Zahlen und Zahlbegriff: Mathematisch-didaktische Studien
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Hildesheim
Franzbecker
2013
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| adam_text | Titel: Zahlen und Zahlbegriff
Autor: Bedürftig, Thomas
Jahr: 2013
Inhaltsverzeichnis
Vorwort vii
Inhaltsverzeichnis ix
Einleitung 1
1 Populäres 5
1.1 Ein ausgefallener Geburtstag...................... 5
1.2 100 Jahre Was sind und was sollen die Zahlen? ........... 9
1.3 Eine kleine Zahlengeschichte...................... 12
1.3.1 Vorspann............................ 12
1.3.2 Ursprünge............................ 12
1.3.3 Zahlen auf dem Wege zur Mathematik............. 13
1.3.4 Die Zahlenwelt des Pythagoras................. 15
1.3.5 Der Absturz der Zahlen..................... 17
1.3.6 Neue Zahlen.......................... 18
1.3.7 Die mathematische Wende................... 20
1.3.8 Ausblick............................ 21
1.3.9 Zeittafel............................. 21
1.4 Grenzenlos? - Eine Wissenschaft kommt zu Bewusstsein........ 22
1.4.1 Aufbruch............................ 23
1.4.2 Triumphe............................ 23
1.4.3 Aha!............................... 24
1.4.4 Krise.............................. 25
1.4.5 Der unmögliche Barbier.................... 25
1.4.6 Wieder aufwärts ........................ 26
1.4.7 Entscheidung.......................... 27
1.4.8 Moral.............................. 28
. 1.4.9 Zeittafel und Personal ..................... 29
2 Didaktisches 30
2.1 Hilft Mathematik bei der Analyse von Rechenschwächen?...... 31
2.1.1 Beobachtungen......................... 31
2.1.2 Pause.............................. 32
2.1.3 Eine Aufgabe - vier Anwendungen.............. 33
2.1.4 Mathematischer Hintergrund.................. 33
2.1.5 Vermutungen - und eine Abschweifung über das Zählen ... 35
2.1.6 Weitere Vermutungen...................... 36
2.1.7 Helfen ja - Bestimmen nein.................. 37
2.2 In der Sackgasse des zählenden Rechnens - Eine Fallgeschichte ... 39
2.2.1 Der Fall Steffi.......................... 40
2.2.2 Zahlenraum bis 10....................... 41
2.2.3 Zahlenraum bis 20....................... 42
2.2.4 Zahlenraum bis 100....................... 44
2.2.5 In der Sackgasse?........................ 45
2.2.6 Wege aus der Sackgasse.................... 47
2.2.7 Wie geht es weiter?....................... 52
2.3 Deutsch 1, Mathematik 5 -ein sonderpädagogisches Problem? .... 53
2.3.1 Marlies, Klasse 4 b....................... 54
2.3.2 Schwierigkeiten und besondere Fähigkeiten.......... 54
2.3.3 Versuche der Förderung .................... 57
2.3.4 Vermutungen über Fähigkeiten und Schwierigkeiten..... 59
2.3.5 Schlussbemerkungen...................... 62
2.4 Briefwechsel über die schriftliche Subtraktion............. 63
2.4.1 Verehrte Frau Kultusministerin................. 63
2.4.2 Plusrechnen im Minusschema................. 65
2.4.3 Purzelbäume.......................... 68
2.4.4 Ergänzen im Schema der schriftlichen Addition........ 69
2.5 Die Eins................................. 71
2.5.1 Wo die 1 herkommt....................... 71
2.5.2 1, Zählen, Zahlen........................ 72
2.5.3 l.,Nr. 1, Platz 1 ........................ 73
2.5.4 + 1, kleines 1+1......................... 74
2.5.5 Einheit............................. 75
Mathematisch-didaktisches 77
3.1 Zählen, Aufzählen, Mengenbildung .................. 78
3.1.1 Aufzählen der Elemente einer Menge............. 78
3.1.2 Zählen und Mengenbildung.................. 79
3.1.3 Die Beweisidee......................... 82
3.1.4 Der Beweis........................... 83
3.2 Sets or Numbers?............................ 87
3.3 Über Natürliches und Besonderes an den natürlichen Zahlen..... 91
3.3.1 Einleitung............................ 91
3.3.2 Zählen, Peanoaxiome, natürliche Zahlen............ 92
3.3.3 Rekursionssatz - oder das Vermögen des Ordnens....... 93
