Vektorbündel: vom Möbius-Bündel bis zum J-Homomorphismus
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Wiesbaden
Springer Spektrum
2013
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Vektorbündel: Grundlagen 1
1.1 Grundlegende Definitionen ............................ 2
1.1.1 Vektorbündel ................................. 2
1.1.2 Vektorbündel-Homomorphismen ..................... 10
1.1.3 Unterbündel.................................. 14
1.1.4 Schnitte..................................... 15
1.1.5 Isomorphieklassen von
К
-Vektorbündeln über
В
............. 18
1.2 Liften und Whitney-Summe............................ 19
1.2.1 Zurückziehen von Vektorbündeln ..................... 19
1.2.2 Whitney-Summe ............................... 23
1.2.3 Stabile Isomorphie .............................. 26
1.3 Vektorbündel-Homomorphismen......................... 27
1.3.1 Bijektive Vektorbündel-Homomorphismen................ 27
1.3.2 Strikte Vektorbündel-Homomorphismen................. 29
1.3.3 Kern-, Bild- und Quotientenbündel .................... 31
1.3.4 Projektorenfamilien.............................. 33
1.4 Operationen..................................... 34
1.4.1 Algebraische Operationen für Vektorbündel ............... 34
1.4.2 Reelle und komplexe Linienbündel..................... 42
1.5 Ergänzungen..................................... 45
1.5.1
Projektive
Räume............................... 45
1.5.2 Die Spezialfälle P{(K) = Sd......................... 45
1.5.3 Tangentialbündel
projektiver
Räume.................... 46
1.5.4 Homotopiegruppen.............................. 48
2 Umgang mit Vektorbündeln 51
2.1 Schnitte........................................ 52
2.1.1 Schnitte und Vektorbündel-Homomorphismen.............. 52
2.1.2 Beispiele.................................... 54
2.1.3 Erweiterung und Existenz von Schnitten.................. 56
2.1.4 Der Homotopiesatz.............................. 59
2.2 Riemannsche und Hermitesche Metriken .................... 62
2.2.1 Konstruktion und Eigenschaften...................... 62
2.2.2 Orthogonale Komplemente......................... 66
2.2.3 Einbettungen und stabile
Inverse
...................... 69
2.3 Vektorbündel-Probleme............................... 74
2.4 Klassifikation und Konstruktion von Vektorbündeln durch lokale Daten . . 83
2.4.1 Übergangsfunktionen............................. 84
2.4.2 Klassifikation mittels Übergangsfunktionen................ 86
2.4.3 Konstruktionen mittels Übergangsfunktionen .............. 90
2.5 Kleben, Kollabieren................................. 93
2.5.1 Klebekonstruktionen............................. 93
2.5.2 Kollabieren von Bündeln über Unterräumen............... 98
2.6 Exakte Sequenzen.................................. 103
2.6.1 Die lange exakte Sequenz eines Raumpaares................ 104
2.6.2 Die Puppe-Sequenz.............................. 108
2.6.3 Gruppenstruktur............................... 112
2.6.4 Kooperation.................................. 114
2.7 Prinzipalbündel und Faserbündel......................... 119
2.7.1 G-Prinzipalbündel .............................. 119
2.7.2 Vektorbündel und Prinzipalbündel..................... 122
2.7.3 Zur Klassifikation von Prinzipalbündeln.................. 126
2.8 Zusätzliche Strukturen............................... 129
2.8.1 Orientierbare Vektorbündel......................... 129
2.8.2 G-Vektorbündel, eine kurze Einführung.................. 132
2.9 Ergänzungen..................................... 135
2.9.1 Parakompakte Räume und Zerlegungen der Eins............. 135
2.9.2 Einhängungen und Schleifenräume..................... 136
2.9.3 Der polnische Kreis.............................. 139
2.9.4 Exakte Homotopiesequenzen, Faserungen und Kofaserungen..... 140
3 Klassifikation von Vektorbündeln 151
3.1 Vektorbündel über einer Einhängung....................... 152
3.1.1 Komplexe Bündel über
SX
.......................... 153
3.1.2 Reelle Bündel über
ΣΧ
............................ 159
3.1.3 Orientierte Vektorbündel........................... 161
3.1.4 Stabile Vektorbündel über
SX
........................ 166
3.2 Die Stabilisierungssequenz
I
............................ 169
3.2.1 Die Herleitung der Stabilisierungssequenz................. 170
3.2.2 Erste Beispiele zur Stabilisierungssequenz................. 175
3.2.3 Stabilitätssätze................................. 177
3.2.4 Fasersequenzen................................ 181
3.2.5 Die komplexe Stabilisierungssequenz.................... 184
3.3 Vektorbündel über Sphären ............................ 187
3.3.1 Das Tangentialbündel der Sphäre in der Stabilisierungssequenz .... 188
