Brückenkurs Mathematik: fit für Mathematik im Studium
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München [u.a.]
De Gruyter Oldenbourg
2014
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Titel: Brückenkurs Mathematik
Autor: Gehrke, Jan
Jahr: 2014
Inhaltsverzeichnis
Vorworte xiii
I Einführung 1
LI Ein paar Beispiele. 1
1.2 Interpretation von Schaubildern. 3
1.3 Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten. 7
1.4 Der Begriff der Funktion . 7
1.5 Einteilung des Zahlenstrahls Intervalle. 10
II Lineare Funktionen 13
II. 1 Die Streckenlänge im kartesischen Koordinatensystem. 13
11.2 Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen Koordinatensystem . 15
11.3 Die Hauptform der Geradengleichung. 16
11.4 Die gegenseitige Lage von Geraden. 23
11.5 Über Schnittwinkel und orthogonale Geraden . 25
11.5.1 Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnen. 25
11.5.2 Zueinander orthogonale Geraden . 27
11.5.3 Der Schnittwinkel zweier Geraden. 30
III Quadratische Funktionen 35
111.1 Die Binomischen Formeln . 35
111.1.1 Die 1. Binomische Formel . 35
111.1.2 Die 2. Binomische Formel . 36
111.1.3 Die 3. Binomische Formel . 37
111.1.4 Der Weg zurück - Die Binomischen Formeln im Rückwärtsgang. 37
111.2 Der Umgang mit quadratischen Funktionen . 39
111.2.1 Die Mitternachtsformel (MNF) . 39
111.2.2 Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück - There and back
again. 42
111.2.3 Scheitelermittlung durch "Absenken". 46
111.3 Die Herleitung der Mitternachtsformel . 49
111.4 Der Umgang mit Parabelscharen Grundlagen Parameterfunktionen . . 52
111.5 Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen . 65
viii Inhaltsverzeichnis
IV Grundlagen Potenzfunktionen 67
IV. 1 Potenzfunktionen Definition und ein paar Eigenschaften . 67
IV.1.1 Parabeln n-ter Ordnung. 67
IV.1.2 Hyperbeln n-ter Ordnung . 69
IV.2 Die Potenzgesetze. 71
IV.2.1 Warum Hochzahlen praktisch sind. 72
IV.2.2 Das "nullte" Potenzgesetz und noch eine Definition. 73
IV.2.3 Das erste Potenzgesetz. 74
IV.2.4 Das zweite Potenzgesetz. 74
IV.2.5 Das dritte Potenzgesetz . 75
IV.2.6 Das vierte Potenzgesetz . 75
IV.2.7 Das fünfte Potenzgesetz . 76
IV.2.8 Rationale Hochzahlen . 76
IV.2.9 Rechnen ohne Klammern - Vorfahrtsregeln beim Rechnen . 78
IV.3 Rechnen mit Wurzeln - Einfache Wurzelgleichungen. 79
IV.4 Die Logarithmengesetze . 83
V Ganzrationale Funktionen - Eine Einführung 91
V.l Definition und Grenzverhalten. 91
V.2 Zur Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen. 95
V.3 Noch mehr Symmetrie - Symmetrie zu beliebigen Achsen und Punkten . 96
V.4 Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen. 99
V.4.1 Warum die Polynomdivision funktioniert. 99
V.4.2 Das Horner-Schema. 101
V.4.3 Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen Funktionen. 105
V.5 Das Baukastenprinzip - Zusammengesetzte Funktionen. 106
V.5.1 Addition und Subtraktion von Funktionen. 106
V.5.2 Multiplikation und Division von Funktionen. 109
V.6 Den Überblick behalten - Gebietseinteilungen vornehmen. 112
V.7 Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen. 113
V.7.1 Vom Betrag einer Zahl und den zugehörigen Rechenregeln. 113
V.7.2 Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und
IV. 116
V.7.3 Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen - Jetzt wird's kritisch! 121
V.7.4 Betragsgleichungen. 123
VI Die vollständige Induktion und (ihre) Folgen 131
VI.l Grundlagen. 131
VI.1.1 Ein paar Spielregeln zu Beginn . 131
VI.1.2 Darstellungsformen von Folgen . 132
