Galoissche Theorie der p-Erweiterungen:
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| Language: | German |
| Published: |
Berlin, Heidelberg
Springer Berlin Heidelberg
1970
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| Online Access: | Volltext |
| Item Description: | In diesem Buch wird ein ziemlich junges Gebiet der algebraischen Zahlentheorie behandelt. Es geht um die algebraische Theorie der p-Erweiterungen, die sich in den letzten 25 Jahren entwickelte und jetzt einen Vollkommenheitsgrad erreicht hat, welcher eine systematische Darstellung im höchsten Maße wünschenswert erscheinen läßt. Diese Richtung in der Arithmetik beschäftigt sich mit der Theorie der endlichen Erweiterungen von Körpern arithmetischen Typs. Das sind die . )J-adischen Zahlkörper, die Körper der formalen Potenzreihen mit endlichen Konstantenkörpern, die algebraischen Zahlkörper und die algebraischen Funktionenkörper in einer Unbestimmten mit endlichem Konstantenkörper. Ihr Hauptziel besteht darin, über die Informationen hinauszugelangen, welche die klassische Klassenkörpertheorie liefert, die bekanntlich einen Überblick über die Erweiterungen mit kommutativer Galoisscher Gruppe gibt. Die Kommutativität der Galoisschen Gruppe ist dabei sehr wesentlich. Die Klassenkörpertheorie ist dadurch ideenmäßig eng verbunden mit einem weiten Kreis mathematischer Theorien: von der Theorie der Radikalerweiterungen (die jetzt als Kummersche Theorie bezeichnet wird) bis zu topologischen Dualitatssätzen, der Theorie der abelschen und harmonischen Integrale und den Picard-Mannigfaltigkeiten. Die gruppentheoretische Grundlage aller dieser Fragen ist die Pontrjagin-Dualität kommutativer Gruppen und ihrer Charaktergruppen. Es ist dies der Tell der Mathematik, den A. WElL als "abelsche Mathematik" bezeichnet hat. Bekanntlich ging HILBERT beim Aufbau der Klassenkörpertheorie von der Analogie zwischen algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, d. h. den Körpern der meromorphen Funktionen auf kompakten Riemannschen Flächen, aus. Von diesem Gesichtspunkt aus muß eine "nichtkommutative" Verallgemeinerung der Klassenkörpertheorie der Untersuchung der Fundamentalgruppe einer Riemannschen Fläche entsprechen, die bekanntlich nichtkommutativ ist |
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