3.3.2 Einschub: Das Vektorfeld-Problem auf 54m+1............... 193
3.3.3 Stabile Bündel und Bott-Periodizität.................... 196
3.3.4 Die ersten instabilen Homotopiegruppen von 50(n).......... 198
3.3.5 Bündel unendlicher Ordnung........................ 201
3.3.6
Komplexe
Bündel...............................203
3.4 Die Klassifikationssätze...............................208
3.4.1 Graßmann-Mannigfaltigkeiten und universelle Bündel.........208
3.4.2 Klassifizierende Abbildungen........................212
3.4.3 Die Klassifikationssätze für reelle und komplexe Bündel.........216
3.4.4 Klassifikation stabiler Vektorbündel....................220
3.4.5 Vektorbündel über einer Einhängung
ÍI
..................224
3.5 Das Arbeiten mit den Klassifikationssätzen...................227
3.5.1 Basispunkte und exakte Sequenzen.....................228
3.5.2 Intervall mit doppeltem Nullpunkt.....................235
3.5.3 Nicht-KommutativitätinVekt^ZX)....................238
3.6 Ergänzungen.....................................242
3.6.1 Schwache
Topologie
..............................242
3.6.2 Basispunkte ..................................244
3.6.3 Lie-Gruppen..................................245
3.6.4 Homotopiemengen und
С
W-
Komplexe..................246
3.6.5 Ausschneidung für relative Homotopiegruppen .............248
3.6.6 Tnom-Räume.................................250
3.6.7 Anheftende Abbildungen in
projektíven
Räumen und Berechnung
]
...............................251
Charakteristische Klassen für Vektorbündel 255
4.1 Kohomologie.....................................256
4.1.1 Eilenberg-MacLane Räume.........................256
4.1.2 Linienbündel..................................258
4.2 Charakteristische Klassen..............................260
4.2.1 Die Euler-Klasse................................260
4.2.2 Stiefel-Whitney und Chern-Klassen ....................262
4.3 Vektorbündel über
С
ÌV-Komplexen
kleiner Dimension............267
4.4
К
-Theorie und Bott-Periodizität..........................269
4.4.1 Definition der K-Gruppen..........................269
4.4.2 Das reduzierte Produkt in SVektK......................272
4.4.3 Die Bott-Periodizitäts Abbildungen.....................273
4.4.4 Die Gruppen SVektR(
Ґ
P2(C)).......................276
4.4.5 Die Bott-Sequenz...............................278
4.5 Bott-Periodizität und charakteristische Klassen.................280
4.5.1 Spaltungsprinzip und Newton-Polynome.................280
4.5.2 Stiefel-Whitney-Klassen für Bündel über Sphären............283
4.6 Vektorbündel und Kohomologie..........................285
4.6.1 Adams-Filtrierung..............................285
4.6.2 Bündel über
X
.................................286
4.6.3 Bündel über einer Einhängung.......................288
4.7 Zum Beweis des Periodizitätssatzes........................292
4.7.1 Der Morse-Theorie-Beweis..........................294
4.7.2 Der Homologie-
В е
weis............................296
4.7.3 Der elementare Beweis............................300
Stabile und nicht stabile Vektorbündel 307
5.1 Die Stabilisierungssequenz
II
............................308
5.1.1 Herleitung der Stabilisierungssequenz...................308
5.1.2 Schnitte in Vielfachen von Bündeln.....................315
5.2 Die Euler-Klasse in der Stabilisierungssequenz.................318
5.2.1 Hurewicz-Abbildung und der Satz von Hopf...............318
5.2.2 Die Euler-Klasse in der Stabilisierungssequenz..............319
5.2.3 Die Euler-Klasse eines
η
-dimensionalen
Bündels über einem n-
dimensionalen Komplex...........................325
5.3 Stabil triviale Vektorbündel.............................326
5.3.1 Gauß-Abbildungen
I
.............................327
5.3.2 Klassifikation stabil trivialer Vektorbündel: der einfachste Fall.....328
5.3.3 Beispiele....................................332
5.3.4
η
-dimensionale
Bündel über einem
η
-dimensionalen
Komplex .... 334
5.4 Niedrigdimensionale Beispiele...........................338
5.4.1 Vektorbündel über P2(R) ..........................338
5.4.2 Ebenenbündel über Pn
(R), n
> 3......................343
5.5 Stabile Bündel über
projektíven
Räumen.....................344
Vektorbündel und stabile Homotopie 351
6.1 Stabile Homotopie..................................353
6.1.1 Einhängungssätze...............................353
6.1.2 Stabile Abbildungen..............................357
6.1.3 5-Dualität ...................................361
6.1.4 Der Chern-Charakter.............................365
6.2 Die allgemeine Stabilisierungssequenz......................371
6.2.1 Stiefel-Mannigfaltigkeiten..........................372
6.2.2 Herleitung der allgemeinen Stabilisierungssequenz............373
