(Hoch)Schulmathematik: ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni
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Wiesbaden [u.a.]
Springer Spektrum
2015
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INHALT
I FORMALES FUNDAMENT 1
1 EIN WENIG LOGIK 3
1.1 AUSSAGENLOGIK 3
1.1.1 AUSSAGEN 3
1.1.2 JUNKTOREN 5
1.1.3 *NICHT" 6
1.1.4 *UND" 7
1.1.5 *(ENTWEDER) ODER" 7
1.1.6 *WENN ., DANN ." 7
1.1.7 *. GENAU DANN, WENN ." 8
1.1.8 AUSSAGENLOGISCHE FORMELN 9
1.1.9 AUSSAGENLOGISCHE AEQUIVALENZ 10
1.2 AUSBLICK AUF DIE PRAEDIKATENLOGIK 14
1.2.1 PRAEDIKATE UND INDIVIDUEN 14
1.2.2 DER ALLQUANTOR 15
1.2.3 DER EXISTENZQUANTOR 16
2 BEWEISMETHODEN 19
2.1 EXKURS: GRUNDWISSEN UEBER ZAHLEN 19
2.2 DIREKTER BEWEIS 21
2.3 INDIREKTER BEWEIS 25
2.3.1 KONTRAPOSITION 25
2.3.2 WIDERSPRUCHSBEWEIS 27
2.4 BEWEIS DURCH VOLLSTAENDIGE INDUKTION 30
3 MENGEN UND ABBILDUNGEN 37
3.1 MENGEN 37
3.1.1 DER MENGENBEGRIFF 37
3.1.2 TEILMENGEN UND MENGENOPERATIONEN 39
3.2 ABBILDUNGEN 44
3.2.1 DER ABBILDUNGSBEGRIFF 45
3.2.2 BILD- UND URBILDMENGE 46
3.2.3 IN-, SUR- UND BIJEKTIVITAET 48
3.2.4 VERKETTUNG UND UMKEHRABBILDUNG 50
3.2.5 MAECHTIGKEITSVERGLEICHE UNENDLICHER MENGEN 54
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VIII
INHALT
II ANFANGE DER ANALYSIS 59
4 GRENZWERTE VON FOLGEN UND REIHEN 61
4.1 FOLGEN 61
4.1.1 DER GRENZWERTBEGRIFF 61
4.1.2 DIE GRENZWERTSAETZE 69
4.1.3 EXKURS: DIE VOLLSTAENDIGKEIT VON R 72
4.1.4 AUSBLICK: CAUCHYFOLGEN 74
4.1.5 MONOTONE FOLGEN 75
4.1.6 REKURSIVE FOLGEN 77
4.2 REIHEN 83
4.2.1 REIHEN ALS SPEZIELLE FOLGEN 83
4.2.2 DIE GEOMETRISCHE REIHE 86
4.2.3 DIE EULERSCHE ZAHL 91
4.2.4 KONVERGENZKRITERIEN FUER REIHEN 94
4.2.5 AUSBLICK: POTENZREIHEN 98
4.2.6 AUSBLICK: E-FUNKTION UND NATUERLICHER LOGARITHMUS 101
5 GRUNDWISSEN DIFFERENZIALRECHNUNG 105
5.1 DIE ABLEITUNG 105
5.1.1 DIE STEIGUNG EINER KURVE 105
5.1.2 DER GRENZWERT DER SEKANTENSTEIGUNGEN 107
5.1.3 DIE TANGENTENGLEICHUNG 111
5.1.4 LINEARE APPROXIMATION 113
5.1.5 DIFFERENZIERBARKEIT 114
5.2 ABLEITUNGSREGELN 120
5.2.1 FAKTOR- UND SUMMENREGEL 120
5.2.2 DIE POTENZREGEL 121
5.2.3 DIE ABLEITUNG VON SINUS UND COSINUS 122
5.2.4 DIE PRODUKTREGEL 125
5.2.5 DIE KETTENREGEL 127
5.2.6 ABLEITUNG DER UMKEHRFUNKTION 131
5.2.7 DIE QUOTIENTENREGEL 134
5.2.8 VERMISCHTE UEBUNGEN 135
5.3 AUSBLICK: ABLEITEN VON POTENZREIHEN 136
5.4 AUSBLICK: TAYLORREIHEN 137
6 GRUNDWISSEN INTEGRALRECHNUNG 143
6.1 STAMMFUNKTIONEN 143
6.2 DAS BESTIMMTE INTEGRAL 147
6.2.1 DIE STREIFENMETHODE 147
6.2.2 DAS DARBOUX-INTEGRAL 152
6.2.3 DAS RIEMANN-INTEGRAL 156
6.2.4 INTEGRAL UND FLAECHE 161
6.3 DER HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 163
6.4 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 168
INHALT IX
III RECHENFERTIGKEITEN 171
7 LOESEN VON (UN)GLEICHUNGEN 173
7.1 POLYNOM(UN)GLEICHUNGEN 173
