Kompendium der diskreten Mathematik:
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2014
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INHALTSVERZEICHNIS
1 EINLEITUNG 1
1.1 UEBERBLICK 1
1.2 METHODISCHE SCHWERPUNKTE 2
1.3 NOTATION 3
1.4 FORMALISMUS UND SICHERHEIT 4
1.5 MINIMALISMUS 6
1.6 DANKSAGUNGEN 6
2 MENGEN 7
2.1 MENGEN UND ELEMENTE 7
2.1.1 MENGEN, ELEMENTE, OBJEKTE 7
2.1.2 MENGENDEFINITION - MOEGLICHKEITEN UND FALLSTRICKE 8
2.2 MENGENRELATIONEN UND -OPERATIONEN 12
2.3 DAS AUSWAHLAXIOM * 17
2.4 AXIOMATISCHE MENGENLEHRE 18
2.4.1 HAUPTRICHTUNGEN 18
2.4.2 ZFU ALS BEISPIEL EINER AXIOMATIK * 19
2.4.3 ABSEITS DER AXIOMATIK 21
2.5 UEBUNGSAUFGABEN 21
3 RELATIONEN UND FUNKTIONEN 25
3.1 PAARE UND TUPEL 25
3.2 RELATIONEN 26
3.3 ABBILDUNGEN (FUNKTIONEN) 29
3.4 AEQUIVALENZRELATIONEN 33
3.5 KONGRUENZRELATIONEN 35
3.6 ORDNUNGSRELATIONEN 36
3.6.1 HALB- UND TOTALORDNUNGEN 36
3.6.2 EXTREMALE UND BEGRENZENDE ELEMENTE 38
3.6.3 ORDNUNGEN UND DAS AUSWAHLAXIOM * 40
3.6.4 VERBAENDE ALS SPEZIELLE ORDNUNGEN * 41
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VI INHALTSVERZEICHNIS
3.7 OPERATIONEN AUF RELATIONEN 42
3.8 PERMUTATIONEN 44
3.9 ABBILDUNGEN VON RELATIONEN * 46
3.10 INDUKTION UND REKURSION 47
3.10.1 INDUKTIVE MENGENDEFINITIONEN 47
3.10.2 INDUKTIONSHISTORIE 50
3.10.3 INDUKTIONSVARIANTEN 51
3.10.4 INDUKTIONSBEWEISE 52
3.10.5 REKURSIVE FUNKTIONSDEFINITIONEN 53
3.11 HUELLEN UND ERZEUGENDENSYSTEME 59
3.11.1 TRANSITIVE HUELLE 59
3.11.2 ANDERE HUELLEN 60
3.12 UEBUNGSAUFGABEN 62
4 LOGIK 67
4.1 AUSSAGENLOGIK 67
4.1.1 DIE SYNTAX DER AUSSAGENLOGIK 67
4.1.2 ZWEI WICHTIGE EIGENSCHAFTEN DER SYNTAX DER AUSSAGENLOGIK * 70
4.1.3 DIE ELEMENTARE SEMANTIK DER AUSSAGENLOGIK 72
4.1.4 SEMANTISCHE BEGRIFFE RUND UMS MODELL 76
4.1.5 SUBSTITUTION UND ERSETZUNG 81
4.1.6 ASSOZIATIVITAETSASPEKTE 85
4.1.7 MEHR UEBER JUNKTOREN * 87
4.1.8 REDUZIERBARKEIT UND DUALITAET * 90
4.1.9 NORMALFORMEN 92
4.1.10 BEWEISVERFEHREN UND ALGORITHMEN 96
4.2 PRAEDIKATENLOGIK 106
4.2.1 DIE SYNTAX DER PRAEDIKATENLOGIK 107
4.2.2 WEITERE SYNTAKTISCHE BEGRIFFE 108
4.2.3 DIE ELEMENTARE SEMANTIK DER PRAEDIKATENLOGIK 110
4.2.4 SEMANTISCHE BEGRIFFE UND SAETZE DER PRAEDIKATENLOGIK 113
4.2.5 SUBSTITUTION UND ERSETZUNG IN PL 1 115
