Schöne Sätze der Mathematik: ein Überblick mit kurzen Beweisen
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Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2015
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INHALTSVERZEICHNIS
1 MENGENLEHRE 1
1.1 EINFUEHRUNG 1
1.2 ABZAEHLBARE MENGEN 1
1.3 DIE REELLEN ZAHLEN 4
1.4 KARDINALZAHLEN 6
1.5 DAS AUSWAHLAXIOM UND SEINE KONSEQUENZEN 10
1.6 ORDINALZAHLEN 13
2 DISKRETE MATHEMATIK 17
2.1 EINFUEHRUNG 17
2.2 FAKULTAETEN UND BINOMIALKOEFFIZIENTEN 18
2.3 DAS SCHUBFACHPRINZIP 21
2.4 DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP 23
2.5 BAEUME UND CATALAN-ZAHLEN 25
2.6 EULER-WEGE 29
2.7 DIE RAMSEY-THEORIE 31
2.8 DAS LEMMA VON SPERNER UND DER FIXPUNKTSATZ VON BROUWER . 33
3 GEOMETRIE 37
3.1 EINFUEHRUNG 37
3.2 DREIECKE 38
3.3 VIERECKE 43
3.4 DER GOLDENE
SCHNITT 45
3.5 KONSTRUKTIONEN MIT ZIRKEL UND LINEAL 47
3.6 GERADEN IN DER EBENE 48
3.7 POLYEDER 50
3.8 NICHTEUKLIDISCHE GEOMETRIE 52
VII
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VIII
INHALTSVERZEICHNIS
4 ANALYSIS 55
4.1 EINFUEHRUNG 55
4.2 GEOMETRISCHE UND HARMONISCHE REIHEN 56
4.3 UNGLEICHUNGEN 58
4.4 ZWISCHENWERTSATZ, MITTELWERTSAETZE UND DER HAUPTSATZ 60
4.5 TAYLOR-REIHEN 63
4.6 DIE ARCHIMEDES-KONSTANTE IT 67
4.7 DIE EULERSCHE ZAHL
E
72
4.8 DIE GAMMA-FUNKTION 76
4.9 BERNOULLI-ZAHLEN 79
5 TOPOLOGIE 83
5.1 EINFUEHRUNG 83
5.2 KOMPAKTHEIT UND VOLLSTAENDIGKEIT 84
5.3 HOMOEOMORPHE RAEUME 87
5.4 DIE PEANO-KURVE 88
5.5 DER HILBERT-WUERFEL 90
5.6 DIE CANTOR-MENGE 93
5.7 BAIRESCHE KATEGORIEN 96
5.8 DER FIXPUNKTSATZ VON BANACH UND FRAKTALE 101
6 ALGEBRA 105
6.1 EINFUEHRUNG 105
6.2 DETERMINANTEN UND EIGENWERTE 106
6.3 GRUPPENTHEORIE 109
6.4 RINGE 112
6.5 EINHEITEN, KOERPER UND DIE EULER-FUNKTION 116
6.6 DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 118
6.7 LOESUNGEN VON ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN 1
20
7 ZAHLENTHEORIE 125
7.1 EINFUEHRUNG 125
7.2 FIBONACCI-ZAHLEN 126
7.3 PRIMZAHLEN 128
7.4 DIOPHANTISCHE GLEICHUNGEN 134
7.5 DIE PARTITION VON ZAHLEN 137
7.6 IRRATIONALE ZAHLEN 140
7.7 DER SATZ VON DIRICHLET 142
7.8 PISOT-ZAHLEN 144
7.9 LIOUVILLE-ZAHLEN 145
8 WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 149
8.1 EINFUEHRUNG 149
8.2 DAS GEBURTSTAGSPROBLEM 150
8.3 DER SATZ VON BAYES 152
INHALTSVERZEICHNIS IX
8.4 DIE BUFFONSCHE NADEL 153
8.5 ERWARTUNGSWERT, VARIANZ UND DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN . 155
8.6 DIE BINOMIAL-UND DIE POISSON-VERTEILUNG 159
8.7 NORMALVERTEILUNG 161
9 DYNAMISCHE SYSTEME 165
9.1 EINFUEHRUNG 165
9.2 PERIODISCHE ORBITS 166
9.3 CHAOS 167
9.4 KONJUGIERTE SYSTEME 169
9.5 HUFEISEN, SOLENOID UND JULIA-MENGEN 172
9.6 DIE ERGODENTHEORIE 176
10 VERMUTUNGEN 181
10.1 EINFUEHRUNG 181
10.2 DAS COLLATZ-PROBLEM 182
10.3 RAMSEY-ZAHLEN 182
10.4 DIE GOLDBACHSCHE VERMUTUNG 183
10.5 PRIMZAHLZWILLINGE 184
10.6 DIE RIEMANNSCHE VERMUTUNG 184
10.7 VOLLKOMMENE, EINSAME UND BEFREUNDETE
ZAHLEN 185
10.8 IRRATIONALE UND TRANSZENDENTE ZAHLEN 187
10.9 NORMALE ZAHLEN 189
11 ANHANG 191
11.1 MENGEN 191
11.2 RELATIONEN 192
11.3 FUNKTIONEN UND FOLGEN 193
11.4 ZAHLEN 194
11.5 GRUNDBEGRIFFE DER LINEAREN ALGEBRA 195
11.6 GRUNDBEGRIFFE DER ANALYSIS UND DER TOPOLOGIE 196
11.7 MASS UND INTEGRATION 198
LITERATUR 201
PERSONENINDEX 205
SACHINDEX 207 |
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