Gravitation und Relativität: eine Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie
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Berlin
De Gruyter
2014
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT V
LISTE DER VERWENDETEN SYMBOLE XV
1 NEWTON'SCHE MECHANIK 1
1.1 DIE GRUNDGLEICHUNGEN DER NEWTON'SCHEN MECHANIK 1
1.1.1 GRAVITATIONSPOTENTIAL UND KRAFT 1
1.1.2 BEWEGUNGSGLEICHUNG NACH NEWTON 2
1.1.3 GRAVITATIONSPOTENTIAL IN DER NAEHE DER ERDOBERFLAECHE 3
1.1.4 DIE FELDGLEICHUNG NACH NEWTON 4
1.2 GRAVITATIONSPOTENTIAL UND POISSON-GLEICHUNG 6
1.3 DER FALLENDE APFEL UND DAS PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG 8
1.3.1 VARIATION DER BAHNKURVE 9
1.3.2 LAGRANGE-FUNKTION UND WIRKUNG 10
2 SPEZIELLE RELATIVITAETSTHEORIE 15
2.1 GESCHICHTE DER SPEZIELLEN RELATIVITAETSTHEORIE 15
2.2 POSTULATE DER SPEZIELLEN RELATIVITAETSTHEORIE 16
2.3 GALILEI-TRANSFORMATION 16
2.4 RAUMKONTRAKTION UND ZEITDILATATION 18
2.4.1 ZEITDILATATION 18
2.4.2 RAUMKONTRAKTION 20
2.5 LORENTZ-TRANSFORMATION 22
2.6 INVARIANZELEMENT IM RELATIVISTISCHEN FALL 24
2.7 EIGENZEIT 26
2.8 VIERERVEKTOREN 27
2.9 RAUMZEIT-DIAGRAMME 29
2.9.1 DEFINITION DES RAUMZEIT-DIAGRAMMS 29
2.9.2 RAUMARTIG, ZEITARTIG, LICHTARTIG 33
2.9.3 LICHTKEGEL 34
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X INHALTSVERZEICHNIS
2.9.4 GLEICHZEITIGKEIT 34
2.9.5 RAUMKONTRAKTION 35
2.9.6 ZEITDILATATION 36
2.9.7 UHRENPARADOXON 37
2.9.8 EIGENZEIT IM RAUMZEIT-DIAGRAMM 38
2.9.9 DAS ZWILLINGSPARADOXON 39
2.10 EIGENZEITDIAGRAMME 40
2.10.1 ZEITKEGEL 40
2.10.2 EIGENZEITKREIS 41
3 GRAVITATION UND DIE KRUEMMUNG DES RAUMES 43
3.1 GESCHICHTE DER ALLGEMEINEN RELATIVITAETSTHEORIE 43
3.2 POSTULATE DER ALLGEMEINEN RELATIVITAETSTHEORIE 44
3.3 DER GEKRUEMMTE RAUM 44
3.3.1 GRAVITATION UND BESCHLEUNIGUNG 44
3.3.2 GRAVITATION UND KRUEMMUNG DES RAUMES 45
3.3.3 DIE FORMULIERUNG DER ALLGEMEINEN RELATIVITAETSTHEORIE 46
3.4 WIE LAESST SICH KRUEMMUNG MESSEN? 47
3.4.1 MESSUNG DER KRUEMMUNG IM ZWEIDIMENSIONALEN RAUM 49
3.4.2 KRUEMMUNG IN HOEHERDIMENSIONALEN RAEUMEN 50
3.5 KRUEMMUNG UNTERSCHIEDLICHER GEOMETRIEN 50
4 VEKTOREN UND KOORDINATENSYSTEME 53
4.1 DEFINITIONEN 53
4.1.1 VEKTOREN, VEKTORKOMPONENTEN UND BASEN 53
