Basiswissen Zahlentheorie: eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2014
|
| Edition: | 3., überarb. Aufl. |
| Series: | Mathematik für das Lehramt
Lehrbuch |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Physical Description: | XVIII, 427 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783642397721 |
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|---|---|
| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
1 GRUNDLAGEN UND VORAUSSETZUNGEN 1
1.1 MENGEN 2
1.1.1 MENGEN UND IHRE ELEMENTE 2
1.1.2 MENGEN UND IHRE MAECHTIGKEIT 4
1.1.3 GLEICHHEIT VON MENGEN UND TEILMENGEN 6
1.1.4 VERKNUEPFUNGEN VON MENGEN 7
1.2 GRUNDBEGRIFFE DES LOGISCHEN SCHLIESSENS 10
1.2.1 IMPLIKATIONEN UND DIE AEQUIVALENZ VON AUSSAGEN 11
1.2.2 MATHEMATISCHE LOGIK UND ALLTAGSLOGIK 11
1.2.3 EINIGE (WENIGE) REGELN DES MATHEMATISCHEN BEWEISENS
UND LOGISCHEN SCHLIESSENS 12
1.2.4 IMPLIKATIONEN UND BEWEISVERFAHREN 13
1.2.5 QUANTOREN 16
1.3 UEBUNGSAUFGABEN 17
2 NATUERLICHE ZAHLEN 19
2.1 RECHNEN MIT NATUERLICHEN ZAHLEN . 20
2.1.1 ADDITION UND SUBTRAKTION 20
2.1.2 DAS PRINZIP DES KLEINSTEN ELEMENTS 21
2.1.3 MULTIPLIKATION UND TEILBARKEIT 24
2.1.4 DIE GOLDBACH SCHE VERMUTUNG 27
2.2 DIE IDEE DER UNENDLICHEN MENGEN 28
2.2.1 GIBT ES UNENDLICHE MENGEN? 28
2.2.2 HILBERTS HOTEL 29
2.3 DAS PRINZIP DER VOLLSTAENDIGEN INDUKTION 30
2.3.1 BEWEISEN DURCH VOLLSTAENDIGE INDUKTION 30
2.3.2 DEFINITION DURCH INDUKTION: DAS PRODUKT NATUERLICHER ZAHLEN 36
2.3.3 DEFINITION DURCH INDUKTION: N FAKULTAET 37
2.3.4 DEFINITION DURCH INDUKTION: DIE FIBONACCI-ZAHLEN 38
2.3.5 GEOMETRISCHE SUMMENFORMEL 41
2.4 DER BINOMISCHE LEHRSATZ 44
XV
HTTP://D-NB.INFO/1047984997
XVI INHALTSVERZEICHNIS
2.5 EIN EXKURS UEBER EVIDENZ UND WAHRHEIT 50
2.6 EIN AXIOMENSYSTEM FUER DIE NATUERLICHEN ZAHLEN 53
2.6.1 WAS SIND DIE NATUERLICHEN ZAHLEN? 53
2.6.2 DIE PEANO-AXIOME 55
2.6.3 MODELLE ZU DEN PEANO-AXIOMEN 58
2.6.4 MENGENTHEORETISCHE BEGRUENDUNG VON N 59
2.7 UEBUNGSAUFGABEN 60
3 ZAHLDARSTELLUNGEN UND STELLENWERTSYSTEME 63
3.1 BEISPIELE FUER ZAHLDARSTELLUNGEN 63
3.2 DIVISION MIT REST 67
3.3 DIE KREUZPROBE 71
3.3.1 DAS PRINZIP DER KREUZPROBE 72
3.3.2 DIE BEGRUENDUNG DER KREUZPROBE 73
3.4 ZAHLDARSTELLUNG IN G-ADISCHEN SYSTEMEN 74
3.5 RECHNEN IN STELLENWERTSYSTEMEN 78
3.5.1 ADDITION UND SUBTRAKTION IN G-ADISCHEN SYSTEMEN 78
3.5.2 MULTIPLIKATION UND DIVISION IN G-ADISCHEN SYSTEMEN 81
3.6 UEBUNGSAUFGABEN 84
4 TEILBARKEIT UND PRIMZAHLEN 85
