 Approximation durch Polynomfunktionen.180
6.7.2 Die taylorsche Formel für ganzrationale Funktionen.184
6.7.3 Der Satz von Taylor . . 186
6.7.4 Das Verfahren der linearen Regression . . 189 Überblick 192
6.8 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 193
6.8.1 Grafische Suche von Nullsteilen . . 193
6.8.2 Bisektionsverfahren . . 194
6.8.3 Newtonsches Näherungsverfahren . . 195
6.8.4 Allgemeines Iterationsverfahren . . 196 Überblick 198
:«§« # li Uri?] Mövhu ÖIÄltliÄiÄIfcMK;·; M; c / ·?,: ^; ;■·.·
7.1 Das unbestimmte Integral 200
7.1.1 Die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integra!. . . . 200
7.1.2 Regeln für das Ermitteln von unbestimmten Integralen. . . . . 202
7.2 Das bestimmte Integral 204
7.2.1 Flächeninhalt unter der Normalparabel . . 204
7.2.2 Der Begriff bestimmtes Integral . . 205
7.2.3 Begriffserweiterung und Eigenschaften bestimmter Integrale . . 209
7.3 Beziehung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 211
7.3.1 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze . . . . 211
7.3.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . 212
7.4 Weitere Integrationsmethoden 213
7.4.1 Integration durch lineare Substitution . . 213
7.4.2 Integration durch nichtlineare Substitution . . 213
7.4.3 Partielle Integration . . 215
7.4.4 Integration durch Partialbruchzerlegung . . 215
7.5 Berechnen bestimmter Integrale; Anwendungen 217
7.5.1 Integrationsregeln . . 217
7.5.2 Ermitteln von Flächeninhalten . . 217
7.5.3 Physikalische Probleme . . 224
7.5.4 Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern; Bogenlänge von Kurven , . 228 Überblick 233
7.6 Uneigentliche Integrale und nicht elementar integrierbare Funktionen 234
7.7 Numerische Integration 236 Überblick 238
8.1 ii" r*f;_-.y¿lg»-■ u j֊ ֊. ;.;, : u·; i:: ;՝ui·**. ;- Differenzengleichungen 240
8.1.1 Die Begriffe Differenzengleichung und Lösung einer Differenzengleichung . 240
8.1.2 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . 243
8.2 Differenzialgleichungen 246
8.2.1 Arten von Differenzialgleichungen . 246
8.2.2 Lösungsverhalten von Differenzialgleichungen . 247
8.2.3 Lösungsverfahren für Differenzialgleichungen 1. Ordnung . 250
8.2.4 Näherungsverfahren zur Lösung von Differenzialgleichungen 1. Ordnung . 253 Überblick 254
Inhai'CüVei'zeie] n i ís
Überblick 285
Überblick 297
9.1 Komplexe Zahlen als geordnete Paare reeller Zahlen
9.2 Algebraische Darstellung komplexer Zahlen
9.3 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen
9.4 Komplexe Zahlen in Exponentialform
ItijfP
256
258
260
262
_
10.1 Zur Entwicklung der analytischen Geometrie 264
10.2 Vektoren; Gleichheit, Addition und Vervielfachung 265
10.3 Parallelität, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren 271
10.4 Linearkombination von Vektoren;
Basen in der Ebene und im Raum 272
10.5 Koordinatensysteme 276
10.6 Punkte, Strecken und Dreiecke in einem
Koordinatensystem 282
10.6.1 Mittelpunkt einer Strecke in der Ebene und im Raum.282
10.6.2 Schwerpunkt eines Dreiecks. 282
10.6.3 Betrag eines Vektors; Länge einer Strecke. .283
10.6.4 Flächeninhalt eines Dreiecks.284
10.7 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 286
10.8 Skalarprodukt von Vektoren 288
10.8.1 Definition und Eigenschaften.288
10.8.2 Anwendungen des Skalarprodukts. 291
10.9 Vektorprodukt und Spatprodukt von Vektoren 293
10.9.1 Vektorprodukt. 293
10.9.2 Spatprodukt.294
10.10 Beweise unter Verwendung von Vektoren 298
10.11 Vektorräume 299
10.11.1 Der Begriff Vektorraum. 299
10.11.2 Unterräume und Erzeugendensysteme.300
10.11.3 Basen und Dimension von Unterräumen.302
11.1 Geraden in der Ebene und im Raum 304
11.1.1 Punktrichtungsgieichung einer Geraden.304
11.1.2 Zweipunktegleichung einer Geraden. 307
11.1.3 Normalform der Gleichung einer Geraden in der Ebene . . . 308
11.1.4 Lagebeziehungen von Geraden.310
Überblick 315 11.1.5 Orthogonalität und Schnittwinkel von Geraden der Ebene . 313