4.1.2 SUMMATIONSKONVENTION 54
4.2 ABSTAND UND METRIK 56
4.3 KOVARIANTE UND KONTRAVARIANTE BASIS 58
4.3.1 DEFINITION 58
4.3.2 BESTIMMUNG DER KONTRAVARIANTEN BASIS 60
4.3.3 RECHNEN MIT KO- UND KONTRAVARIANTEN VEKTOREN 63
4.4 RECHNEN MIT INDIZIERTEN GROESSEN 67
4.4.1 AUSTAUSCH VON INDIZES 67
4.4.2 HERAUF- UND HERUNTERSCHIEBEN VON INDIZES 68
4.4.3 KONTRAKTION INDIZIERTER GROESSEN 69
4.4.4 PROJEKTION VON VEKTOREN 70
4.4.5 SYMMETRIE INDIZIERTER GLEICHUNGEN 71
4.5 INDIZIERTE GROESSEN IN DER PHYSIK 72
4.5.1 POLARISATION ISOTROPER MATERIALIEN 73
4.5.2 POLARISATION ANISOTROPER MATERIALIEN 75
4.5.3 TENSOREN 79
INHALTSVERZEICHNIS XI
5 METRIK UND DIE VERMESSUNG DES RAUMES 81
5.1 METRIK UND ABSTAND 81
5.1.1 DIFFERENTIELLE LAENGE 81
5.1.2 METRIK IN KARTESISCHEN KOORDINATEN 82
5.1.3 METRIK IN POLARKOORDINATEN 83
I
5.2 METRIK UND KRUEMMUNG .' 83
5.3 METRIKEN IM RAUM 84
5.3.1 KARTESISCHE KOORDINATEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM . 84
5.3.2 KUGELKOORDINATEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM 85
5.3.3 ZYLINDERKOORDINATEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM 86
5.4 METRIKEN IN DER RAUMZEIT 86
5.4.1 MINKOWSKI-METRIK IN KARTESISCHEN KOORDINATEN 87
5.4.2 MINKOWSKI-METRIK IN KUGELKOORDINATEN 87
5.5 EIGENSCHAFTEN DER METRIK 88
5.6 METRIKEN VON RAEUMEN MIT KONSTANTER KRUEMMUNG 88
5.6.1 METRIKEN VON FLAECHEN MIT KONSTANTER KRUEMMUNG 89
5.6.2 ALLGEMEINE DARSTELLUNG EINER ZWEIDIMENSIONALEN METRIK MIT
KONSTANTER
KRUEMMUNG 90
6 VEKTOREN IN GEKRUEMMTEN KOORDINATEN 93
6.1 PARTIELLE ABLEITUNG 93
6.1.1 ABLEITUNG IN GERADEN KOORDINATEN 93
6.1.2 ABLEITUNG IN GEKRUEMMTEN KOORDINATEN 94
6.2 BASISVEKTOREN UND CHRISTOFFELSYMBOLE 96
6.2.1 DEFINITION DER CHRISTOFFELSYMBOLE 96
6.2.2 BESTIMMUNG DER CHRISTOFFELSYMBOLE AUS DER METRIK 98
6.3 KOVARIANTE ABLEITUNG 101
6.3.1 DEFINITION DER KOVARIANTEN ABLEITUNG 101
6.3.2 SONDERFAELLE DER KOVARIANTEN ABLEITUNG 104
6.4 PARALLELTRANSPORT 105
7 MESSUNG DER KRUEMMUNG 109
7.1 KRUEMMUNG IM ZWEIDIMENSIONALEN RAUM ; 109
7.2 RIEMANN-KRUEMMUNG 111
7.2.1 KRUEMMUNG IN HOEHERDIMENSIONALEN RAEUMEN 111
7.2.2 BERECHNUNG DER RIEMANN-KRUEMMUNG 113
