Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Computeralgebrasystemen: Anfangswertprobleme
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Ilmenau
Univ.-Verl. Ilmenau
2013
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Differentialgleichungen in der Praxis 1
1.1 Elektrotechnik................................. 1
1.2 Mechanik ................................... 4
J
.3 Thermodynamik und Chemie ........................ 7
1.4 Physik..................................... 8
1.5 Mathematik.................................. 21
1.6 Biologie und Populationsdyriamik ...................... 28
1.7 Medizin.................................... 33
1.8 Weitere Beispiele............................... 35
1.8.1 Skalare gDGl 1. Ordnung....................... 35
1.8.2 Systeme von zwei gDGl 1. Ordnung................. 46
1.8.3 Systeme von
n
gDGl 1. Ordnung .................. 50
1.8.4 Skalare gDGl 2. und höherer Ordnung ............... 52
2 Differentialgleichungen mit
Maple
59
2.1 Analytische Lösung von Differentialgleichungen .............. 60
2.2 Lösungsdarstellung von Differentialgleichungen................
о
2.2.1
Richt
ungsf
eld
der Differentialgleichung............... 69
2.2.2 Numerische Lösung.......................... 75
2.2.3 Richtungsfeld und numerische Lösung................ 97
2.3 Definitionsbereiche von Lösungen...................... 146
2.4 Eindeutige Lösung von Aiifangswertproblemen............... 203
2.5 Mehrdeutige Lösung von Aiifangswertproblemen.............. 210
2.6 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen................ 253
2.7 Spezielle gewöhnliche Differentialgleichungen................ 297
x
_________________________________________INHALTSVERZEICHNIS
3 Differenzen, Differenzenquotienten, Taylor-Reihen 333
3.1 Differenzen ..................................333
3.2 Dividierte Differenzen.............................336
3.3 Approximation von Ableitungen mit Differenzenquotienten........340
3.3.1 Einfache Differenzenquotienten ...................340
3.3.2 Symmetrische Quotienten für die 1. und 2. Ableitung.......341
3.3.3 Symmetrische Differenzenquotienten bis zur 6. Ableitung.....341
3.3.4 Differenzenquotienten für die 1. Ableitung.............342
3.3.5 Differenzenquotienten für die 2. und höhere Ableitungen.....343
3.3.6 Berechnung von Ableitungen.....................343
3.4 Taylor-Reihen und Ableitungen.......................353
4 Einführung in die Numerik 355
4.1 Grundbegriffe.................................355
4.2 Das Eulersche Polygonzugverfahren.....................378
4.3 Erste Fehlerbetrachtungen..........................392
5 Explizite Einschrittverfahren 395
5.1 Das Konzept der Einschrittverfahren.................... 395
5.2 Runge-Kutta- Verfahren............................ 400
5.2.1 Parameterschemata.......................... 421
5.3 Konvergenz von Einschrittverfahren..................... 431
5.4 Schrittweitensteuerung............................ 440
5.4.1 Schrittweitenkontrolle mittels lokalen Diskretisierungsfehler .... 440
5.4.2 Schrittweitenkontrolle mittels Einbettung.............. 454
5.4.3 Schrittweitenkontrolle mittels Schrittkennzahl........... 461
5.4.4 Schrittweitensteuerung mit Grob- und Feinrechnung........ 464
5.4.5 Variable Schrittweitensteuerung................... 484
6 Lineare Mehrschrittverfahren 497
6.1 Das Konzept der linearen Mehrschritt
ver
fahren ..............497
6.1.1 Adams-Bashforth-Verfahren.....................501
6.1.2 Adams-Moulton- Verfahren......................507
6.1.3 Prädiktor-Korrektor-Verfahren....................511
INHALTSVERZEICHNIS_____________________________________________xi
6.2 Die Ordnung linearer Mehrschritt verfahren.................517
6.3 Homogene lineare Differenzengleichungen..................523
6.4 Konsistenz und Konvergenz von Mehrschritt verfahren...........528
7 Stabilität von Schrittverfahren 549
7.1 Absolute Stabilität.............................. 549
7.1.1 Stabilität und Stabilitätsgebiet, von Kirischrittverfahren...... 551
7.2 Stabilität von Mehrschritt verfahren...................... 568
7.2.1 Stabilitätsgebiet von Mehrschrittverfahren............. 569
7.3 Integration steifer Systeme.......................... 606
7.3.1 Systeme mit ausgeprägter Steifheit................. 643
7.3.2 Steife Systeme und Linearisierung.................. 667
8 Implizite Einschritt
ver
fahren 673
8.1 Motivation für implizite Schrittverfahren.................. 673
8.2 Das implizite Euler-Verfahren........................ 675
8.3 Parameterschemata.............................. 682
8.4 Implementation ausgewählter impliziter RKV............... 691
8.5 Rosenbrock-Wanner-Verfahren........................ 697
8.5.1 Einfache
ROW-
Verfahren ...................... 700
8.5.2 Eingebettete
ROW-
Verfahren.................... 705
9 Übungsserien 719
Index 763
Literaturverzeichnis 767
Neundorf: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen mit
Computeralgebrasystemen - Anfangswertprobleme
Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Seminaren für die Mathematik- und Ingenieurstudenten an der
TU Ilmenau hervorgegangen. Es widmet sich der numerischen Behandlung von Anfangswertprob¬
lemen gewöhnlicher Differentialgleichungen, im notwendigen Maße der Theorie, mehr jedoch den
Fragen der Algorithmisierung sowie der Nutzung von Software. So findet der Leser zahlreiche Hinwei¬
se, Beispiele und Illustrationen zur numerischen Behandlung von Differentialgleichungen im Studium
und in der Praxis.
Es ist klar,
dass
in einem solchen Buch nur ein Teil der mit dieser Problematik verbundenen Aspekte
dargestellt werden kann. Im Literaturverzeichnis gibt es weiterführende einschlägige und Fachlitera¬
tur.
Die Umsetzung der Formeln und Verfahren sowie die Darstellung von Ergebnissen, ob zu den nume¬
rischen Methoden, ihrer Herleitung, Genauigkeit, Stabilität und Konvergenz erfolgt vorwiegend un¬
ter Verwendung der Computeraigebrasysteme
Maple
und
MATLAB.
Für die praktischen Rechnungen
wurden auch die angegebenen Programme verwendet.
Die Darstellungen werden durch 45 Beispiele mit sehr vielen gDGI und SysgDGI, durch mehr als 600
Abbildungen und 50 Tabellen sowie weitere algorithmische Notationen, Schemata und Rechener¬
gebnisse unterstützt. Zahlreiche Testbeispiele, Arbeitsblätter und Computerprogramme ergänzen den
Stoff.
Aus der immensen Fülle des Angebots auf diesem Gebiet, das auch im Internet problemlos auffindbar
ist und zur Verfügung steht, wird hier eine beachtliche, wenn auch nur subjektive Auswahl getroffen.
Die Übungsaufgaben dienen zur Vertiefung der Erkenntnisse.
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