Komplexe Integration: [angewandte Funktionentheorie für Naturwissenschaftler]
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Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2014
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| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
1 GRUNDLAGEN 1
1.1 DEFINITIONEN 1
1.1.1 KOMPLEXE ZAHLEN 1
1.1.2 SCHLUESSELKONZEPT: ANALYTIZITAET 2
1.1.3 KONTURINTEGRALE 3
1.2 DER CAUCHY SEHE INTEGRALSATZ 5
1.2.1 FORMULIERUNG UND BEWEIS 5
1.2.2 KONTURDEFORMATIONEN 6
1.2.3 CAUCHY SCHE INTEGRALFORMEL 7
1.2.4 TAYLOR- UND LAURENT-ENTWICKLUNGEN 9
1.2.5 SATZ VON LIOUVILLE 13
1.2.6 ISOLIERTE SINGULARITAETEN UND RESIDUEN 14
1.3 KONTURINTEGRATION VON ANALYTISCHEN ZWEIGEN 21
1.3.1 FUNKTIONEN MIT VERZWEIGUNGSPUNKTEN 21
1.3.2 INTEGRALE DER FORM /
0
X
A
~
X
Q{X)DX 22
1.3.3 HAUPTWERTINTEGRALE 24
1.3.4 INTEGRALE ENTLANG ENDLICHER SCHNITTE IN C 27
1.3.5 SPEZIALFALL DER POLE IM ENDLICHEN SCHNITT 33
1.3.6 ANALYTISCHE FORTSETZUNG 37
1.4 FOURIER-TRANSFORMATION 40
1.4.1 DEFINITION, UMKEHRUNG UND DIRAC SCHE 5-FUNKTION 40
1.4.2 ANALYTISCHE UND ASYMPTOTISCHE EIGENSCHAFTEN 47
1.4.3 LAPLACE-TRANSFORMATION 57
1.5 UEBUNGSAUFGABEN 60
1.6 LOESUNGEN 63
2 HYPERGEOMETRISCHE REIHEN UND IHRE ANWENDUNGEN 65
2.1 DIE GAMMA-FUNKTION 65
2.1.1 DEFINITION UND FUNKTIONALGLEICHUNG 65
2.1.2 ANALYTISCHE EIGENSCHAFTEN 66
2.1.3 DER ERGAENZUNGSSATZ 68
IX
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X
T
INHALTSVERZEICHNIS
2.1.4 STIRLING-FORMEL 69
2.1.5 EULER SCHES INTEGRAL ERSTER GATTUNG 70
2.1.6 LEGENDRE SCHE VERDOPPLUNGSFORMEL 70
2.1.7 PRODUKTDARSTELLUNG DER GAMMA-FUNKTION 71
2.2 MELLIN-TRANSFORMATION 75
2.3 DIE REIHENENTWICKLUNG 79
2.3.1 KONTURINTEGRALDARSTELLUNG VON HANKEL 82
2.4 HYPERGEOMETRISCHE REIHEN: GRUNDEIGENSCHAFTEN 83
2.4.1 DEFINITION UND KONVERGENZEIGENSCHAFTEN 83
2.4.2 SPEZIALFAELLE 84
2.4.3 INTEGRALDARSTELLUNG UND GAUSS SCHES SUMMATIONSTHEOREM . 88
2.5 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 90
2.5.1 HYPERGEOMETRISCHE GLEICHUNG: LOESUNGEN IN DER NAEHE
VON Z = 0 90
2.5.2 DIE LOESUNG BEI Z = 1 UND IHRE RELATION ZUR LOESUNG
IN DER NAEHE VON Z = 0 91
2.5.3 DAS INTEGRAL VON BARNES 93
2.6 KUMMER SCHE FUNKTION (KONFLUENTE HYPERGEOMETRISCHE REIHE) . . 94
2.6.1 KONFLUENTE HYPERGEOMETRISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG .... 94
2.6.2 INTEGRALDARSTELLUNG 96
2.6.3 SPEZIALFAELLE 98
2.7 VERALLGEMEINERTE HYPERGEOMETRISCHE REIHE 100
2.8 BEISPIELE AUS DER MATHEMATISCHEN PHYSIK 102
2.8.1 IMPULSVERTEILUNG IN WECHSELWIRKENDEN SYSTEMEN 102
2.8.2 DIE EINDIMENSIONALE SCHROEDINGER-GLEICHUNG 104
2.8.3 PROBLEME, DIE SICH AUF EINE 1 D-SCHROEDINGER-GLEICHUNG
ABBILDEN LASSEN 108
2.9 UEBUNGSAUFGABEN 110
2.10 LOESUNGEN 114
3 INTEGRALGLEICHUNGEN 117
3.1 EINFUEHRUNG 117
3.1.1 KLASSIFIKATION DER INTEGRALGLEICHUNGEN 117
3.1.2 DIE RESOLVENTENMETHODE 119
3.2 PRODUKTKERNE DER FORM K(X,Y) = K(XY) 121
3.2.1 DIE FOURIER-INTEGRALGLEICHUNG 121
3.2.2 REDUKTION AUF EIN HALBUNENDLICHES INTEGRATIONSGEBIET... . 123
3.2.3 DIE INTEGRALGLEICHUNG VON FOX 125
3.3 DIFFERENZKERNE, NICHT-SINGULAERER FALL 125
3.3.1 UNENDLICHES INTEGRATIONSGEBIET 126
3.3.2 DIE WIENER-HOPF-METHODE 131
3.3.3 GLEICHUNGEN MIT EXPONENTIELLEN KERNEN 157
3.4 SINGULARE INTEGRALGLEICHUNGEN 168
3.5 ABEL SCHE INTEGRALGLEICHUNG 183
INHALTSVERZEICHNIS XI
3.6 UEBUNGSAUFGABEN 187
3.7 LOESUNGEN 189
4 ORTHOGONALE POLYNOME 193
4.1 EINFUEHRUNG 193
4.2 ORTHOGONALITAETSRELATIONEN 196
4.3 EINDEUTIGKEIT 200
4.4 GRAM-SCHMIDT SCHES ORTHOGONALISIERUNGSVERFAHREN 201
4.5 RODRIGUES-FORMEL 203
4.6 ERZEUGENDE FUNKTION 207
4.7 REKURSIONSRELATIONEN 213
4.8 INTEGRALDARSTELLUNG DER ORTHOGONALEN POLYNOME 215
4.9 ZUSAMMENHANG MIT DEN HOMOGENEN INTEGRALGLEICHUNGEN 218
4.10 ORTHOGONALE POLYNOME UND HYPERGEOMETRISCHE FUNKTIONEN .... 221
4.11 UEBUNGSAUFGABEN 222
4.12 LOESUNGEN 225
5 AUSFUEHRLICHE LOESUNGEN DER UEBUNGSAUFGABEN 229
5.1 KAPITEL 1 229
5.2 KAPITEL 2 242
5.3 KAPITEL 3 255
5.4 KAPITEL 4 269
LITERATUR 289
SACHVERZEICHNIS 291
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