4.2.6 ENTSCHEIDUNGSPROBLEME * 117
4.2.7 PLL-BEWEISVERFAHREN UND -ALGORITHMEN * 119
4.2.8 PRAEDIKATENLOGIK MIT IDENTITAET 125
4.3 UEBUNGSAUFGABEN 127
5 ZAHLEN UND ANZAHLEN 137
5.1 ZAHLEN 138
5.1.1 NATUERLICHE ZAHLEN UND IHRE OPERATIONEN 138
5.1.2 GANZE ZAHLEN 142
5.1.3 RATIONALE ZAHLEN 144
5.1.4 REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN * 147
INHALTSVERZEICHNIS VII
5.2 ANZAHLEN 153
5.2.1 MAECHTIGKEIT UND ENDLICHE ANZAHLEN 153
5.2.2 ABZAEHLENDE KOMBINATORIK 156
5.2.3 UNENDLICHE ANZAHLEN 164
5.3 ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE * 174
5.3.1 TEILER UND RESTKLASSENARITHMETIK 174
5.3.2 PRIMZAHLEN, GGT UND RESTKLASSENGLEICHUNGEN 176
5.4 UEBUNGSAUFGABEN 184
6 GRAPHEN 191
6.1 EINFUHRENDE BEISPIELE 192
6.2 DEFINITION, GRUNDBEGRIFFE 194
6.3
DARSTELLUNGSFRAGEN
196
6.3.1 ZEICHNERISCHE DARSTELLUNG IN DER EBENE 196
6.3.2 ANDERE DARSTELLUNGEN VON GRAPHEN 198
6.4 ISOMORPHIE 199
6.5 NACHBARSCHAFT, WEGE 200
6.5.1 . IN UNGERICHTETEN GRAPHEN 201
6.5.2 . IN GERICHTETEN GRAPHEN 201
6.5.3 . UND IN BEIDEN 202
6.5.4 ZWEI HILFSSAETZE FUER DIE THEORETISCHE INFORMATIK 202
6.5.5 WEGLAENGEN 204
6.5.6 ZUSAMMENHANG 206
6.5.7 SPEZIELLE WEGE 207
6.6 BAEUME 209
6.6.1 BAEUME - EIN THEMA MIT VARIATIONEN 209
6.6.2 GERICHTETE UNGEORDNETE BAEUME 211
6.6.3 UNGERICHTETE UNGEORDNETE BAEUME 212
6.6.4 PARALLELEN ZWISCHEN GERICHTETEN UND UNGERICHTETEN BAEUMEN 214
6.6.5 GEORDNETE BAEUME 215
6.6.6 SPANNBAEUME 216
6.6.7 BAUMBEZOGENE GRAPHENALGORITHMEN 217
6.6.8 UNENDLICHE BAEUME 219
6.7 BESCHRIFTETE GRAPHEN 220
6.7.1 ENDLICHE AUTOMATEN 220
6.7.2 TERMSYNTAX 222
6.7.3 FAERBUNGEN 222
6.8 EINFACHE ALGORITHMEN FUER ENDLICHE GRAPHEN 223
6.8.1 GRAPHENDURCHLAEUFE, ZUSAMMENHANG, SPANNBAEUME 223
6.8.2 BESONDERE WEGE: KUERZESTE, LAENGSTE, EULER'SCHE UND HAMILTON'SCHE
225
6.9 UEBUNGSAUFGABEN 228
VIII INHALTSVERZEICHNIS
7 ALGEBRA 233
7.1 GRUPPEN 233
7.1.1 DEFINITION, BEISPIELE, GRUNDEIGENSCHAFTEN 233
7.1.2 GRUPPENHOMOMORPHISMEN 237
7.1.3 UNTERGRUPPEN 238
7.2 RINGE UND KOERPER 243
7.2.1 RINGE 243
7.2.2 KOERPER 248
7.3 VERBAENDE * 250
7.4 VEKTORRAEUME 253
7.4.1 DEFINITION UND BEISPIELE 253
7.4.2 LINEARE ABHAENGIGKEIT, BASIS UND DIMENSION 254
7.4.3 UNTERVEKTORRAEUME 260