3.3.4 Operatoren - oder Zahlen zählen Zahlen............ 95
3.3.5 Null............................... 98
3.3.6 Wie addiert man natürliche Zahlen............... 99
3.3.7 Operatoren - oder das Können des Schreitens.........104
3.3.8 Rückblick, Reflexion und Ausblick..............105
Mathematisches 110
4.1 Another Characterization of the Natural Numbers........... 111
4.2 Einige elementare Kennzeichnungen der natürlichen Zahlen..... 113
4.2.1 Peanoaxiome, Endlichkeit, natürliche Zahlen......... 114
4.2.2 Strukturelle Kennzeichnungen................. 117
4.2.3 Instrumentelle Kennzeichnungen................ 128
4.2.4 Individuelle Kennzeichnungen................. 133
4.2.5 Systematische Übersicht.................... 142
Mathematisch-Philosophisches 144
5.1 Zählen..................................145
5.1.1 Reines Zählen.......................... 147
5.1.2 Elementare mathematische Bemerkungen........... 150
5.1.3 Über den Begriff des Zählens ................. 153
5.2 Alte und neue Ansichten über die Zahlen................ 156
5.2.1 Mathematische Zurückhaltung und philosophische Standorte . 157
5.2.2 Antike.............................. 158
5.2.3 Nikolaus von Kues, Kant, Mill................. 162
5.2.4 Gauss, Cantor und Dedekind.................. 164
5.2.5 Logizismus, Intuitionismus, Formalismus........... 169
5.2.6 Genetische Positionen..................... 174
5.2.7 Der evolutionäre Standpunkt.................. 177
5.2.8 Die eigene Auffassung..................... 180
5.2.9 Mathematikphilosophische Fragen............... 183
5.2.10 Schluss............................. 184
5.3 Über die Zahlengerade - historische und philosophische Anmerkungen 185
5.3.1 Von Zahlen und Geraden zur Zahlengeraden.......... 186
5.3.2 Wandlungen der Kontinuumsauffassung............ 187
5.3.3 Didaktische Randbemerkung.................. 188
5.3.4 Die Geschichte ist nicht aus................... 189
5.3.5 Schluss............................. 194
Rückblick und Reflexion 196
6.1 Vor einem methodischen Rückblick ..................197
6.1.1 Zwei vernichtende Gutachten .................197
6.1.2 Einzelanmerkungen.......................200
6.2 Mathematische Grundlagen, empirische Methode und Wirklichkeit . . 203
6.2.1 Über mathematische Grundlagen und reale Zahlen.....203
6.2.2 Weiteres über die mathematische Abstraktion.........208
6.2.3 Randbemerkung über die formalistische Position.......210
6.2.4 Notiz über Abstraktion und Interpretation...........210
6.2.5 Über empirische Untersuchungen...............211
6.2.6 Zahlbegriffsaspekte empirisch-didaktisch...........214
6.2.7 Bemerkung über empiristische Positionen...........215
6.2.8 Summe.............................216
6.3 Inhaltlicher Rückblick .........................218
6.3.1 Woher kommen die Mengen? .................219
6.3.2 Was können Mengen? .....................220
6.3.3 Populär versus wissenschaftlich?................222
6.3.4 Haben mathematische Grundlagen einen didaktischen Sinn? . 224
6.3.5 Mathematische Hilfe bei Rechenschwierigkeiten?.......224
6.3.6 Mathematische Hilfe bei der Förderung? ...........225
6.3.7 Ein versus Eins .......................226
6.3.8 Ein Grundproblem der schriftlichen Subtraktion........227
6.3.9 Mathematisch versus didaktisch? ...............228
6.3.10 Kann man Zahlen einführen?..................229
6.3.11 Zählen und Zahlen in der mengentheoretischen Grundlage . . 229
6.3.12 Bericht über Kennzeichnungen und Zahlbegriffsaspekte . . . 231
6.3.13 Die Tabelle der Zahlbegriffsaspekte..............239
6.3.14 Philosophisches.........................240
6.3.15 Zählbegriff...........................241
6.3.16 Sind Zahlen Ansichtssache?..................241
6.3.17 Was können reelle Zahlen?...................243
6.4 Nachworte................................244
Literaturverzeichnis 247
Personenverzeichnis 260
Symbolverzeichnis 264
Begriffsverzeichnis 265
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