7.2.3 SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN DER RIEMANN-KRUEMMUNG ! 116
7.2.4 KONTRAKTION DER RIEMANN-KRUEMMUNG 117
7.3 DIE BIANCHI-IDENTITAET 118
XII
INHALTSVERZEICHNIS
8 DIE EINSTEIN'SCHE FELDGLEICHUNG 121
8.1 ANSATZ ZUR BESTIMMUNG DER FELDGLEICHUNG 121
8.2 DIE ENERGIE-IMPULS-MATRIX 123
8.2.1 ENERGIE-IMPULS-MATRIX FUER BEWEGTE MATERIE 123
8.2.2 ENERGIE- UND IMPULSERHALTUNG 126
8.2.3 ENERGIE-IMPULS-MATRIX FUER RUHENDE MATERIE 128
8.2.4 ENERGIE-IMPULS-MATRIX FUER DEN MATERIEFREIEN RAUM 128
8.2.5 ENERGIE-IMPULS-MATRIX FUER EINE FLUESSIGKEIT 128
8.2.6 EIGENSCHAFTEN DER ENERGIE-IMPULS-MATRIX 129
8.3 HERLEITUNG DER EINSTEIN'SCHEN FELDGLEICHUNG 130
8.3.1 EINSTEIN-KRUEMMUNG 130
8.3.2 MASSE UND DIE KRUEMMUNG DES RAUMES 131
8.3.3 DIE KOSMOLOGISCHE KONSTANTE 133
8.4 VORGEHENSWEISE BEI DER LOESUNG DER FELDGLEICHUNG 133
9 SCHWARZSCHILD-METRIK ODER WIE MASSE DEN RAUM KRUEMMT 135
9.1 DEFINITION DER SCHWARZSCHILD-METRIK 135
9.2 BERECHNUNG DER SCHWARZSCHILD-METRIK 136
9.2.1 ANSATZ ZUR BESTIMMUNG DER SCHWARZSCHILD-METRIK 136
9.2.2 GRAVITATION UND ZEITDILATATION 137
9.2.3 GRAVITATION UND RAUMKONTRAKTION 141
9.2.4 DER SCHWARZSCHILDRADIUS 142
9.2.5 DIE SCHWARZSCHILD-METRIK 143
9.3 SCHWARZE LOECHER 144
9.4 DIE BESTIMMUNG DES FAKTORS N 145
10 BEWEGUNGSGLEICHUNG NACH EINSTEIN 147
10.1 BEWEGUNG VON TEILCHEN IM RAUM 147
10.2 GEODAETISCHE GLEICHUNG 148
10.2.1 LOESUNG DER GEODAETISCHEN GLEICHUNG IM RAUM 149
10.3 BEWEGUNG VON TEILCHEN IN DER RAUMZEIT 152
10.3.1 DIE GEODAETISCHE GLEICHUNG IN DER RAUMZEIT 152
10.3.2 DAS PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG 152
10.3.3 DER NEWTON'SCHE GRENZFALL 153
10.4 VORGEHENSWEISE BEI DER LOESUNG DER BEWEGUNGSGLEICHUNG 155
10.5 WARUM DER APFEL VOM BAUM FALLT 155
10.5.1 LICHTSTRAHLEN UND DAS FERMAT'SCHE PRINZIP 156
10.5.2 TEILCHEN UND DIE WELLENFUNKTION 157
10.5.3 WELLENFUNKTION UND WIRKUNG 160
INHALTSVERZEICHNIS XIII
11 DIE KRUEMMUNG DER RAUMZEIT 163
11.1 DARSTELLUNG DER RAUMZEIT-KRUEMMUNG 163
11.2 DIE METHODE DER EINBETTUNG 166
11.2.1 DIE EINBETTUNG ZWEIDIMENSIONALER METRIKEN IN DEN RAUM 166
11.2.2 EINBETTUNG DER SCHWARZSCHILD-METRIK 170
11.3 DIE METHODE DER GEODAETISCH AEQUIVALENTEN ABBILDUNG 171
11.3.1 DEFINITION DER GEODAETISCH AEQUIVALENTEN ABBILDUNG 171
