Partielle Differentialgleichungen: eine anwendungsorientierte Einführung
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin, [u.a.]
Springer Spektrum
[2013]
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| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch Masterclass
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INHALTSVERZEICHNIS
TEIL I EINFUEHRUNG UND GRUNDLAGEN
1 MODELLIERUNG MIT PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IS
2 ERSTE EIGENSCHAFTEN VON LOESUNGEN 21
2.1 NOTATION UND PARTIELLE INTEGRATION 21
2.2 HARMONISCHE FUNKTIONEN 23
2.3 ERSTE ZEITABHAENGIGE GLEICHUNGEN 30
3 GRUNDLAGEN FUER EINEN VERALLGEMEINERTEN LOESUNGSBEGRIFF 39
3.1 DER GAUSSSCHE SATZ 39
3.2 DISTRIBUTIONEN 46
3.3 SOBOLEVRAEUME 54
4 SCHWACHE KONVERGENZ 69
4.1 DUALRAEUME UND SCHWACHE KONVERGENZBEGRIFFE 69
4.2 KOMPAKTHEIT 76
4.3 METHODEN ZUR BEHANDLUNG NICHTLINEARER GLEICHUNGEN 82
TEIL II LINEARE ELLIPTISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5 DARSTELLUNGSFORMELN 95
5.1 DIE FUNDAMENTALLOESUNG 95
5.2 GREEN'SCHE FUNKTIONEN 99
5.3 FOURIER-REIHEN 106
6 ENERGIEMETHODEN 111
6.1 VARIATIONSMETHODE UND SYMMETRISCHE PROBLEME 111
6.2 UNSYMMETRISCHE BILINEARFORMEN UND LAX-MILGRAM 122
6.3 REGULARITAET 129
3
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4
INHALTSVERZEICHNIS
7 MAXIMUMPRINZIPIEN FUER ELLIPTISCHE GLEICHUNGEN 141
7.1 GEOMETRISCHER ZUGANG ZU MAXIMUMPRINZIPIEN 141
7.2 BEWEIS MIT TESTFUNKTIONEN, ANWENDUNGEN 146
8 HARMONISCHE FUNKTIONEN: WEITERE EIGENSCHAFTEN UND VERFAHREN 155
8.1 REGULARITAET, LIOUVILLE-THEOREM, HARNACK-UNGLEICHUNG 155
8.2 DAS PERRON VERFAHREN 159
8.3 SPEKTRALSATZ UND LAPLACE-BELTRAMI OPERATOR 166
TEIL III LINEARE ZEITABHAENGIGE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