4.1 TEILBARKEIT IN N 85
4.2 PRIMZAHLEN 89
4.2.1 DAS SIEB DES ERATOSTHENES 90
4.2.2 DIE UNENDLICHKEIT DER MENGE DER PRIMZAHLEN 91
4.2.3 PRIMZAHLZWILLINGE, PRIMZAHLTUPEL, PRIMZAHLFORMELN 94
4.2.4 PRIMFAKTORZERLEGUNG 95
4.3 TEILBARKEIT UND PRIMFAKTOREN IN Z *. 100
4.4 UEBUNGSAUFGABEN 108
5 TEILER UND VIELFACHE 111
5.1 DER GROESSTE GEMEINSAME TEILER IN
Z
111
5.2 DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS 117
5.3 DAS KLEINSTE GEMEINSAME VIELFACHE IN Z 122
5.4 VOLLKOMMENE ZAHLEN 125
5.5 UEBUNGSAUFGABEN 132
6 GANZE ZAHLEN 133
6.1 DEFINITION DER GANZEN ZAHLEN 135
6.2 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN 141
6.3 DIE ISOMORPHE EINBETTUNG DER NATUERLICHEN IN DIE GANZEN ZAHLEN 146
6.4 DIE ANORDNUNG DER GANZEN ZAHLEN 151
6.5 UEBUNGSAUFGABEN 153
INHALTSVERZEICHNIS XVII
7 RESTKLASSEN 155
7.1 KONGRUENZEN 156
7.2 VERKNUEPFUNGEN VON RESTKLASSEN 161
7.2.1 DER RING Z
M
DER RESTKLASSEN MODULO M 168
7.3 TEILBARKEITSREGELN 170
7.3.1 QUERSUMMENREGELN 170
7.3.2 ENDSTELLENREGELN 173
7.3.3 ZUSAMMENGESETZTE UND ANDERE TEILBARKEITSREGELN 175
7.4 PSEUDOZUFALLSZAHLEN UND KONGRUENZEN 175
7.4.1 DIE ERZEUGUNG VON PSEUDOZUFALLSZAHLEN 176.
7.5 UEBUNGSAUFGABEN 178
8 LINEARE UND QUADRATISCHE KONGRUENZEN 181
8.1 LINEARE KONGRUENZEN UND IHRE LOESBARKEIT 181
8.2 ANWENDUNGEN LINEARER KONGRUENZEN 186
8.3 SAETZE VON EULER 189
8.4 CHINESISCHER RESTSATZ 193
8.5 QUADRATISCHE KONGRUENZEN 195
8.6 UEBUNGSAUFGABEN 205
9 TEILBARKEIT IN INTEGRITAETSRINGEN 207
9.1 INTEGRITAETSRINGE 208
9.2 EINHEITEN, TEILER UND ASSOZIIERTE ELEMENTE 213
9.3 PRIMELEMENTE 221
9.4 NEBENKLASSEN, IDEALE UND HAUPTIDEALRINGE 228
9.5 EIGENSCHAFTEN VON HAUPTIDEALRINGEN 235
9.6 UEBUNGSAUFGABEN 240
10 ANWENDUNGEN DER ELEMENTAREN ZAHLENTHEORIE 241
10.1 VERWALTUNG VON LAGERBESTAENDEN 242
10.1.1 EAN (EUROPEAN ARTICLE NUMBER) 242
10.1.2 ISBN (INTERNATIONAL STANDARD BOOK NUMBER) 244
10.2 KRYPTOGRAPHIE 247
10.2.1 EINHEITEN IN ZPQ 252
10.2.2 GRUNDLAGEN DES RSA-VERFAHRENS 253
10.2.3 PRAKTISCHE ZAHLENKODIERUNG 254
10.2.4 EIN BEISPIEL ZUR KODIERUNG UND DEKODIERUNG 255
10.2.5 PRAKTISCHE TEXTKODIERUNG 256
10.3 UEBUNGSAUFGABEN 260
11 RATIONALE ZAHLEN 261
11.1 DEFINITION DER RATIONALEN ZAHLEN 262
11.2 Q IST EINE GROSSE MENGE: DEZIMALDARSTELLUNG 271
XVIII
INHALTSVERZEICHNIS
11.3 Q IST EINE KLEINE MENGE: ABZAEHLBARKEIT 279
11.3.1 ABZAEHLEN NACH DER SUMME VON ZAEHLER UND NENNER 280
11.3.2 DIE ABZAEHLBARKEIT DER RATIONALEN ZAHLEN 283
