Idealtheorie:
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| Published: |
Berlin, Heidelberg
Springer Berlin Heidelberg
1935
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| Series: | Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete
3 |
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| Item Description: | Den Gegenstand des Berichts bildet die Entwicklung der modernen Idealtheorie als einer selbständigen Disziplin im Rahmen der allgemeinen Algebra und Arithmetik unter ausschließlicher Beschränkung auf den kommutativen Fall. Die moderne Idealtheorie geht einerseits auf die DEDEKINDsche Behandlung der endlichen algebraischen Zahlkörper, andererseits auf die KRONECKER-LASKER-MACAULAYschen Untersuchungen über Polynom moduln zurück. Entscheidend war die 1919 von E. NOETHER gemachte Entdeckung, daß allein mit Hilfe des von DEDEKIND stammenden abstrakten "Teilerkettensatzes" die wichtigsten Zerlegungssätze von LASKER und MACAULAY in äußerst durchsichtiger Weise abgeleitet und weitgehend verallgemeinert werden können. Ihrem doppelten Ursprung entsprechend hat die moderne Idealtheorie zwei grundsätzlich verschiedene Aufgaben: Auf der einen Seite (KRONECKER-LASKER-MACAULAYsche Richtung) handelt es sich darum, in einem Ringe ffi, der im allgemeinen auch mit Nullteilern behaftet sein darf, die Zerlegungen der einzelnen ("ganzen") Ideale zu untersuchen, wobei diese Ideale als "ffi-Moduln", d. h. als additive ABELsche Gruppen mit ffi als multiplikativem Operatorenbereich aufgefaßt werden. Auf der anderen Seite (DEDEKINDsche Richtung) geht man von einem Körper Sf aus, in dem ein "ganz abgeschlossener" Integritätsbereich ~ ausgezeichnet ist, und stellt sich die Aufgabe, durch Untersuchung der multiplikativen Gruppe aller in Sf liegenden ("ganzen" und "nicht ganzen") "umkehrbaren" ~-Ideale einen Einblick in die Teilbarkeitsverhältnisse der Elemente von Sf hinsichtlich ~ zu gewinnen. Um den Unterschied zwischen beiden Richtungen kurz zu charakterisieren, spreche ich von einer "additiven" und einer "multiplikativen" Idealtheorie. (Ausführliche Entwicklung der Grundlagen und Gegenüberstellung der charakteristischen Probleme beider Richtungen in § 1.) |
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