Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die Informatik: Gruppen, Ringe, Körper, Primzahltests, Verschlüsselung
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INHALTSVERZEICHNIS
1 DIE MENGE
DER GANZEN ZAHLEN 1
1.1 DIE RECHENSTRUKTUR 1
1.2 TEILBARKEIT 3
1.2.1 DIVISION MIT REST 3
1.2.2 DIVISION OHNE REST 5
1.2.3 RESTKLASSEN 9
1.3 GROESSTER GEMEINSAMER TEILER 12
1.3.1 DEFINITIONEN UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 12
1.3.2 DAS LEMMA VON BZOUT 14
1.3.3 ALGORITHMEN ZUR BERECHNUNG DES GROESSTEN GEMEINSAMEN
TEILERS 16
1.4 PRIMZAHLEN 21
1.5 KLEINSTES GEMEINSAMES VIELFACHES 27
2 GRUPPEN 31
2.1 GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN VON RECHENSTRUKTUREN 33
2.2 DEFINITIONEN UND BEISPIELE 35
2.3 ELEMENTORDNUNGEN 41
2.4 UNTERGRUPPEN 44
2.4.1 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 44
2.4.2 ZYKLISCHE GRUPPEN 46
2.5 FAKTORISIERUNG VON GRUPPEN 48
2.5.1 NEBENKLASSEN 49
2.5.2 FAKTOI^RUPPEN 50
2.5.3 SATZ VON LAGRANGE 52
2.6 GRUPPENHOMOMORPHISMEN 55
2.6.1 BEISPIELE UND DEFINITIONEN 55
2.6.2 KERNE VON HOMOMORPHISMEN 61
2.6.3 DER HOMOMORPHIESATZ FUER GRUPPEN 64
3 RINGE, INTEGRITAETSBEREICHE UND KOERPER 69
3.1 RINGE 69
3.2 INTEGRITAETSBEREICHE 72
3.3 KOERPER 75
3.4 UNTERRINGE, UNTERKOERPER, RING- UND KOERPERHOMOMORPHISMEN . . 78
3.5 KOERPERERWEITERUNGEN 79
3.6 RESTKLASSENGRUPPEN UND DIE SAETZE VON EULER UND FERMAT . 83
3.7 POLYNOMRINGE 86
3.8 IRREDUZIBLE UND PRIME ELEMENTE 88
3.9 TEILBARKEIT VON POLYNOMEN 91
3.9.1 GROESSTER GEMEINSAMER TEILER VON POLYNOMEN 91
3.9.2 POLYNOMRINGE UND IRREDUZIBILITAET 95
3.9.3 NULLSTELLEN 99
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4 ERWEITERUNGEN ENDLICHER KOERPER 105
4.1 BEISPIELE 105
4.2 GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN UND EIGENSCHAFTEN 109
4.3 MINIMALPOLYNOME 111
4.4 EINHEITENGRUPPEN ENDLICHER KOERPER 112
4.5 CHARAKTERISTIK VON KOERPERN 113
5 MODULARE ARITHMETIK 119
5.1 CHINESISCHER RESTSATZ 119
5.2 MODULARE ADDITION UND MULTIPLIKATION 124
5.3 EFFIZIENTES POTENZIEREN 126
5.4 PRIMITIVWURZELN UND DISKRETE LOGARITHMEN 129
6 PRIMZAHLTESTS 137
6.1 DAS SIEB DES ERATOSTHENES 137
6.2 WILSON-TEST 139
6.3 LUCAS-TEST 140
6.4 FERMAT-TEST 141
6.5 CARMICHAEL-ZAHLEN 147
6.6 MILLER-RABIN-TEST 151
6.7 DERAKS-TEST 159
7 ASYMMETRISCHE VERSCHLUESSELUNG 165
7.1 EINWEGFIINKTIONEN 166
7.2 DAS RSA-VERFAHREN 168
7.3 DERDIFFIE-HELLMAN-SCHLUESSEIAUSTAUSCH 175
7.4 DAS ELGAMAL-VERFAHREN 176
7.5 SIGNATUREN 177
A ANHANG 181
A.L ZAHLENMENGEN 181
A.2 ALPHABETE, WOERTER, SPRACHEN 181
A.3 RELATIONEN UND FUNKTIONEN 182
A.4 SPEZIELLE FUNKTIONEN SOWIE SUMMEN UND PRODUKTE 183
A.5 VEKTORRAEUME 185
LOESUNGEN ZU DEN AUFGABEN 187
LITERATUR 215
STICHWORTVERZEICHNIS 217 |
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