Mathematische Grundlagen für die Informatik: Mengen, Logik, Rekursion
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Wiesbaden
Springer Vieweg
2013
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INHALTSVERZEICHNIS VII
INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT V
1 MENGEN UND LOGIK 1
1.1 DEFINITION UND DARSTELLUNG VON MENGEN 2
1.1.1 EIN MENGENBEGRIFF 3
1.1.2 DARSTELLUNG VON MENGEN 5
1.1.3 BEZEICHNER FUER ZAHLENMENGEN 8
1.1.4 RUSSELLSCHE ANTINOMIE 9
1.1.5 ZUSAMMENFASSUNG 11
1.2 AUSSAGENLOGIK 11
1.2.1 ALPHABET DER AUSSAGENLOGIK 12
1.2.2 SYNTAX AUSSAGENLOGISCHER FORMELN 13
1.2.3 SEMANTIK AUSSAGENLOGISCHER FORMELN 14
1.2.4 ZUSAMMENFASSUNG 21
1.3 LOGISCHE FOLGERUNGEN UND IMPLIKATIONEN 22
1.3.1 LOGISCHE FOLGERUNG 22
1.3.2 IMPLIKATION 25.
1.3.3 KALKUELE 26
1.3.4 THEORIEN 28
1.3.5 ZUSAMMENFASSUNG 29
1.4 AEQUIVALENZEN, BASEN UND NORMALFORMEN 30
1.4.1 AUSSAGENLOGISCHE AEQUIVALENZEN 30
1.4.2 AUSSAGENLOGISCHE BASEN 34
1.4.3 DISJUNKTIVE UND KONJUNKTIVE NORMALFORM 37
1.4.4 ZUSAMMENFASSUNG 43
1.5 RESOLUTIONSKALKUEL 44
1.5.1 KLAUSELMENGEN 44
1.5.2 DER RESOLUTIONSOPERATOR 46
1.5.3 DAS RESOLUTIONSVERFAHREN 51
1.5.4 ZUSAMMENFASSUNG 53
1.6 HORNLOGIK 54
1.6.1 HORNFORMELN UND HOMKLAUSELN 55
1.6.2 ERFUELLBARKEIT VON HORNFORMELN 56
1.6.3 KLEINSTE MODELLE 58
1.6.4 ZUSAMMENFASSUNG 59
1.7 PRAEDIKATENLOGIK 59
1.7.1 ALPHABET DER PRAEDIKATENLOGIK 60
1.7.2 SYNTAX PRAEDIKATENLOGISCHER FORMELN 60
1.7.3 SEMANTIK PRAEDIKATENLOGISCHER FORMELN 62
1.7.4 WEITERE LOGIKEN 65
1.7.5 ZUSAMMENFASSUNG 66
1.8 BEWEISMETHODEN 66
1.8.1 DIREKTER BEWEIS 67
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IMAGE 2
VORWORT
1.8.2 INDIREKTER BEWEIS 68
1.8.3 BEWEIS DURCH WIDERSPRUCH 69
1.8.4 RINGSCHLUSS 70
1.8.5 ZUSAMMENFASSUNG 71
1.9 OPERATIONEN AUF MENGEN 71
1.9.1 TEILMENGEN 72
1.9.2 POTENZMENGEN 74
1.9.3 VERKNUEPFUNG VON MENGEN 75
1.9.4 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 76
1.9.5 ZUSAMMENFASSUNG 80
1.10 BOOLESCHE ALGEBRA 80
1.10.1 DEFINITIONEN UND GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN 80
1.10.2 ISOMORPHIE BOOLESCHER ALGEBREN 83
1.10.3 ZUSAMMENFASSUNG 85
2 RELATIONEN UND FUNKTIONEN 87
2.1 RELATIONEN 88
2.1.1 KARTESISCHES PRODUKT 89
2.1.2 RELATIONEN: DEFINITIONEN UND EIGENSCHAFTEN 90
2.1.3 ORDNUNGEN 94
2.1.4 AEQUIVALENZRELATIONEN 97
2.1.5 UMKEHRRELATIONEN 101
2.1.6 KOMPOSITION VON RELATIONEN 101
2.1.7 REFLEXIV-TRANSITIVE HUELLEN 103
2.1.8 ZUSAMMENFASSUNG 104
2.2 FUNKTIONEN 105
2.2.1 BEGRIFFE UND EIGENSCHAFTEN 105
2.2.2 OPERATIONEN UND PRAEDIKATE 108
2.2.3 ZUSAMMENFASSUNG 109
2.3 MAECHTIGKEIT VON MENGEN 110
2.3.1 DEFINITIONEN UND BEISPIELE 110
2.3.2 ZUSAMMENFASSUNG 116
3 ZAHLENMENGEN 117
3.1 DIE MENGE DER NATUERLICHEN ZAHLEN 117
3.1.1 EINFUEHRUNG DER MENGE DER NATUERLICHEN ZAHLEN 117
3.1.2 RECHNEN MIT NATUERLICHEN ZAHLEN 120
3.1.3 RECHENREGELN IN N Q 121
3.1.4 ZUSAMMENFASSUNG 123
3.2 VOLLSTAENDIGE INDUKTION UND VERALLGEMEINERTES REKURSIONSSCHEMA . N
124
3.2.1 VOLLSTAENDIGE INDUKTION . . . . 124
3.2.2 VERALLGEMEINERTES REKURSIONSSCHEMA 128
3.2.3 ZUSAMMENFASSUNG 130
3.3 FIBONACCI-ZAHLEN 131