7.1.1 LINEARE UND QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 173
7.1.2 GLEICHUNGEN HOEHEREN GRADES 174
7.1.3 POLYNOMUNGLEICHUNGEN 177
7.2 BRUCH(UN)GLEICHUNGEN 181
7.2.1 BRUCHGLEICHUNGEN 181
7.2.2 BRUCHUNGLEICHUNGEN 182
7.3 WURZEL(UN)GLEICHUNGEN 186
7.3.1 WURZELGLEICHUNGEN 186
7.3.2 WURZELUNGLEICHUNGEN 187
7.4 BETRAGS(UN)GLEICHUNGEN 188
7.4.1 BETRAGSGLEICHUNGEN UND BETRAGSFUNKTIONEN 188
7.4.2 BETRAGSUNGLEICHUNGEN 192
7.5 EXPONENTIAL(UN)GLEICHUNGEN 193
7.5.1 EXPONENTIALGLEICHUNGEN 193
7.5.2 EXPONENTIALUNGLEICHUNGEN 196
8 DIE KUNST DES INTEGRIERENS 198
8.1 PRODUKTINTEGRATION 198
8.2 INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION 203
8.2.1 DIE SUBSTITUTIONSREGEL 203
8.2.2 TRIGONOMETRISCHE SUBSTITUTION 206
8.2.3 HYPERBOLISCHE SUBSTITUTION 214
8.3 INTEGRATION DURCH PARTIALBRUCHZERLEGUNG 217
8.4 VERMISCHTE UEBUNGEN 221
IV ABSTRAKTE ALGEBRA 223
9 KOMPLEXE ZAHLEN 225
9.1 UEBERBLICK UEBER DIE BEKANNTEN ZAHLBEREICHE 225
9.2 EINFUEHRUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN C 226
9.2.1 KONSTRUKTION VON C 226
9.2.2 RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 230
9.2.3 KOMPLEXE KONJUGATION UND BETRAG 233
9.3 DER KOERPER DER KOMPLEXEN ZAHLEN 236
9.3.1 WAS IST EIN KOERPER? 236
9.3.2 UNMOEGLICHKEIT DER ANORDNUNG VON C 241
9.3.3 AUSBLICK: DER QUATERNIONENSCHIEFKOERPER 242
9.4 POLARFORM KOMPLEXER ZAHLEN 245
9.4.1 POLARKOORDINATEN 245
9.4.2 EULERS IDENTITAET 246
9.4.3 MULTIPLIKATION IN POLARFORM 248
X
INHALT
9.4.4 KOMPLEXE QUADRATWURZELN 249
9.4.5 EXKURS: BEWEIS TRIGONOMETRISCHER IDENTITAETEN 254
9.5 ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN IN C 255
9.5.1 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 255
9.5.2 DIE KREISTEILUNGSGLEICHUNG 257
9.5.3 AUSBLICK: DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 260
10 GRUNDZUEGE DER LINEAREN ALGEBRA 263
10.1 VEKTORRAEUME 263
10.1.1 ZWEI NUR AUF DEN ERSTEN BLICK VERSCHIEDENE BEISPIELE 263
10.1.2 DIE VEKTORRAUMAXIOME 265
10.1.3 BEISPIELE FUER VEKTORRAEUME 267
10.1.4 UNTERVEKTORRAEUME 272
10.1.5 BASIS UND DIMENSION 275
10.2 LINEARE ABBILDUNGEN 282
10.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE LINEARER ABBILDUNGEN 283
10.2.2 KERN UND BILD EINER LINEAREN ABBILDUNG 287
10.2.3 ISOMORPHIE 293
10.3 MATRIZEN 297
10.3.1 DIE MATRIX EINER LINEAREN ABBILDUNG 297
10.3.2 DAS MATRIXPRODUKT 306
10.4 AUSBLICK: LGS UND DETERMINANTEN 311
10.4.1 HOMOGENE LGS 311
10.4.2 DIE DETERMINANTE 315
10.4.3 INHOMOGENE LGS 317
V ANHANG 321
11 LOESUNGEN ZU DEN UEBUNGSAUFGABEN 323
11.1 LOESUNGEN ZU KAPITEL 1 323
11.2 LOESUNGEN ZU KAPITEL 2 328
11.3 LOESUNGEN ZU KAPITEL 3 340
11.4 LOESUNGEN ZU KAPITEL 4 349
11.5 LOESUNGEN ZU KAPITEL 5 364
11.6 LOESUNGEN ZU KAPITEL 6 369
11.7 LOESUNGEN ZU KAPITEL 7 373
11.8 LOESUNGEN ZU KAPITEL 8 388
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