Transfinite Zahlen - Bachmann, Heinz (Springer Berlin Heidelberg, 1955)
Der vorliegende Bericht soll dem Leser die Ergebnisse und Probleme der Theorie der transfiniten Zahlen (Ordnungszahlen und Mächtigkeiten) nach ihrem heutigen Stande vermitteln, wobei die arithmetischen Fragen ziemlich erschöpfend erörtert werden, während auf axiomatische Fragen weniger stark eingegangen wird. Die Grundlage bildet dabei das ZERMELO-FRAENKELsche Axiomensystem der Mengenlehre; die Anwendung des Auswahlaxioms wird stets hervorgehoben. Um die Beschränkung auf einen bestimmten Formalismus zu vermeiden und zwecks besserer Lesbarkeit ist alles in der Sprache der naiven Mengenlehre formuliert. Nach einer allgemeinen Einleitung findet der Leser eine Darstellung der Theorie der Ordnungszahlen, wobei das Auswahlaxiom nur in Ausnahmefällen verwendet wird. Die neuen Ergebnisse über Normalfunktionen (§§7, 16) und über regressive Funktionen (§ 9) sowie die einfache Darstellung der Theorie der Hauptzahlen (§§ 15,16) dürften dabei besonders von Interesse sein. Sodann folgt die Theorie der Mächtigkeiten; zuerst wird gezeigt, welche ersten Schritte in dieser Theorie ohne Auswahlaxiom ausgeführt werden können; dann wird die Theorie unter Verwendung des Auswahlaxioms (und ausführlicher) weiter entwickelt. Den Äquivalenzen zum Auswahlaxiom (§ 31) und zur Alephhypothese (§ 35) sowie den unerreichbaren Zahlen (§§ 40-42) wird besondere Beachtung geschenkt. Auf das Problem der formalen Darstellung von Ordnungszahlen, auf Anwendungen der transfiniten Zahlen in der Theorie der Punktmengen und andere Anwendungen konnte wegen des beschränkten zur Verfügung stehenden Raumes nicht stark eingegangen werden. Am Schluß findet sich ein Literaturverzeichnis, in dem die modernen Arbeiten fast vollständig, die älteren nur teilweise aufgeführt sind, sowie ein Sachverzeichnis