Diskrete Mathematik mit Grundlagen: Lehrbuch für Studierende von MINT-Fächern
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Wiesbaden
Springer Vieweg
2014
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INHALTSVERZEICHNIS
1 GRUNDLAGEN DER MATHEMATIK 1
1.1 EINFUEHRUNG 1
1.2 AUSSAGENLOGIK 3
1.2.1 AUSSAGEN UND WAHRHEITSWERTE 3
1.2.2 AUSSAGENVERKNUEPFUNGEN 4
1.2.3 LOGISCHE AEQUIVALENZREGELN 8
1.2.4 LOGISCHE SCHLUSSREGELN 10
1.3 PRAEDIKATENLOGIK 13
1.3.1 AUSSAGEFORMEN, VARIABLE UND PRAEDIKATE 13
1.3.2 QUANTOREN 14
1.4 UEBUNGSAUFGABEN 17
2 MENGENLEHRE 21
2.1 GRUNDLAGEN 21
2.1.1 DEFINITION 21
2.1.2 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN VON MENGEN 22
2.1.3 DARSTELLUNG VON MENGEN 23
2.1.4 VERKNUEPFUNGEN VON MENGEN 26
2.2 RELATIONEN 33
2.2.1 BESONDERE EIGENSCHAFTEN VON RELATIONEN 35
2.2.2 AQUIVALENZRELATIONEN 36
2.2.3 ORDNUNGSRELATIONEN 41
2.2.4 GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON RELATIONEN AUF ENDLICHEN MEN
GEN M 46
2.2.5 VERALLGEMEINERUNG DES RELATIONSBEGRIFFS FUER VERSCHIEDENE MEN
GEN 50 ,
2.3 PUNKTIONEN 51
2.3.1 KOMPOSITION VON RELATIONEN UND FUNKTIONEN 53
2.3.2 INVERSE RELATIONEN UND FUNKTIONEN 55
2.3.3 MAECHTIGKEIT VON MENGEN 57
2.4 BOOLESCHE ALGEBREN 62
2.4.1 MOTIVATION AUS AUSSAGENLOGIK UND MENGENLEHRE 62
2.4.2 FORMALE DEFINITION VON BOOLESCHEN ALGEBREN 64
2.4.3 BEISPIELE FUER BOOLESCHE ALGEBREN:
SCHALTFUNKTIONEN UND TEILER-
ALGEBRA 66
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XII
INHALTSVERZEICHNIS
2.5 UEBUNGSAUFGABEN 69
3 BEWEISVERFAHREN 79
3.1 GRUNDBEGRIFFE DER MATHEMATIK 79
3.1.1 DEFINITION 79
3.1.2 AUSSAGEN: SATZ, LEMMA, KOROLLAR 80
3.1.3 BEWEIS 81
3.1.4 AXIOM 82
3.1.5 DAS AXIOMENSYSTEM VON PEANO FUER DIE NATUERLICHEN ZAHLEN . 84
3.2 VOLLSTAENDIGE INDUKTION 87
3.2.1 GRUNDPRINZIP 87
3.2.2 VERALLGEMEINERTES GRUNDPRINZIP 90
3.2.3 ANWENDUNG AUF INDUKTIVE DEFINITIONEN 92
3.2.4 ANWENDUNG AUF ALLGEMEINE REKURSIVE DEFINITIONEN 94
3.3 ALLGEMEINE BEWEISSTRATEGIEN 98
3.3.1 DIREKTER BEWEIS 98
3.3.2 BEWEIS DURCH KONTRAPOSITION 99
3.3.3 INDIREKTER BEWEIS 100
3.3.4 BEWEISE VON AEQUIVALENZAUSSAGEN 101
3.3.5 BEWEISE DURCH FALLUNTERSCHEIDUNG 102
3.3.6 ABZAEHLBEWEISE 103
3.4 UEBUNGSAUFGABEN 105
4 ZAHLENTHEORIE 113
4.1 TEILBARKEIT 113
4.1.1 DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 113
4.1.2 GROESSENBESCHRAENKUNGEN FUER TEILER UND VIELFACHE 115
4.1.3 ZAHLENDARSTELLUNGEN MIT HILFE VON ZAHLENBASEN UND DAVON
ABHAENGIGE TEILBARKEITSREGELN 116
