Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: eine Einführung
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Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2014
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung. 1
1.1 Ein Beispiel. 1
2 Mengen und Mengensysteme. 5
2.1 Elementare Mengenlehre. 5
2.2 Algebren und
σ
-Algebren. 10
2.3 Semiringe, Ringe und
σ
-Ringe
. 12
2.4 Erzeugte Systeme. 18
2.5 Monotone Systeme und Dynkin-Systeme. 21
3 Mengenfunktionen. 25
3.1 Inhalte und Maße auf Semiringen. 25
3.2 Die Fortsetzung von Inhalten und Maßen auf Ringe. 28
3.3 Eigenschaften von Inhalten und Maßen. 30
3.4 Additionstheorem und verwandte Sätze . 33
4 Fortsetzung von Maßen auf ¿r-Algebren. 37
4.1 Äußere Maße und
Carathéodory-Messbarkeit
. 37
4.2 Fortsetzungs- und Eindeutigkeitssatz. 39
4.3 Vervollständigung. 42
5 Unabhängigkeit . 47
5.1 Die durch ein Ereignis bedingte Wahrscheinlichkeit . 47
5.2 Unabhängigkeit von Ereignissystemen. 49
6 Lebesgue-Stieltjes-Maße. 53
6.1 Definition und Reguiarität. 53
6.2 Verteilungsfunktionen auf
R
. 55
6.3 Das Lebesgue-Maß auf
Ж
. 57
6.4 Diskrete und stetige Verteilungsfunktionen. 59
6.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf
Ш
. 62
x
Inhaltsverzeichnis
6.6 Verteilungsfunktionen auf Uk . 65
6.7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf
(Жк,
18* )
.
72
6.8 Das /c-dimensionale Lebesgue-Maß. 77
7 Messbare Funktionen - Zufallsvariable. 83
7.1 Definition und Eigenschaften. 83
7.2 Erweitert reellwertige Funktionen . 86
7.3 Treppenfunktionen. 88
7
A
Baire-Funktionen. 90
7.5 Subsigmaalgebren. 91
7.6 Unabhängige Zufallsvariable. 95
7.7 Verallgemeinertes Null-Eins-Gesetz von Kolmogoroff. 98
7.8 Cantor-Menge und nichtmessbare Mengen. 99
7.9 Konvergenzarten.101
8 Die Verteilung einer Zufallsvariablen .109
8.1 Das induzierte Maß.109
8.2 Gemeinsame Verteilung und Randverteilungen.110
8.3 Die
inverse
Verteilungsfunktion .113
8.4 Maßtreue Abbildungen .117
9 Das Integral - Der Erwartungswert.123
9.1 Definition des Integrals.123
9.2 Konvergenzsätze .130
9.3 Das unbestimmte Integral .136
9.4 Zusammenhang zwischen Riemann- und Lebesgues-Integral. 139
9.5 Das Integral transformierter Funktionen.143
10 Produkträume.153
10.1 Die Produktsigmaalgebra .153
10.2 Der Satz von Fubini.157
10.3 Maße auf unendlich-dimensionalen Produkträumen .169
10.4 Null-Eins-Gesetz von
Hewitt- Savage.
175
10.5 Stetige Zufallsvariable.177
10.6 Die Faltung.181
11 Zerlegungssätze und Integraldarstellung .187
11.1 Die Hahn-Jordan-Zerlegung.187
11.2 Die Lebesgue-Zerlegung .190
11.3 Der Satz von Radon-Nikodym.191
12 Integral und Ableitung .195
12.1 Funktionen von beschränkter Variation.195
12.2 Absolut stetige Funktionen.197
12.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.202
Inhaltsverzeichnis xi
13 Lp- Räume.207
13.1 Integralungleichungen.207
13.2 Vollständigkeit der Lp-Räume.211
13.3 Gleichmäßige Integrierbarkeit.213
13.4 Der Dualraum zu LP(Ü,
β, μ)
.220
14 Bedingte Erwartungen.225
14.1 Der Satz von der vollständigen Erwartung.225
14.2 Die durch eine
σ
-Algebra
bedingte Erwartung.228
14.3 Reguläre, bedingte Wahrscheinlichkeiten .235
15 Gesetze der großen Zahlen .241
15.1 Die Varianz und andere Momente .241
15.2 Schwache Gesetze der großen Zahlen.246
15.3 Starke Gesetze der großen Zahlen.248
15.4 Ergodensätze.256
16
Martingale
.263
16.1 Definition und grundlegende Eigenschaften.263
16.2 Transformation von Submartingalen .267
16.3 Konvergenzsätze für
Submartingale
.269
16.4 Optionales Stoppen - optionale Auswahl .278
16.5 Submartingalungleichungen .284
17 Verteilungskonvergenz und Grenzwertsätze .287
17.1 Schwache Konvergenz.287
17.2 Der klassische zentrale Grenzverteilungssatz .291
17.3 Schwache Kompaktheit.294
17.4 Charakteristische Funktionen .297
17.5 Der Grenzverteilungssatz von Lindeberg-Feller.307
A
Anhang.315
A.1 Diagonalisierungsverfahren und Auswahlaxiom.315
A.2 Reihen.316
A.3
Topologie
.321
A.4
Analysis.
326
A.5 Konvexe Mengen und Funktionen.328
A.6 Trigonometrie .332
A.7 Komplexe
Analysis
.334
A.8 Funktionalanalysis.337
Literaturverzeichnis.341
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis.343
Stichwortverzeichnis.347
Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie
Das Buch ist eine kompakte, leicht lesbare Einführung in die Maß- und Integrations¬
theorie samt Wahrscheinlichkeitstheorie, in der auch auf den für das Verständnis
wichtigen.Bezug zur klassischen
Analysis,
etwa in Abschnitten über Funktionen von
beschränkter Variation oder dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
eingegangen wird. Trotz seines verhältnismäßig geringen Umfangs behandelt es alle
wesentlichen Themen dieser Fachgebiete, wie Mengensvsteme, Mengenfunktionen
Maßfortsetzung, Unabhängigkeit, Lebesguc-Stieltjes-Maße, Verteilungsfunktionen,
messbare Funktionen, Zufallsvariable, Integral, Erwartungswert, Konvergenzsätze,
Transfonnationssätze, Produkträumc, Satz von Fubini, Zerlegungssätze, Funktionen
von beschränkter Variation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Lp-
Räume, Bedingte Erwartungen, Gesetze der großen Zahlen, Ergodcnsätze,
Martingale,
Verteilungskonvcrscnz, charakteristische Funktionen und die Grenzverteilunsissätze
von Lindeberg und Feller. |
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