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS IX
3.4 ACKERMANNFUNKTION 134
3.5 ABZAEHLBARKEIT VON MENGEN 137
3.5.1 DEFINITIONEN UND GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN 138
3.5.2 BEISPIELE UND DIAGONALISIERUNG 138
3.5.3 ABSCHLUSSEIGENSCHAFTEN ABZAEHLBARER MENGEN 139
3.5.4 ZUSAMMENFASSUNG 141
3.6 DIE MENGE DER GANZEN ZAHLEN 141
3.6.1 KONSTRUKTION DER GANZEN ZAHLEN 141
3.6.2 RECHENREGELN IN Z 144
3.6.3 ZUSAMMENFASSUNG 145
3.7 DIE MENGE DER RATIONALEN ZAHLEN 145
3.7.1 KONSTRUKTION DER RATIONALEN ZAHLEN 146
3.7.2 RECHENREGELN IN Q 148
3.7.3 ZUSAMMENFASSUNG 148
3.8 RECHENSTRUKTUREN 149
3.8.1 GRUPPEN, RINGE, KOERPER 149
3.8.2 KOEPERERWEITERUNGEN 152
3.8.3 ZUSAMMENFASSUNG 156
3.9 DIE MENGEN DER REELLEN UND DER KOMPLEXEN ZAHLEN 156
3.9.1 REELLE ZAHLEN 156
3.9.2 KOMPLEXE ZAHLEN 158
3.9.3 ALGEBRAISCHE UND TRANSZENDENTE ZAHLEN 163
3.9.4 ZUSAMMENFASSUNG 164
4 BERECHENBARKEIT 165
4.1 PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 166
4.2 //-REKURSION 172
4.3 CHURCHSCHE THESE 177
4.4 UTM- UND SMN-THEOREM 179
4.4.1 NUMMERIERUNG DER BERECHENBAREN FUNKTIONEN 180
4.4.2 DAS UTM-THEOREM 185
4.4.3 DAS SMN-THEOREM 186
4.4.4 REKURSIONSSATZ UND SELBSTREPRODUKTIONSSATZ 187
4.5 AUFZAEHLBARE UND ENTSCHEIDBARE MENGEN 188
4.5.1 ENTSCHEIDBARE UND SEMI-ENTSCHEIDBARE MENGEN 189 4.5.2 AUFZAEHLBARE
MENGEN 190
4.5.3 REDUZIERBARKEIT VON MENGEN 192
4.6 UNENTSCHEIDBARE MENGEN 193
4.6.1 DAS HALTEPROBLEM 193
4.6.2 DER SATZ VON RICE 196
4.6.3 DAS KORREKTHEITSPROBLEM 197
4.6.4 DAS AEQUIVALENZPROBLEM 197
4.7 ZUSAMMENFASSUNG 198
IMAGE 4
X
LOESUNGEN ZU DEN AUFGABEN 201
LITERATUR 215
STICHWORTVERZEICHNIS 217
Mathematische Grundlagen für die Informatik
Logiken, Mengen, Relationen, Funktionen, Induktion und Rekursion sind grund¬
legende mathematische Konzepte und Methoden, die in allen Bereichen der Infor¬
matik für die Beschreibung von Problemen und deren Lösung benötigt werden.
Das Beherrschen dieser Konzepte und Methoden ist Voraussetzung für das Stu¬
dium fast aller weiteren Informatik-Module, nicht nur in Bereichen der Mathe¬
matik und der Theoretischen Informatik, sondern auch in Bereichen der Prakti¬
schen Informatik, wie z.B. Programmierung, Datenstrukturen, Algorithmen und
Datenbanken. Das Buch stellt die grundlegenden Begriffe, ihre Eigenschaften und
Anwendungsmöglichkeiten schrittweise vor. Das Verständnis der Begriffe und de¬
ren Zusammenhang und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte
Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt; das Buch ist
zum Selbststudium geeignet.
Der Inhalt
• Mengen und Logik
• Relationen und Funktionen
• Zahlenmengen
• Berechenbarkeit
• Lösungen zu den Aufgaben
Die Zielgruppen
Studierende in den ersten Semestern von Bachelor-Studiengängen Informatik ·
Wirtschaftsinformatik · Medieninformatik · Medizinische Informatik · Bioinforma¬
tik · Ingenieurinformatik · Mathematik · Finanz-ZWirtschaftsmathematik - Techno¬
mathematik ·
Scientific
Computing · Mathematische Software-Entwicklung
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