Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen
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Inhaltsverzeichnis
1 Der Stuhl der Braut . 1
1.1 Der Satz des Pythagoras - Euklids und andere Beweise. 2
1.2 Die Vecten-Figur . 4
1.3 Der Kosinussatz . 7
1.4 Der Satz von Grebe und die Erweiterung von van Lamoen . 7
1.5 Pythagoras und Vecten in der Unterhaltungsmathematik . 9
1.6 Aufgaben . 11
2 Das Zhoubi suanjing. 15
2.1 Der Satz des Pythagoras — ein Beweis aus dem alten China . . 16
2.2 Zwei klassische Ungleichungen . 17
2.3 Zwei trigonometrische Gleichungen. 18
2.4 Aufgaben . 19
3 Das Trapez von Garfield . 21
3.1 Der Satz des Pythagoras — der Präsidenten-Beweis. 22
3.2 Ungleichungen und das Trapez von Garfield. 22
3.3 Trigonometrische Beziehungen und Identitäten. 23
3.4 Aufgaben . 26
4 Der Halbkreis . 29
4.1 Der Satz des Thaies. 30
4.2 Der Höhensatz von Euklid und der geometrische Mittelwert . . 31
4.3 Der Halbkreis von Königin Dido. 32
4.4 Die Halbkreise des Archimedes . 34
4.5 Pappos und der harmonische Mittelwert . 37
4.6 Weitere Identitäten für Winkelfunktionen . 38
4.7 Flächen und Umfänge regulärer Vielecke . 39
4.8 Euklids Konstruktion der fünf platonischen Körper . 40
4.9 Aufgaben . 41
IX
X
Inhaltsverzeichnis
5 Ähnliche Figuren . 43
5.1 Der Strahlensatz von Thaies. 44
5.2 Der Satz des Menelaos. 50
5.3 Reptiles . 51
5.4 Homothetische Funktionen . 54
5.5 Aufgaben . 56
6 Transversale des Dreiecks . 59
6. i Die Sätze von Ceva und Stewart . 61
6.2 Seitenhalbierende und der Schweipunkt . 63
6.3 Höhen und der Höhenschnittpunkt. 64
6.4 Winkelhalbierende und der Inkreismittelpunkt . 66
6.5 Der Umkreis und sein Mittelpunkt. 68
6.6 Transversale ohne gemeinsamen Schnittpunkt . 69
6.7 Der Satz von Ceva für Kreise. 70
6.8 Aufgaben . 71
7 Das rechtwinklige Dreieck . 75
7.1 Rechtwinklige Dreiecke und Ungleichungen . 76
7.2 Inkreis, Umkreis und Ankreise. 77
7.3 Transversale in rechtwinkligen Dreiecken . 81
7.4 Eine Charakterisierung pythagoreischer Tripel . 83
7.5 Einige Identitäten und Ungleichungen für Winkelfunktionen . 84
7.6 Aufgaben . 85
8 Napoleonische Dreiecke. 89
8.1 Der Satz von Napoleon. 90
8.2 Das Dreiecksproblem von Fermat . 91
8.3 Flächenbeziehungen zwischen Napoleonischen Dreiecken . 93
8.4 Der Satz von Escher . 96
8.5 Aufgaben . 97
9 Bögen und Winkel .101
9.1 Winkel und Winkelmessung.102
9.2 Winkel in Kreisen.105
9.3 Die Potenz eines Punktes .107
9.4 Der Euler’sche Dreieckssatz.109
9.5 Der Taylor-Kreis.110
9.6 Die orthoptische Kurve einer Ellipse .111
9.7 Aufgaben . 112
10 Vielecke mit Kreisen.115
10.1 Sehnenvierecke .116
10.2 Sangaku und der Satz von Carnot .119
10.3 Tangenten-und Sehnen-Tangentenvierecke .122
10.4 Der Satz von Fuß .123
Inhaltsverzeichnis
XI
10.5 Der Schmetterlingssatz.125
10.6 Aufgaben .126
11 Zwei Kreise.129
11.1 Der Augapfelsatz .130
11.2 Aus Kreisen abgeleitete Kegelschnitte .131
11.3 Gemeinsame Sehnen .133
11.4 Vesica Piscis — die Fischblase.135