9 DARSTELLUNGSFORMELN FUER PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 175
9.1 LOESUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG IM GANZRAUM 175
9.2 MAXIMUMPRINZIP, REGULARITAET, HALBGRUPPE 181
10 ZEITABHAENGIGE FUNKTIONENRAEUME 189
10.1 BOCHNER-RAEUME 191
10.2 INTERPOLATIONSSAETZE FUER RAUM-ZEIT FUNKTIONEN 201
11 ENERGIEMETHODEN FUER PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 209
11.1 EXISTENZ MIT ZEITDISKRETEN APPROXIMATIONEN 211
11.2 MAXIMUMPRINZIP, REGULARITAET UND WEITERE EIGENSCHAFTEN 222
12 WELLENGLEICHUNGEN 229
12.1 MODELLIERUNG UND LOESUNGSFORMELN 229
12.2 EXISTENZ MIT EINEM GALERKINVERFAHREN 236
TEIL IV VARIATIONSRECHNUNG
13 DIREKTE METHODE DER VARIATIONSRECHNUNG 245
13.1 EULER-LAGRANGE GLEICHUNGEN, DIREKTE METHODE 247
13.2 KONVEXITAET UND UNTERHALBSTETIGKEIT 253
14 NICHTKONVEXE FUNKTIONALE, NEBENBEDINGUNGEN 261
14.1 EIN NICHTKONVEXES PROBLEM 261
14.2 NEBENBEDINGUNGEN 268
15 KONVEXE ANALYSIS 281
15.1 FENCHEL-KONJUGIERTE UND SUBDIFFERENTIAL 281
15.2 KONVEXE ANALYSIS IN ANWENDUNGEN 290
TEIL V FIXPUNKTSAETZE UND MONOTONE OPERATOREN
16 LOESUNG NICHTLINEARER GLEICHUNGEN MIT FIXPUNKTSAETZEN 299
16.1 ZENTRALE FIXPUNKTSAETZE, VARIATIONSUNGLEICHUNGEN 300
16.2 LOESUNG NICHTLINEARER ELLIPTISCHER UND PARABOLISCHER GLEICHUNGEN .
310
INHALTSVERZEICHNIS S
17 MONOTONE OPERATOREN 321
17.1 DEFINITIONEN, EXISTENZSATZ VON BROWDER UND MINTY 321
17.2 DER P-LAPLACE UND DER MONOTONIETRICK 328
17.3 VARIATIONSUNGLEICHUNGEN UND GESTOERT MONOTONE OPERATOREN 335
18 STATIONAERE POROESE MEDIEN GLEICHUNGEN 345
18.1 NICHTDEGENERIERTE STROEMUNGSGLEICHUNGEN 347
18.2 DAS GRUNDWASSERPROBLEM * EIN FREIES RANDWERTPROBLEM 350
TEIL VI NICHTLINEARE EVOLUTIONSGLEICHUNGEN
19 QUASILINEARE GLEICHUNGEN 363
19.1 EXISTENZRESULTAT MIT DEM GALERKIN-VERFAHREN 364
19.2 FINITE ELEMENTE 370
20 DEGENERIERTE DIFFUSION 375
20.1 POROESE MEDIEN GLEICHUNG UND REGULARISIERUNGSTECHNIK 375
20.2 DOPPELT DEGENERIERTE PROBLEME UND ZEITDISKRETISIERUNG 384
21 EINDEUTIGKEIT UND STABILITAET 397
21.1 EINDEUTIGKEIT UND VERGLEICH VON LOESUNGEN 397
21.2 LANGZEITVERHALTEN UND STABILITAET 404
TEIL VII STROEMUNGSMECHANIK
22 MODELLIERUNG VON FLUIDEN 411
22.1 GESCHWINDIGKEIT, DRUCK, IDEALE FLUIDE 414
22.2 INNERE REIBUNG UND NAVIER-STOKES GLEICHUNGEN 426
22.3 POTENTIALSTROEMUNGEN 431
23 DIE STOKES GLEICHUNG 445
23.1 VARIATIONSFORMULIERUNG UND EXISTENZRESULTAT 446
23.2 EIN NUMERISCHES VERFAHREN FUER DIE STOKES GLEICHUNG 455
23.3 DIE INSTATIONAERE GLEICHUNG 466
24 NAVIER-STOKES UND EULER GLEICHUNGEN 477
24.1 DER KONVEKTIONSTERM UND KOMPAKTHEITSRESULTATE 477
24.2 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT FUER NAVIER-STOKES 487
24.3 EXISIENZRESULTATE FUER DIE EULER GLEICHUNGEN 497
TEIL VIII FESTKOERPERMECHANIK
25 MODELLIERUNG UND LINEARE THEORIE 507
25.1 VERFORMUNGEN UND KRAEFTE 507
25.2 SYMMETRISCHE GRADIENTEN UND KORN'SCHE UNGLEICHUNG 516
25.3 EXISTENZRESULTATE FUER LINEARE ELASTIZITAETSMODELLE 527
6
INHALTSVERZEICHNIS
26 NICHTLINEARE ELASTIZITAET 531
26.1 AD HOC MODELLE FUER EINDIMENSIONALE OBJEKTE 531
26.2 NICHTLINEARE DREIDIMENSIONALE MODELLE 538
26.3 EXISTENZRESULTAT FUER EIN QUASIKONVEXES VARIATIONSPROBLEM 546
27 PLASTIZITAET 555
27.1 MODELLE FUER PLASTISCHE VERFORMUNG 555
27.2 BEHANDLUNG EINES MODELLS MIT KINEMATISCHER HAERTUNG 563
27.3 QUASISTATIONAERE EVOLUTION 574
A VERZEICHNISSE 587
A.L NOTATION UND SYMBOLE 587
A.2 VERWENDETE SAETZE 589
LITERATURVERZEICHNIS 591
SACHVERZEICHNIS 595
Partielle Differentialgleichungen
Das Buch führt in die Theorie der Partiellen Differentialgleichungen ein, vorausgesetzt
werden dabei lediglich die Grundvorlesungen der
Analysis.
Eine Vielzahl linearer und
nichtlinearer Differentialgleichungen wird mit Modellierungsansätzen motiviert und
rigoros analysiert. Nach den klassischen linearen Problemen der Potentialtheorie und
Wärmeleitung werden insbesondere nichtlineare Probleme aus der Theorie poröser
Medien, der Strömungsmechanik und der Festkörpermechanik behandelt. Entlang der
Aufgabenstellungen von zunehmender Komplexität werden moderne Methoden und
Theorien der
Analysis
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