6.2.3 Gauß-Abbildungen
II
.............................374
6.2.4 Schnitte in y^„ und in stabil trivialen Vektorbündeln..........377
6.2.5 Stabilitätseigenschaften............................379
6.3 Vektorbündel bis auf Faserhomotopieäquivalenz................383
6.3.1 Die Gruppe
/(X)
...............................383
6.3.2 Orientierbarkeit in stabiler Homotopie...................385
6.3.3 Funktionenräume...............................389
6.3.4 /-Homomorphismus
I
............................391
6.4 Sphärische Faserungen...............................398
6.4.1 Klassifizierende Räume für sphärische Faserungen, ein Überblick . . . 398
6.4.2 Bündelreduktion und sphärische Faserungen ..............400
6.4.3 Reduktion auf stabile Abbildungen.....................407
7 Adams-Vermutung und Berechnung von J(X) 409
7.1 Adams-Operationen.................................409
7.1.1 Adams-Operationen.............................409
7.1.2 K-Theorie Hindernisse für Faserhomotopietrivialität ..........413
7.1.3 Berechnung von ƒ(P„(K))..........................418
7.2 Adams-Vermutung..................................422
7.2.1 Die Adams-Vermutung und der Kograd von Vektorbündeln......423
72.2 Die klassifizierende Raum Version der Adams-Vermutung.......428
7.2.3 Bild(ƒ)-Theorie und
e-Invariante,
ein Ausblick..............431
7.3 Anwendungen der Adams-Vermutung......................435
7.3.1 Der Vektorfeldsatz ..............................435
7.3.2 Fast-parallelisierbare Mannigfaltigkeiten..................438
7.3.3 Periodizitätsoperatoren............................439
7.3.4 Aushängen von
Bild(J)
-Klassen.......................441
7.4 Ergänzungen.....................................448
7.4.1 Die stabile Einhängungsordnung von Pin
(Џ)
...............448
7.4.2 Periodizitätsoperatoren auf Quotienten
projektiver
Räume.......452
8 J-Homomorphismus und EHP-Sequenz 457
8.1 Der klassische}-Homomorphismus........................458
8.1.1 Der Verbund zweier Räume und die Hopf-Konstruktion........458
8.1.2 Der /-Homomorphismus
II
.........................462
8.1.3 Der Thom-Raum für Bündel über einer Einhängung...........464
8.2 EHP-Sequenz, Hopf-Invariante und Whitehead-Produkt...........466
8.2.1 Die klassische EHP-Sequenz.........................466
8.2.2 Die EHP-Faserung ..............................468
8.2.3 Aufspaltungen und James-Modell......................471
8.2.4 Das Whitehead-Produkt und die Abbildung
Ρ
..............477
8.2.5 Hopf-Invarianten...............................482
8.2.6 Distributivgesetze...............................487
8.3 EHP-Sequenz und Stabilisierungssequenz....................490
8.3.1 Klassische EHP-Sequenz und Stabilisierungssequenz..........490
8.3.2 Die Hopf-Invariante einer Hopf-Konstruktion..............493
8.3.3 EHP-Faserung und Stabilisierungssequenz................498
8.4 Die iterierte Einhangungssequenz von James ..................500
8.4.1 Die iterierte Einhangungssequenz und das Aushängungsproblem . . . 500
8.4.2 Anwendungen.................................505
8.5 Ergänzungen.....................................507
8.5.1 Ergänzungen zum Verbund, zur Hopf-Konstruktion und zum ƒ-
Homomorphismus..............................507
8.5.2 Der Thom-Raum des Tangentialbündels der Sphäre...........514
9 Vektorbündel im metastabilen Bereich 517
9.1 Metastabile Homotopiegruppen von
S O (n)
...................518
9.1.1 Der Satz von Barratt-Mahowald.......................518
9.1.2 Die Homotopie-Euler-Klasse eines Barratt-Mahowald-Bündels und
das Samelson Produkt
(ctS2*,ctS2*)
.....................524
9.2 Schnitthindernisse und stabil triviale Bündel..................530
9.2.1 Stabil triviale Bündel.............................530
9.2.2 Die Hindernisabbildung p*.........................531
9.3 James-Periodizität..................................533
9.4 Vektorfelder auf Sphären und stabil parallelisierbaren Mannigfaltigkeiten . . 538
9.4.1 Vektorfelder auf Sphären...........................540
9.4.2 Das Vektorfeld-Problem für
я-
Mannigfaltigkeiten............545
9.4.3 Die Stabilisierungssequenz für stabil triviale Bündel...........549
9.4.4 Die Homotopie-Euler-Klasse einer Vektorfeld-Bündelreduktion von
rSn~l
......................................555
9.5 Gauß-Abbildungen in K-Theorie .........................559
9.5.1 Adams-Filtrier
ung-
0- und fro-primäre Bündel..............560
9.5.2 Die Ordnung der Bündelreduktion
(тЅп){~к)
...............570
9.5.3 Der Vektorfeldsatz nach
Toda
........................574
9.5.4 Anwendungen.................................576
Literaturverzeichnis 580
Index 588
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