11.5 Die Vesica Piscis und der Goldene Schnitt.136
11.6 Sicheln.137
11.7 Das Mondsichelrätsel.138
11.8 Das Problem von Mrs. Miniver.139
11.9 Konzentrische Kreise.140
11.10 Aufgaben .142
12 Venn-Diagramme.147
12.1 Sätze zu drei Kreisen.148
12.2 Dreiecke und sich schneidende Kreise .151
12.3 Reuleaux-Vielecke .153
12.4 Aufgaben .156
13 Überlappende Figuren.159
13.1 Der Teppich-Satz .160
13.2 Die Irrationalität von /2 und a/3 161
13.3 Eine Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln .162
13.4 Ungleichungen zwischen Mittelwerten .163
13.5 Die Tschebyschow-Ungleichung.164
13.6 Summen von dritten Potenzen .165
13.7 Aufgaben .165
14 Yin und Yang .169
14.1 Die große Monade.170
14.2 Kombinatorik mit Yin und Yang.172
14.3 Integration mithilfe der Symmetrie des Yin und Yang.174
14.4 Yin und Yang zur Unterhaltung.175
14.5 Aufgaben .177
15 Polygonzüge .179
15.1 Geraden und Strecken .180
15.2 Polygonalzahlen.182
15.3 Polygonzüge in der Integralrechnung.184
15.4 Konvexe Vielecke.185
15.5 Polygonale Zykloiden .188
15.6 Polygonale Kardioiden.192
15.7 Aufgaben .194
XII
Inhaltsverzeichnis
16 Sternpolygone .197
16.1 Die Geometrie von Sternpolygonen.198
16.2 Das Pentagramm .202
16.3 Der Davidstern.204
16.4 Der Lakshmi-Stern und das Oktagramm .207
16.5 Sternpolygone in der Unterhaltungsmathematik .210
16.6 Aufgaben .213
17 Selbstähnliche Figuren .217
17.1 Geometrische Reihen.218
17.2 Iteratives Wachstum von Figuren.220
17.3 Lässt sich Papier zwölfmal durch Falten halbieren? .222
17.4 Die Spira Mirabilis .223
17.5 Der Menger-Schwamm und der Sierpiriski-Teppich .225
17.6 Aufgaben .226
18 Tatami .229
18.1 Der Satz des Pythagoras - Beweis von Bhäskara.230
18.2 Tatamimatten und Fibonacci-Zahlen .232
18.3 Tatamimatten und Darstellungen von Quadratzahlen.233
18.4 Tatami-Ungleichungen.235
18.5 Verallgemeinerte Tatamimatten.236
18.6 Aufgaben .237
19 Rechtwinklige Hyperbeln.241
19.1 Eine Kurve, viele Definitionen .243
19.2 Die rechtwinklige Hyperbel und ihre Tangenten .244
19.3 Ungleichungen für natürliche Logarithmen .245
19.4 Der Sinus und Kosinus Hyperbolicus.248
19.5 Die Reihe der Kehrwerte der Dreieckszahlen .249
19.6 Aufgaben .249
20 Parkettierung .251
20.1 Gittermultiplikation.252
20.2 Parkettierung als Beweis verfahren.253
20.3 Parkettierung eines Rechtecks mit Rechtecken .254
20.4 Der Satz des Pythagoras — unendlich viele Beweise .255
20.5 Aufgaben .257
21 Lösungen zu den Aufgaben.259
21.1 Kapitell .259
21.2 Kapitel 2 261
21.3 Kapitel 3 262
21.4 Kapitel 4 265
21.5 Kapitel 5 268
21.6 Kapitel 6 270
Inhaltsverzeichnis XIII
21.7 Kapitel 7 274
21.8 Kapitel 8 278
21.9 Kapitel 9 281
21.10 Kapitel 10.283
21.11 Kapitelll.285
21.12 Kapitel 12.288
21.13 Kapitel 13.290
21.14 Kapitel 14.292
21.15 Kapitel 15.294
21.16 Kapitel 16.295
21.17 Kapitel 17.299
21.18 Kapitel 18.301
21.19 Kapitel 19.302
21.20 Kapitel 20 . 303
Literatur.307
Sachverzeichnis .313 |
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