Eichfeldtheorie: eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2014
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| Edition: | 2., vollst. überarb. Aufl. |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Item Description: | Literaturverz. S. 367 - 371 |
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| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
1 LIE-GRUPPEN UND HOMOGENE RAEUME 1
1.1 LIE-GRUPPEN UND IHRE ALGEBREN 1.
1.2 DIE EXPONENTIAL-ABBILDUNG EINER LIE-GRUPPE 5
1.3 DIE ADJUNGIERTE DARSTELLUNG 13
1.4 LIE-UNTERGRUPPEN 22
1.5 TRANSFORMATIONSGRUPPEN UND HOMOGENE RAEUME 31
1.6 FUNDAMENTALE VEKTORFELDER 37
1.7 AUFGABEN ZU KAPITEL 1 40
2 HAUPTFASERBUENDEL UND ASSOZIIERTE FASERBIINDEL 43
2.1 LOKAL-TRIVIALE FASERUNGEN 43
2.2 HAUPTFASERBUENDEL 48
2.3 ASSOZIIERTE FASERBUENDEL 53
2.4 VEKTORBUENDEL 57
2.5 REDUKTION UND ERWEITERUNG VON HAUPTFASERBUENDELN 64
2.6 AUFGABEN ZU KAPITEL 2 71
3 ZUSAMMENHAENGE IN HAUPTFASERBUENDELN 75
3.1 ZUSAMMENHAENGE, DEFINITION UND BEISPIELE 75
3.2 DER AFFINE RAUM ALLER ZUSAMMENHAENGE 86
3.3 PARALLELVERSCHIEBUNG IN HAUPTFASERBUENDELN 89
3.4 DAS ABSOLUTE DIFFERENTIAL EINES ZUSAMMENHANGS 96
3.5 DIE KRUEMMUNG EINES ZUSAMMENHANGS 104
3.6 S
1
-ZUSAMMENHAENGE 114
3.7 AUFGABEN ZU KAPITEL 3 119
4 HOLONOMIETHEORIE 123
4.1 REDUKTION UND ERWEITERUNG VON ZUSAMMENHAENGEN 123
4.2 DIE HOLONOMIEGRUPPE EINES ZUSAMMENHANGS UND DAS
HOLONOMIEBUENDEL 126
4.3 FLACHE G-HAUPTFASERBUENDEL UND DER HOLONOMIEHOMOMORPHISMUS 133
4.4 HOLONOMIEGRUPPEN UND PARALLELE SCHNITTE 136
4.5 AUFGABEN ZU KAPITEL 4 139
XIII
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XIV
INHALTSVERZEICHNIS
5 HOLONOMIEGRUPPEN RIEMANNSCHER MANNIGFALTIGKEITEN 143
5.1 GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN 144
5.2 DER ZERLEGUNGSSATZ VON DE RHAM UND WU 151
5.3 HOLONOMIEGRUPPEN UND SYMMETRISCHE RAEUME 171
5.4 DIE BERGER-LISTE 194
5.5 HOLONOMIEGRUPPEN PSEUDO-RIEMANNSCHER
MANNIGFALTIGKEITEN - EIN AUSBLICK 212
5.6 AUFGABEN ZU KAPITEL 5 215
6 CHARAKTERISTISCHE KLASSEN IN DER DE RHAM-KOHOMOLOGIE 217
6.1 DER WEIL-HOMOMORPHISMUS 217
6.2 DIE CHERN-KLASSEN KOMPLEXER VEKTORBUENDEL 225
6.3 DIE PONTRJAGIN-KLASSEN REELLER VEKTORBUENDEL 238
6.4 DIE EULER-KLASSE 245
6.5 POTENZREIHEN UND CHARAKTERISTISCHE KLASSEN 252
6.6 AUFGABEN ZU KAPITEL 6 260
7 DIE YANG-MILLS-GLEICHUNG UND SELBSTDUALE ZUSAMMENHAENGE 263
7.1 DIE MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN FUER EIN ELEKTROMAGNETISCHES
FELD ALS YANG-MILLS-GLEICHUNG 263
7.2 DIE YANG-MILLS-GLEICHUNG ALS EULER-LAGRANGE-GLEICHUNG 267
7.3 SELBSTDUALE ZUSAMMENHAENGE 274
7.4 AUFGABEN ZU KAPITEL 7 284
ANHANG 287
LOESUNGEN DER AUFGABEN 321
LITERATURVERZEICHNIS 367
SACHVERZEICHNIS 373
Eichfeldtheorie
Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln.
Nach einem Kapitel über Lie-Gruppen und homogene Räume werden lokal-triviale
Faser ungen, insbesondere die Hauptfaserbündel und zu ihnen assoziierte Vektorbündel,
besprochen. Es folgen die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung auf Faser¬
bündeln: Zusammenhang, Krümmung, Parallelverschiebung und
[covariante
Ableitung,
Anschließend werden die Holonomiegruppen vorgestellt, die zentrale Bedeutung in
der Differentialgeometrie haben. Als Anwendungen werden charakteristische Klassen
und die Yang-Mills-Gleichung behandelt. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungshinweisen
helfen, das Gelernte zu vertiefen.
Das Buch richtet sich vor allem an Studenten der Mathematik und Physik im Masterstu-
dium. Es stellt mathematische Grundlagen bereit, die in Vorlesungen zur Eichfeldtheorie
in der theoretischen und mathematischen Physik Anwendung finden.
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