11.3.2 BESTIMMUNG DER METRIKKOEFFIZIENTEN 175
11.3.3 GRAFISCHE DARSTELLUNG DER GEODAETISCH AEQUIVALENTEN METRIK 177
11.4 DER FALL DER APFELS IN DER GEKRUEMMTEN RAUMZEIT 179
12 LICHTABLENKUNG IN DER GEKRUEMMTEN RAUMZEIT 181
12.1 AUSBREITUNG VON LICHT IM GRAVITATIONSFELD 181
12.2 AUFSTELLEN DER BEWEGUNGSGLEICHUNG 182
12.2.1 BESTIMMUNG DER CHRISTOFFELSYMBOLE 183
12.2.2 AUSWERTUNG DER GEODAETISCHEN GLEICHUNG 184
12.2.3 DAS WEGELEMENT DER RAUMZEIT FUER LICHT 185
12.3 LOESUNG DER BEWEGUNGSGLEICHUNG 186
12.3.1 LOESUNG FUER DEN NICHTRELATIVISTISCHEN FALL 186
12.3.2 LOESUNG FUER DEN RELATIVISTISCHEN FALL 187
13 BEWEGUNG VON KOERPERN IN DER GEKRUEMMTEN RAUMZEIT 191
13.1 PERIHELDREHUNG IM GRAVITATIONSFELD 191
13.2 AUFSTELLEN DER BEWEGUNGSGLEICHUNG 192
13.3 DIE GLEICHUNG DER BAHNKURVE 193
13.3.1 ABLEITUNG DER BAHNKURVE 193
13.3.2 LOESUNG FUER DEN NEWTON'SCHEN FALL 194
13.3.3 LOESUNG FUER DEN RELATIVISTISCHEN FALL 195
13.4 DIE ENERGIEBILANZGLEICHUNG 196
14 ROBERTSON-WALKER-METRIK UND DAS GEKRUEMMTE UNIVERSUM 201
14.1 DEFINITION DER ROBERTSON-WALKER-METRIK 201
14.2 ANSATZ ZUR BESTIMMUNG DER METRIK 202
14.3 AUSWERTUNG DER FELDGLEICHUNG 204
14.4 DER SKALENFAKTOR UND DIE FRIEDMANN-GLEICHUNGEN 205
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
15 KOSMOLOGIE 209
15.1 DAS EXPANDIERENDE UNIVERSUM 209
15.1.1 DER HUBBLE-PARAMETER 209
15.1.2 DER SKALENFAKTOR DER EXPANSION 210
15.2 FRIEDMANN-GLEICHUNG FUER UNSER UNIVERSUM 212
15.2.1 DIE ALLGEMEINE FRIEDMANN-GLEICHUNG.' 212
15.2.2 DIE VEREINFACHTE FRIEDMANN-GLEICHUNG 214
15.2.3 BERECHNUNG DER ZEITLICHEN ENTWICKLUNG UNSERES UNIVERSUMS 216
15.3 LOESUNG DER FRIEDMANN-GLEICHUNG 219
15.4 GRAFISCHE DARSTELLUNG DER EXPANSION 220
15.4.1 LICHT UND GALAXIEN IM RAUMZEIT-DIAGRAMM 220
15.4.2 DAS UNIVERSUM MIT KONSTANTEM HUBBLE-PARAMETER 221
15.4.3 DAS UNIVERSUM MIT ZEITABHAENGIGEM HUBBLE-PARAMETER 224
15.5 EMISSIONSENTFERNUNG UND PHYSIKALISCHE ENTFERNUNG 227
A ANHANG 231
A.L DREHMATRIX 231
A.2 PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG 232
A.3 DER KANONISCHE IMPULS 233
A.4 GLOSSAR 234
LITERATURVERZEICHNIS 239
INDEX
241 |
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