7.4.4 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 262
7.4.5 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 269
7.4.6 RAEUME LINEARER ABBILDUNGEN 273
7.4.7 BASISTRANSFORMATIONEN 278
7.4.8 DETERMINANTEN 280
7.4.9 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 286
7.5 QUOTIENTEN * 289
7.5.1 NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN 289
7.5.2 IDEALE UND RESTKLASSENRINGE 292
7.5.3 QUOTIENTENRAEUME VON VEKTORRAEUMEN 293
7.5.4 ISOMORPHIESAETZE BEZUEGLICH PRODUKTEN UND QUOTIENTEN 294
7.6 ALLGEMEINE ALGEBRA * 295
7.6.1 ZWEI BEISPIELE 295
7.6.2 SIGNATUREN, TERME UND SPEZIFIKATIONEN 296
7.6.3 ALGEBREN UND MODELLE 297
7.6.4 INITIALE SEMANTIK 298
7.7 UEBUNGSAUFGABEN 301
8 DISKRETE WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 313
8.1 MARKANTE BEISPIELE 313
8.1.1 DIE VERDOPPELUNGSSTRATEGIE 313
8.1.2 DAS AUFTEILUNGSPROBLEM 314
8.1.3 DAS FALSE-POSITIVE-PROBLEM 314
8.1.4 DAS GEBURTSTAGSPHAENOMEN 315
8.1.5 DAS ZIEGENPROBLEM 315
8.1.6 SERIEN BEIM GLUECKSSPIEL - DER SPIELERFEHLSCHLUSS 316
8.2 WAHRSCHEINLICHKEIT UND WAHRSCHEINLICHKEITSMODELLE 316
8.2.1 ZUFALLSERGEBNISSE 316
8.2.2 WAHRSCHEINLICHKEIT UND EREIGNISSE 317
INHALTSVERZEICHNIS IX
8.2.3 WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUME 318
8.2.4 REINER ZUFALL 322
8.3 ABGELEITETE BEGRIFFE 323
8.3.1 UNABHAENGIGKEIT UND BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT 323
8.3.2 MEHRSTUFIGE ZUFALLSEXPERIMENTE 325
8.3.3 ZUFALLSVARIABLEN, VERTEILUNGSFUNKTIONEN, ERWARTUNGSWERTE 329
8.3.4 ERWARTUNGSWERTE ALS ENTSCHEIDUNGSGRUNDLAGE 332
8.3.5 STREUUNGSMASSE 333
8.4 ANWENDUNGSBEISPIELE 337
8.4.1 WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORETISCHE BEGRIFFE UND ERGEBNISSE AN EINEM
DEMONSTRATIONSBEISPIEL 337
8.4.2 ERNUECHTERUNG BEI DER VERDOPPLUNGSSTRATEGIE 339
8.4.3 GERECHTIGKEIT BEIM AUFTEILUNGSPROBLEM 340
8.4.4 ERLEICHTERUNG BEIM FALSE POSITIVE 341
8.5 PROZESSE 342
8.5.1 DEFINITION UND BEISPIELE 342
8.5.2 SPEZIELLE BEMOULLI-PROZESSE 342
8.5.3 DIE HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG 346
8.5.4 MARKOW-KETTEN * 348
8.5.5 ZUFALLSBEWEGUNGEN * 352
8.6
UEBUNGSAUFGABEN 354
LITERATUR 361
STICHWORTVERZEICHNIS 367 |
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