Numerik linearer Gleichungssysteme: eine Einführung in moderne Verfahren
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Wiesbaden
Springer Spektrum
[2015]
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INHALTSVERZEICHNIS
1 BEISPIELE FUER DAS AUFTRETEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 1
2 GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA 7
2.1 VEKTORNORMEN UND SKALARPRODUKT 7
2.2 LINEARE OPERATOREN, MATRIZEN UND MATRIXNORMEN 13
2.3 KONDITIONSZAHL UND SINGULARE WERTE 25
2.4 DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ 29
2.5 UEBUNGSAUFGABEN 33
3 DIREKTE VERFAHREN 36
3.1 GAUSS-ELIMINATION 36
3.2 CHOLESKY-ZERLEGUNG 46
3.3 QR-ZERLEGUNG 49
3.3.1 DAS GRAM-SCHMIDT-VERFAHREN 49
3.3.2 DIE QR-ZERLEGUNG NACH GIVENS 55
3.3.3 DIE QR-ZERLEGUNG NACH HOUSEHOLDER 59
3.4 UEBUNGSAUFGABEN 66
4 ITERATIVE VERFAHREN 69
4.1 SPLITTING-METHODEN 72
4.1.1 JACOBI-VERFAHREN 76
4.1.2 GAUSS-SEIDEL-VERFAHREN 82
4.1.3 RELAXATIONSVERFAHREN 85
4.1.3.1 J ACOBI-RELAXATIONSVERFAHREN 86
4.1.3.2 GAUSS-SEIDEL-RELAXATIONSVERFAHREN 89
4.1.4 RICHARDSON-VERFAHREN 97
4.1.5 SYMMETRISCHE SPLITTING-METHODEN 101
4.2 MEHRGITTERVERFAHREN 106
4.2.1 ZWEIGITTERVERFAHREN 126
4.2.2 DER MEHRGITTERALGORITHMUS 136
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XII INHALTSVERZEICHNIS
4.2.3 DAS VOLLSTAENDIGE MEHRGITTERVERFAHREN 140
4.3 PROJEKTIONSMETHODEN UND KRYLOV-UNTERRAUM-VERFAHREN 142
4.3.1 VERFAHREN FUER SYMMETRISCHE, POSITIV DEFINITE MATRIZEN 145
4.3.1.1 DIE METHODE DES STEILSTEN ABSTIEGS 148
4.3.1.2 DAS VERFAHREN DER KONJUGIERTEN RICHTUNGEN 154
4.3.1.3 DAS VERFAHREN DER KONJUGIERTEN GRADIENTEN 156
4.3.2 VERFAHREN FUER REGULAERE MATRIZEN 165
4.3.2.1 DER ARNOLDI-ALGORITHMUS UND DIE FOM 165
4.3.2.2 DER LANCZOS-ALGORITHMUS UND DIE D-LANCZOS-METHODE . . 170
4.3.2.3 DER BI-LANCZOS-ALGORITHMUS 174
4.3.2.4 DAS GMRES-VERFAHREN 179
4.3.2.5 DAS BICG-VERFAHREN 194
4.3.2.6 DAS CGS-VERFAHREN 201
4.3.2.7 DAS BICGSTAB-VERFAHREN 204
4.3.2.8 DAS TFQMR-VERFAHREN 210
4.3.2.9 DAS QMRCGSTAB-VERFAHREN 219
4.3.2.10 KONVERGENZANALYSEN 222
4.4 UEBUNGSAUFGABEN 224
5 PRAEKONDITIONIERER 230
5.1 SKALIERUNGEN 231
5.2 POLYNOMIALE PRAEKONDITIONER 234
5.3 SPLITTING-ASSOZIIERTE PRAEKONDITIONIERER 237
5.4 DIE UNVOLLSTAENDIGE LU-ZERLEGUNG 238
5.5 DIE UNVOLLSTAENDIGE CHOLESKY-ZERLEGUNG 241
5.6 DIE UNVOLLSTAENDIGE QR-ZERLEGUNG 242
5.7 DIE UNVOLLSTAENDIGE FROBENIUS-INVERSE 244
5.8 DAS PRAEKONDITIONIERTE CG-VERFAHREN 246
5.9 DAS PRAEKONDITIONIERTE BICGSTAB-VERFAHREN 249
5.10 VERGLEICH DER
PRAEKONDITIONIERER 251
5.11 UEBUNGSAUFGABEN 255
A IMPLEMENTIERUNGEN IN MATLAB 256
LITERATURVERZEICHNIS 269
INDEX 274
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