Gauß und die Anfänge der nicht-euklidischen Geometrie:
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Vienna
Springer Vienna
1985
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| Item Description: | Über die philosophischen Betrachtungen, die im Zusammenhang mit der Entwicklung der Theorie der Parallelen und der nicht-euklidischen Geometrie angestellt worden sind, ist so viel geschrieben worden (schon GAUSS hat Bemerkungen dazu gemacht; siehe etwa [35, S. 27/28; vgl. S. 33/34 dieses Bandes]), daß es unmöglich ist, im Rahmen dieses Buches darauf einzugehen. Zwei der Hauptfragen, nämlich wie weit die euklidische oder die nicht-euklidische Geometrie unsere räumliche Situation erfassen können und wie es mit der inneren Widerspruchsfreiheit der nicht-euklidischen Geometrie steht, sind im Laufe meines Textes [35] immer wieder behandelt worden, so daß diese Betrachtungen hier nicht erweitert werden. Die Vorgehensweisen von GAUSS, BOLYAI und LOBATSCHEWSKI einerseits und KLEIN andererseits waren einander entgegengesetzt. Die ersteren gingen rein hypothetisch vor: Sie untersuchten die Frage, wie eine Geometrie aussehen müsse, in der das Parallelenaxiom nicht gelte, setzten also voraus, daß es eine solche Geometrie gibt, und mußten damit rechnen, daß bei noch weitergehenden Untersuchungen Widersprüche auftauchen würden. Sie zeigten also: Es gibt im wesentlichen höchstens eine solche Geometrie. KLEIN dagegen gab ein konkretes Beispiel für eine solche Geometrie an, indem er die auf der projektiven Maßbestimmung beruhende Cayleysche Geometrie als Modell für eine nicht-euklidische Geometrie erkannte. Da dieses Modell auf der projektiven Geometrie beruhte, die man als widerspruchsfrei ansieht, hatte er damit ein Modell für die nicht-euklidische Geometrie angegeben |
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