VI.1.3 Die Definition der Monotonie. 133
VI. 1.4 Der Nachweis der Monotonie. 134
VI.1.5 Beschränktheit . 134
Inhaltsverzeichnis ix
VI.2 Der Grenzwert einer Folge. 136
VI.2.1 Die Definition des Grenzwertes . 136
VI.2.2 Zwei Sätze und ein paar Begriffe . 137
VI.3 Die Grenzwertsätze. 138
VI.3.1 Die 3 Grenzwertsätze. 138
VI.3.2 Ein Beweis zu den Grenzwertsätzen. 139
VI.3.3 Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven Folgen. 140
VI.4 Arithmetische und geometrische Folgen. 141
VI.4.1 Arithmetische Folgen I - Ein paar Grundlagen. 141
VI.4.2 Geometrische Folgen I - Ein paar Grundlagen. 142
VI.5 Die vollständige Induktion - Ein mächtiges Beweisverfahren. 144
VI.5.1 Arithmetische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder. 147
VI.5.2 Geometrische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder. 149
VI.5.3 Vollständige Induktion in Beispielen. 150
VI.6 Ein Test alles Gelernten - Die Fibonacci-Zahlenfolge. 156
VI.6.1 Einführung und historischer Abriss. 157
VI.6.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge - Grundlagen. 158
VI.6.3 Die Kaninchen-Aufgabe . 161
VI.6.4 Der Goldene Schnitt. 163
VI.6.5 Die Herleitung der expliziten Formel. 164
VII Einführung in die Differentialrechnung 169
VII. 1 Vom Differenzen- zum Differentialquotienten. 169
VII.2 Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung. 173
VII.2.1 Der Umgang mit Berührpunkten . 178
VII.3 Die Herleitungen der Ableitungsregeln . 179
VII.3.1 Die Summenregel. 180
VII.3.2 Die Faktorregel. 181
VII.3.3 Die Produktregel. 183
VII.3.4 Die Quotientenregel. 185
VII.3.5 Die Kettenregel. 188
VII.4 Wichtige Punkte eines Funktionsgraphen. 190
VII.4.1 Extrempunkte. 191
VII.4.2 Wendepunkte. 205
VII.4.3 Neu und alt - Ableitung trifft Parameter. 210
VII.5 Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die Wertetabelle. 215
VII.5.1 Stetigkeit - Ohne Sprung ans Ziel. 215
VII.5.2 Differenzierbarkeit Knickfrei durch's Leben. 218
VII.5.3 Monotonie - Wo geht's denn hin?. 220
VII.5.4 Die Wertetabelle - Eine oft ignorierte Zeichenhilfe. 225
VII.6 Die Kurvendiskussion - Gesamt Übersicht mit Beispiel. 226
x Inhaltsverzeichnis
VIII Über das Lösen linearer Gleichungssysteme 229
VIII. 1 LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen. 229
VIII.1.1 Das Gleichsetzungsverfahren. 230
VIII.1.2 Das Einsetzungsverfahren . 231
VIII.1.3 Das Additionsverfahren. 232
VIII. 1.4 Der Umgang mit Parametern bei einem LGS. 233
VIII.2 LGS mit 3 und mehr Unbekannten. 234
VIII.2.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren. 234
VIII.2.2 Gibt es Lösungen und wenn ja wie viele?. 237
VIII.3 LGS und Funktionen Bestimmung ganzrationaler Funktionen . 243
IX Mit Brüchen muss man umgehen können - Gebrochenrationale Funk-
tionen 253
IX. 1 Grundlagen Umgang mit Bruchgleichungen und Brüchen. 253
IX.2 Definition der gebrochenrationalen Funktionen. 258
IX.3 Ein paar Besonderheiten - Definitionslücken und Asymptoten. 258
IX.4 Ableiten gebrochenrationaler Funktionen. 269
X Trigonometrische Funktionen 271
X.l Grundlagen und Ableitungsregeln. 271
X.l.l Definition und Beispiele . 271
X.1.2 Vom Einheitskreis zur Funktion. 273
X.1.3 Das Bogenmaß. 278
X.1.4 Andere Winkel. 279
X.1.5 Der Sinussatz. 280
X.1.6 Der Kosinussatz. 282
X.1.7 Weitere Betrachtungen zum Einheitskreis. 284
X.1.8 Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen - Ein wenig Nostalgie
bei der Herleitung. 287
X.2 Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen 292