11.4 Q IST EINE KLEINE MENGE: RATIONALE UND REELLE ZAHLEN 284
11.5 KETTENBRUECHE 289
11.5.1 DARSTELLUNG VON RATIONALEN ZAHLEN DURCH KETTENBRUECHE 292
11.5.2 DARSTELLUNG VON IRRATIONALEN ZAHLEN DURCH KETTENBRUECHE 293
11.6 UEBUNGSAUFGABEN 294
12 REELLE ZAHLEN 297
12.1 KONVERGENZ 299
12.2 DIE ERWEITERUNG VON Q AUF K 309
12.3 NACHWEIS DES GRENZWERTS 315
12.4 UEBUNGSAUFGABEN 321
13 KOMPLEXE ZAHLEN 323
13.1 DEFINITION DER KOMPLEXEN ZAHLEN 324
13.1.1 DIE ZAHLENEBENE 325
13.1.2 POLARKOORDINATEN 326
13.2 ADDITION UND MULTIPLIKATION 329
13.3 REELLE ZAHLEN SIND KOMPLEXE ZAHLEN 331
13.4 RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 334
13.5 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 338
13.6 GLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG 342
13.7 UEBUNGSAUFGABEN 347
14 ZAHLENTHEORETISCHE FUNKTIONEN 349
14.1 BEGRIFFSBESTIMMUNG 350
14.2 PRIMZAHLVERTEILUNG 351
14.3 DIE EULER SCHE ^-FUNKTION 352
14.4 DIE RIEMANN SCHE F-FUNKTION 359
14.4.1 UNGERADE NATUERLICHE ZAHLEN UND DIE RIEMANN SEHE
F-FUNKTION 361
14.4.2 ZUSAMMENHAENGE DER RIEMANN SCHEN ^-FUNKTION MIT DEN
PRIMZAHLEN 361
14.5 UEBUNGSAUFGABEN 364
LOESUNGSHINWEISE 365
LOESUNGEN 379
LITERATURVERZEICHNIS 421
SACHVERZEICHNIS 423
BasiswJssen Zahlentheorie
Kenntnisse über den Aufbau des Zahlensystems und über elementare zahlentheoretische
t
Prinzipien gehören zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorlie¬
gende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit natürlichen Zahlen über Teilbarkeits¬
eigenschaften und Kongruenzbetrachtungen bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen
und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Wert wird dabei auf
eine verständliche und umfassende Darstellung des
Stoffes
gelegt. Beweisideen, die
hinter
stringent
durchgeführten Beweisen stehen und die Verknüpfung von Fachwissen
mit Schulbe/imen sind dabei als besondere Merkmale hervorzuheben.
Нгцап/Л
wird
die Darstellung durch viele Übungsaufgaben,die mit
Lösun&shimveisen
und vollstän-
dtecn Lösumjen versehen sind.
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ΙΛ ,ΗΙΙ
li.
Hin Lehrbuch für studierende im Haupt- und Nebenlach Mathematik für das gymnasiale
Lehramt (Sek.
II)
sowie in natürlicher Angrenzung für Studierende für Realschulen
(Sek.
I)
und
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1
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(Diplom
/ΒΛ).
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