4.1.4 GROESSTER GEMEINSAMER TEILER UND KLEINSTES GEMEINSAMES VIEL
FACHES 121
4.2 DIVISION MIT REST 126
4.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE 126
4.2.2 EUKLIDISCHER ALGORITHMUS 128
4.3 PRIMZAHLEN 133
4.3.1 BEDEUTUNG UND BESTIMMUNG VON PRIMZAHLEN 133
4.3.2 HAUPTSATZ DER ELEMENTAREN ZAHLENTHEORIE UND ANWENDUNGEN 137
4.4 MODULARE ARITHMETIK 140
4.4.1 MODULARE KONGRUENZ 140
4.4.2 RECHNEN MIT RESTKLASSEN 143
4.5 UEBUNGSAUFGABEN 148
INHALTSVERZEICHNIS XIII
5 ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 153
5.1 GRUPPEN 153
5.1.1 BEISPIELE FUER UNENDLICHE GRUPPEN 154
5.1.2 BEISPIELE FUER ENDLICHE GRUPPEN 157
5.1.3 GRUPPENISOMORPHIE UND IHRE INVARIANTEN 164
5.2 KOERPER 172
5.2.1 BEISPIELE FUER UNENDLICHE KOERPER UND RINGE 175
5.2.2 ENDLICHE KOERPER 177
5.2.3 POLYNOME UEBER ENDLICHEN KOERPERN 181
5.2.4 ANLEITUNG FUER DIE KONSTRUKTION ALLER ENDLICHEN KOERPER . . . 192
5.3 ANWENDUNG ENDLICHER KOERPER IN CODIERUNG UND KRYPTOGRAPHIE . . 196
5.4 UEBUNGSAUFGABEN 197
6 KOMBINATORIK 205
6.1 ZAEHLFORMELN FUER ENDLICHE MENGEN 205
6.1.1 DISJUNKTE VEREINIGUNGEN UND MENGENPRODUKTE 205
6.1.2 PERMUTATIONEN 207
6.1.3 INKLUSION UND EXKLUSION BEI BELIEBIGEN VEREINIGUNGEN . . . 209
6.1.4 ANZAHL VON TEILMENGEN 211
6.1.5 RECHNEN MIT BINOMIALKOEFFIZIENTEN 214
6.2 EIGENSCHAFTEN VON PERMUTATIONEN 216
6.2.1 DIE VERSCHIEDENEN DARSTELLUNGSARTEN VON PERMUTATIONEN . . 216
6.2.2 KOMPOSITION VON PERMUTATIONEN 220
6.2.3 TRANSPOSITIONEN 221
6.2.4 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KOMBINATORIK, GEOMETRIE UND GRUP-
PENTHEORIE 224
6.3 UEBUNGSAUFGABEN 227
7 GRAPHENTHEORIE 231
7.1 TERMINOLOGIE UND REPRAESENTATION VON GRAPHEN 231
7.1.1 ISOMORPHIE VON GRAPHEN 233
7.1.2 WEITERE ELEMENTARE BEGRIFFE DER GRAPHENTHEORIE 236
7.1.3 DARSTELLUNG VON GRAPHEN IM COMPUTER 241
7.2 WEGE IN GRAPHEN 245
7.2.1 EULERWEGE UND HAMILTONWEGE 245
7.2.2 KUERZESTE WEGE IN BEWERTETEN GRAPHEN 252
7.3 BAEUME UND WAELDER 260
7.3.1 AUFSPANNENDE BAEUME ODER GERUESTE 261
7.3.2 WURZELBAEUME 267
7.4 PLANARE GRAPHEN 269
7.4.1 EBENE DARSTELLUNGEN EINES PLANAREN GRAPHEN UND IHRE GEBIETE270
7.4.2 KOMBINATORISCHE CHARAKTERISIERUNG VON PLANAREN GRAPHEN . 274
7.5 FAERBUNGEN VON GRAPHEN 279
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
7.5.1 DAS 4-FARBEN-PROBLEM ALS MOTIVATION 279
7.5.2 ECKENFAERBUNGEN 280
7.5.3 ANDERE FAERBUNGEN 283
7.6 UEBUNGSAUFGABEN 289
LITERATURVERZEICHNIS 295
SYMBOLVERZEICHNIS 297
INDEX 301 |
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