11.2 Ebenen im Raum 316
11.2.1 Gleichung einer Ebene in Vektorform.316
11.2.2 Gleichung einer Ebene in Koordinatenschreibweise.317
11.2.3 Hessesche Normalform der Ebenengleichung.320
11.2.4 Spezielle Ebenen. 321
11.2.5 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene.323
Überblick 329 11.2.6 Lagebeziehungen von zwei Ebenen.326
11.3 Schnittwinkelberechnungen 330
11.3.1 Schnittwinkel zweier Geraden im Raum.330
11.3.2 Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene.331
Überblick 333 11.3.3 Schnittwinkel zweier Ebenen .331
7
11.4 Abstandsberechnungen 334
11.4.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden in der Ebene
und von einer Ebene im Raum. 334
11.4.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum.336
11.4.3 Abstand von Geraden im Raum . 337
11.4.4 Abstand von Ebenen. 340 Überblick 341
11.5 Kreise und Kugeln 342
11.5.1 Gleichungen von Kreis und Kugel . 342
11.5.2 Kreis und Gerade. 346
11.5.3 Lagebeziehungen von Kreisen. 347
11.5.4 Lagebeziehungen von Kugeln, Geraden und Ebenen. . 348 Überblick 352
11.6 Kegelschnitte 353
11.6.1 Schnittfiguren eines Kegels. .353
11.6.2 Ellipse. 354
11.6.3 Hyperbel. 357
11.6.4 Parabel . 359
12.1 Der Begriff Matrix 362
12.2 Rechnen mit Matrizen 365
12.2.1 Addition und skalare Vervielfachung von Matrizen.365
12.2.2 Multiplikation von Matrizen. 366
12.2.3 Bilden inverser Matrizen .370
12.3 Rang einer Matrix; Hauptsatz über
lineare Gleichungssysteme 372
12.4 Lineare Abbildungen 374
13.1 Zufallsexperimente 378
13.1.1 Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente;
Ergebnismengen. 378
13.1.2 Zufällige Ereignisse; Verknüpfen von Ereignissen.380
13.1.3 Absolute und relative Häufigkeiten; empirisches
Gesetz der großen Zahlen. 382
13.1.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung; Rechenregeln für
Wahrscheinlichkeiten.383
13.1.5 Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen
der Ergebnismenge . 386
13.2 Glekhverteilung (Laplace-Experimente) 388
13.2.1 Der Begriff Gleichverteilung.388
13.2.2 Rechenregel für die Gleichverteilung (Laplace-Regel).389
13.2.3 Pfadregeln . .390
13.2.4 Zählprinzip bei k-Tupein. 391
13.2.5 Zählprinzip bei n-elementigen Mengen. 394
13.2.6 Urnenmodelle; Ziehen mit und ohne Zurücklegen;
hypergeometrische Verteilung.395
13.2.7 Simulation mithilfe von Zufallszahlen.398
8
Inhaltsverzeichnis
13.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 401
13.3.1 Der Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit. .401
13.3.2 Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.402
13.3.3 Unabhängigkeit von Ereignissen.404
13.4 Zufallsgrößen 406
13.4.1 Endliche Zufallsgrößen.406
13.4.2 Erwartungswert. 408
13.4.3 Streuung. 410
13.5 Binomialverteilung 414
13.5.1 Bernoulli-Experimente.414
13.5.2 Bernoulli-Ketten; binomialverteilte Zufallsgrößen .415
Überblick 420 13.5.3 Grafische Veranschaulichung der Binomialverteilung.417
13.5.4 Tabellierungen zur Binomialverteilung.421
13.5.5 Erwartungswert und Streuung binomialverteilter
Zufallsgrößen.425
13.5.6 Grenzwertsatz von Moivre-Laplace zur Binomialverteilung. . 427
13.5.7 Normalverteilung. 430
Überblick 436 13.5.8 Zentraler Grenzwertsatz.435
\‘A\ ···· :fti? lic'։?· -V·՝.·
14.1 Beschreibende Statistik 438
14.1.1 Zu Anliegen und geschichtlicher Entwicklung der
beschreibenden Statistik. 438
Überblick 444 14.1.2 Kenngrößen statistischer Erhebungen. 438
14.2 Beurteilende Statistik 445
14.2.1 Zu Anliegen und geschichtlicher Entwicklung der
beurteilenden Statistik. 445
14.2.2 Grundprobieme des Testens von Hypothesen . .445
14.2.3 Alternativtests. 449
Überblick 460 14.2.4 Signifikanztests.456
՛■ 1. Sjij^ti··li^i ՛-■ · ■
15.1 Geschichtlicher Abriss 462
15.2 Elektronische Hilfsmittel 465
15.2.1 Grafikfähige Taschenrechner.465
15.2.2 Computeralgebrasysteme.468
15.2.3 Tabellenkalkulationen. 475
15.2.4 Dynamische Geometriesoftware. . 479
.vyVjo^ioic՛:
Register. .484
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