X.3 Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus) . . 296
XI Wachsen ist schön - Exponentialfunktionen 305
XI.l Grundlagen. 305
XI.2 Ableiten von Exponentialfunktionen . 306
XI.3 Wachstum. 313
XI.3.1 Lineares Wachstum. 314
XI.3.2 Exponentielles/Natürliches Wachstum . 314
XI.3.3 Beschränktes Wachstum. 319
XI.3.4 Logistisches Wachstum. 319
XI.4 Die Grenzen erfahren - Grenzwertuntersuchung mit L'Hospital. 321
Inhaltsverzeichnis xi
XII Die Ableitung der Umkehrfunktion 325
XII. 1 Was ist eine Umkehrfunktion? Grundlagen und Begriffe. 325
XII.2 Ableiten von Umkehrfunktionen. 331
XII.2.1 Implizites Differenzieren. 331
XII.2.2 Ableiten von Umkehrfunktionen mit der Kettenregel . 332
XIII Integralrechnung 335
XIII. 1 Schritt für Schritt zum Ziel - Ober- und Untersumme. 335
XIII.1.1 Ober- und Untersumme . 335
XIII.2 Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam? . 343
XIII.3 Übersicht zu wichtigen Stammfunktionen. 346
XIII.3.1 Aufleiten mittels der linearen Substitution. 349
XIII.3.2 Etwas Interessantes Die Produktintegration . 350
XIII.3.3 Ein praktischer Satz Über das Aufleiten von Brüchen. 352
XIII.4 Flächenberechnung Worauf man achten sollte . 353
XIII.5 Einmal rundherum Berechnung von Rotationsvolumen. 356
XIV Beweise mit Vektoren führen 361
XIV. 1 Der Vektor in der analytischen Geometrie . 361
XIV.2 Linear abhängig und unabhängig. 363
XIV.3 Das Prinzip des geschlossenen Vektorzugs . 364
XIV.3.1 Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck. 365
XIV.4 Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt . 367
XIV.4.1 Von Vektoren und ihren Beträgen. 368
XIV.4.2 Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre Konsequenzen. 373
XIV.4.3 Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen benötigt. 376
XIV.4.4 Ein Beispiel: Der Satz des Thaies. 377
XIV.5 Eine Aufgabe zur Vertiefung. 378
XV Rechnen im Raum - Analytische Geometrie 381
XV. 1 Noch ein Produkt für Vektoren: Das Kreuzprodukt. 381
XV.2 Eine Runde Teamwork - Das Spatprodukt. 386
XV.3 Geraden und Vektoren. 389
XV .4 Ebenen . 391
XV.4.1 Die Koordinatenform. 392
XV.4.2 Die Normalenform . 395
XV.4.3 Umwandeln von Ebenen. 397
XV.5 Lagebeziehungen. 401
XV.5.1 Gegenseitige Lagen von Geraden . 401
XV.5.2 Gegenseitige Lagen von Ebenen. 403
XV.5.3 Gegenseitige Lagen von Ebene und Gerade. 408
xii Inhaltsverzeichnis
XV.6 Abstände . 408
XV.6.1 Der Abstand zweier Punkte. 409
XV.6.2 Die Hessesche Normalenform - Abstandsbestimmungen bei Ebenen . . . 409
XV.6.3 Abstände, die uns noch fehlen. 413
XV.7 Ein kurzes Wort über Schnittwinkel. 417
XV.8 Ein kugelrunder Abschluss. 419
XVI Wenn's nicht direkt geht - Ein wenig Numerik 421
XVI. 1 Für Nullstellen - Das Newton-Verfahren. 421
XVI.1.1 Wann Newton nicht funktioniert. 424
XVI.1.2 Übersicht mit Beispiel. 424
XVI.2 Für Flächen - Die Keplersche Fassregel. 425
XVI.2.1 Sehnentrapeze. 426
XVI.2.2 Tangententrapeze. 427
XVI.3 Wo Kepler aufhört, da fängt Simpson an - Die Simpson-Regel. 428
A Die Strahlensätze 431
A.l Einführende Betrachtungen . 431
A.2 Der 1. Strahlensatz. 432
A.3 Der 2. Strahlensatz. 433
A.4 "Kurzversion" des 1. Strahlensatzes. 434
B Ungleich geht die Welt zu Grunde - Ein paar Infos über Ungleichungen437
B.l Ganz elementare Regeln. 437
B.2 Beispiele statt allgemeiner Hudelei . 438
C Das Pascalsche Dreieck 441
C.l Worum es geht. 441
C.2 Zum Aufstellen des Dreiecks. 442
C.3 Warum das Schema funktioniert. 443
Weiterführende Literatur 447
Stichwortverzeichnis 449 |
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