Arbeitsbuch zur Analysis einer Veränderlichen: Aufgaben und Lösungen
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Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2014
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INHALTSVERZEICHNIS
1 MENGEN UND ABBILDUNGEN
L.A MENGEN 1
I .B ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 3
L.C FAMILIEN 6
1.D RELATIONEN 6
2 DIE NATUERLICHEN ZAHLEN
2.A VOLLSTAENDIGE INDUKTION 8
2.B ENDLICHE MENGEN 12
2.C ABZAEHLBARE MENGEN 20
2.D PRIMFAKTORZERLEGUNG 23
3 EIN GRUNDKURS IN C
3.A EINIGE PROGRAMMBEISPIELE 34
4 DIE REELLEN ZAHLEN
4.A DIE KOERPERAXIOME 42
4.B GRUPPEN 44
4.C RINGE UND KOERPER 47
4.D ANGEORDNETE KOERPER 52
4.E DER BEGRIFF DER KONVERGENTEN FOLGE 57
4.F KONVERGENTE FOLGEN UND VOLLSTAENDIGKEIT 57
4.G FOLGERUNGEN AUS DER VOLLSTAENDIGKEIT 64
5 DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
5.A KONSTRUKTION DER KOMPLEXEN ZAHLEN 66
5.B KONVERGENTE FOLGEN KOMPLEXER ZAHLEN 68
5.C POLARKOORDINATENDARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN 69
6 REIHEN
6.A KONVERGENZKRITERIEN FUER REIHEN 71
6.B SUMMIERBARKEIT 80
7 DISKRETE WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUME
7.A DER BEGRIFF DES DISKRETEN WAHRSCHEINLICHKEITSRAUMES 85
7.B PRODUKTE VON WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUMEN 89
7.C BEISPIELE 92
8 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ
8.A ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ EINER ZUFALLSVARIABLEN 97
8.B BEISPIELE 100
9 STOCHASTISCHE UNABHAENGIGKEIT
9.A BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 104
9.B STOCHASTISCH UNABHAENGIGE ZUFALLS VARIABLEN 108
10 STETIGKEIT
10.A GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 109
1 O.B STETIGE FUNKTIONEN 110
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VIN
INHALTSVERZEICHNIS
10.C DER ZWISCHENWERTSATZ 113
10.D STETIGE FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN MENGEN 114
11 POLYNOM-, EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN
11 .A POLYNOMFUNKTIONEN 115
11 .B RATIONALE FUNKTIONEN 117
11 .C REELLE EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN 118
12 FUNKTIONENFOLGEN UND POTENZREIHEN
12.A KONVERGENZ VON FUNKTIONENFOLGEN 121
12.B POTENZREIHEN 122
12.C RECHNEN MIT POTENZREIHEN 123
12.D ANALYTISCHE FUNKTIONEN 127
12.E EXPONENTIALFUNKTION * KREIS- UND HYPERBELFUNKTIONEN 129
13 DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN
13.A RECHENREGELN 132
13.B DIFFERENZIATION ANALYTISCHER FUNKTIONEN * HOEHERE ABLEITUNGEN 135
13.C BEISPIELE SPEZIELLER FUNKTIONEN 137
14 DER MITTELWERTSATZ
14.A DER MITTELWERTSATZ 141
14.B KREISFUNKTIONEN UND IHRE UMKEHRFUNKTIONEN 147
14.C KONVEXE UND KONKAVE FUNKTIONEN 155
14.D DAS NEWTON-VERFAHREN 161
14.E DIFFERENZIEREN VON FUNKTIONENFOLGEN 167
15 APPROXIMATION DURCH POLYNOME
15.A DIE TAYLOR-FORMEL 174
16 STAMMFUNKTIONEN UND INTEGRALE
16.A STAMMFUNKTIONEN 181
16.B BESTIMMTE INTEGRALE 183
16.C HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 193
17 UNEIGENTLICHE INTEGRALE
17.A UNEIGENTLICHE INTEGRALE 194
17.B DIE T-FUNKTION 199
18 APPROXIMATION VON INTEGRALEN
18.
A INTEGRALRESTGLIEDER 201
18.B BEISPIELE 202
18.C NUMERISCHE INTEGRATION 205
19 EINFACHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN
19.A DIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIT GETRENNTEN VARIABLEN 207
19.B LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 211
19.C BEISPIELE 213
19.D LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 216
19.E LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN
KOEFFIZIENTEN 219
STICHWORTVERZEICHNIS 223
Das Buch ist als Ergänzung zu und zum (iebrauch neben einer Vorlesung über
Analysis
einer Veränderlichen gedacht. L· ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden
Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben
ver-
schiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Ks wird vorausgesetzt,
dass
der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der
Analysis
einer Veränder¬
lichen bereits gehört oder sich anderweitig - etwa im Selbststudium - angeeignet hat.
Viele der Aufgaben sind dem ersten Band des Lehrbuchs der Mathematik von
U
Storch
und H. Wiebe, das ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist, entnommen;
eine ganze Reihe ist aber auch neu.
Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen.
Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemer¬
kungen angefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen. |
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